இருபடி விகிதமுறுஎண்

0-1 இடைவெளியிலுள்ள இருபடி விகிதமுறுஎண்கள்.

கணிதத்தில் இருபடி விகிதமுறுஎண் (dyadic rational அல்லது binary rational) என்பது பகுதியை இரண்டின் அடுக்குகளாகக்கொண்ட பின்னமாக எழுதக்கூடிய எண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டு: 1/2, 3/2, 3/8 ஆகியவை இருபடி விகிதமுறுஎண்கள்.

${\frac {1}{2}}={\frac {1}{2^{1}}}$

${\frac {3}{2}}={\frac {3}{2^{1}}}$

${\frac {3}{8}}={\frac {3}{2^{3}}}$

இரண்டு இருபடி விகிதமுறு எண்களின் கூடுதல், வித்தியாசம், பெருக்குத்தொகை மூன்றுமே மற்றொரு இருபடி விகிதமுறுஎண்ணாக இருக்கும். ஆனால் இரண்டு இருபடி விகிதமுறுஎண்களில் ஒன்றை மற்றதால் வகுக்குக் கிடைப்பது எப்போதும் இருபடி விகிதமுறு எண்ணாக இருக்காது. இதனால், இருபடி விகிதமுறுஎண்களின் கணம், ஒரு வளையமாக இருக்கும். இவ்வளையமானது முழு எண்களின் வளையத்திற்கும் விகிதமுறு எண்களின் களத்திற்கும் இடையே அமையும். மேலும் இவ்வளையத்தின் குறியீடு: $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]$.

வரையறைகளும் கணக்கீடும்

இருபடி விகிதமுறு எண் என்பது, ஒரு முழு எண்ணை ஏதாவதொரு இரண்டின் அடுக்கினால் வகுக்கக் கிடைக்கும் விகிதமுறு எண்ணாகும். $p/q$ என்ற எளியவடிவிலமைந்த விகிதமுறு எண்ணானது இருபடி விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கவேண்டுமென்றால் $q$ ஆனது இரண்டின் அடுக்காக இருக்க வேண்டும்.

இருபடி விகிதமுறு எண்களை, முடிவுறு இரும உருவகிப்புகொண்ட (binary representation) மெய்யெண்களாகவும் வரையறுக்கலாம்.

இரண்டு இருபடி விகிதமுறு எண்களின் கூடுதல், வித்தியாசம், பெருக்குத்தொகை மூன்றும் இருபடி விகிதமுறு எண்களாக இருக்கும்:

${\begin{aligned}{\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a-2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}\cdot {\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {ac}{2^{b+d}}}\end{aligned}}$

எனினும் ஒரு இருபடி விகிதமுறு எண்ணை மற்றொரு இருபடி விகிதமுறு எண்ணால் வகுக்கக் கிடைக்கும் எண்ணானது இருபடி விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கவேண்டியதில்லை.

எடுத்துக்காட்டாக, 1, 3 ஆகிய இரண்டும் இருபடி விகிதமுறு எண்கள். ஆனால் 1/3 இருபடி விகிதமுறு எண்ணல்ல.

கூடுதல் பண்புகள்

2 இன் வர்க்கமூலத்தின் (${\sqrt {2}}\approx 1.4142$) இருபடி விகிதமுறுஎண்களைக்கொண்டு தோராயமாக்கல்; இது, $1/2^{i}$ ($i=0,1,2,\dots$) என்பதன் மிகச்சிறிய முழுஎண் மடங்கிற்கு நெருக்கமாக தோராயப்படுத்துவதன் மூலம் பெறப்பட்டது. ஒவ்வொரு தோராயத்திற்கும் மேலுள்ள இளங்சிவப்பு நிறப்பகுதியின் உயரம், அத்தோராயத்தின் பிழையளவைத் தரும்.

• ஒவ்வொரு முழுவெண்ணும் ஒவ்வொரு அரை-முழுவெண்ணும் இருபடி விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

முழுஎண்: $2={\frac {2}{1}}={\frac {2}{2^{0}}}$

அரை-முழுவெண்: $4{\frac {1}{2}}={\frac {9}{2}}={\frac {9}{2^{1}}}$

• ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணையும் இருபடி விகிதமுறு எண்களைக்கொண்டு நெருக்கமாக தோராயப்படுத்தலாம். $x$ என்ற மெய்யெண்ணுக்கு, ${\textstyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}}$, வடிவ இருபடி விகிதமுறு எண்களை எடுத்துக்கொள்ளலாம். இங்கு $i,$ ஏதாவதொரு முழுஎண்ணையும் $\lfloor \dots \rfloor$ என்பது தருமதிப்பை முழுஎண்ணாக முழுமைப்படுத்தும் தரைச் சார்பையும் குறிக்கும்.

இவ்வெண்கள் $x$ ஐக் கீழிருந்து $1/2^{i}$ என்ற பிழையளவுக்குள் தோராயப்படுத்துகின்றன. இந்தப் பிழையளவை, $i$ இன் மதிப்பை மிக அதிகப்படுத்துவதன் மூலம் மிகவும் சிறியதாக்கலாம்.

• இருபடி விகிதமுறு எண்கள் மட்டுமே முடிவுறு இரும உருவகிப்புடையவை. பூச்சியம் தவிர்த்த பிற இருபடி விகிதமுறு எண்களுக்கு ஒரு முடிவுறு இரும உருவகிப்பும், ஒரு முடிவுறா இரும உருவகிப்பும் உண்டு. எடுத்துக்காட்டாக:

3/4 = 0.11₂ = 0.10111...₂ (3/4 இன் இரண்டு இரும உருவகிப்புகள்.)

இருபடி விகிதமுறு எண்கள் மட்டுமே ஒரேயொரு இரும உருவகிப்பு கொண்டிராதவை.