1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

கணிதத்தில், 1 − 2 + 3 − 4 + ··· என்பது ஒன்றுவிட்டொன்று குறிமாற்றப்பட்ட நேர்முழுவெண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட முடிவில்லாத் தொடர் ஆகும். சிகுமாக் குறியீட்டு முறைப்படி, இத்தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்.
இத்தொடர் ஒருங்குவதில்லை.[1] அதாவது, இத்தொடரின் முடிவிலி உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு முடிவுள்ள எல்லையேதும் இல்லை. இருப்பினும், 18ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் இலியோனாடு ஒயிலர் பின்வரும் முரண்போலிச் சமன்பாட்டைக் குறிப்பிட்டிருந்தார்.
முரண்போலிக்கான விளக்கம்[தொகு]
பின்வருமாறு குறித்த ஒழுங்கில், இத்தொடரை நான்கு தடவைகள் இட்டுக் கூட்டும்போது, முதலாவது 1ஐத் தவிர ஏனைய அனைத்து நேருறுப்புகளும் எதிருறுப்புகளும் சேர்ந்து சுழியத்திற்குச் சமனாகிவிடும். இத்தொடரின் நான்கு படிகளின் கூட்டுத்தொகை 1 என்பதனால், இத்தொடர் இற்குச் சமனாகுதல் வேண்டும்.
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . . -------------------------------------------- = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . .
ஒருங்காமை[தொகு]
இத்தொடரின் உறுப்புகள் (1, -2, 3, -4, ...) 0ஐ அணுகுவதில்லை. ஆகவே, 1 − 2 + 3 − 4 + ... என்ற தொடர், உறுப்புத் தேர்வின்படி ஒருங்குவதில்லை.
இதனையும் பார்க்க[தொகு]
மேற்கோள்கள்[தொகு]
- ↑ 1.0 1.1 "1 - 2 + 3 - 4 + ...". Wolfram Alpha. பார்த்த நாள் 2015 செப்டம்பர் 10.
கூடுதல் மேற்கோள்கள்[தொகு]
- Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-521-60047-2.
- Davis, Harry F. (May 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-65973-9.
- "Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series". The Euler Archive (2006). பார்த்த நாள் 2007-03-22. Originally published as Euler, Leonhard (1768). "Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques". Memoires de l'academie des sciences de Berlin 17: 83–106.
- Ferraro, Giovanni (June 1999). "The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics". Archive for History of Exact Sciences 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036.
- Ivor Grattan-Guinness (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-262-07034-0.
- G. H. Hardy (1949). Divergent Series. Clarendon Press. xvi+396. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-8218-2649-2. இணையக் கணினி நூலக மையம்:808787. 2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. வார்ப்புரு:Lccn. ISBN 0-8284-0334-1.
- Morris Kline (November 1983). "Euler and Infinite Series". Mathematics Magazine 56 (5): 307–314. doi:10.2307/2690371.
- Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-674-92096-1.
- Markusevič, Aleksej Ivanovič (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition (English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian ). Delhi, India: Hindustan Pub. Corp.. பக். 176. இணையக் கணினி நூலக மையம்:729238507. Author also known as A. I. Markushevich and Alekseï Ivanovitch Markouchevitch. Also published in Boston, Mass by Heath with வார்ப்புரு:Oclc. Additionally, வார்ப்புரு:Oclc, வார்ப்புரு:Oclc.
- Saichev, A.I.; W.A. Woyczyński (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-8176-3924-1.
- Tucciarone, John (January 1973). "The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925". Archive for History of Exact Sciences 10 (1–2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405.
- Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-00836-5.
- Weidlich, John E. (June 1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. இணையக் கணினி நூலக மையம்:38624384.