1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ... என்ற தொடரின் முதல் 15000 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் காட்டும் படம்

கணிதத்தில், 1 − 2 + 3 − 4 + ··· என்பது ஒன்றுவிட்டொன்று குறிமாற்றப்பட்ட நேர்முழுவெண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட முடிவில்லாத் தொடர் ஆகும். சிகுமாக் குறியீட்டு முறைப்படி, இத்தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்.

$\sum _{r=1}^{n}r(-1)^{r-1}.$

இத்தொடர் ஒருங்குவதில்லை. அதாவது, இத்தொடரின் முடிவிலி உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு முடிவுள்ள எல்லையேதும் இல்லை. இருப்பினும், 18ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் இலியோனாடு ஒயிலர் பின்வரும் முரண்போலிச் சமன்பாட்டைக் குறிப்பிட்டிருந்தார்.

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

முரண்போலிக்கான விளக்கம்

பின்வருமாறு குறித்த ஒழுங்கில், இத்தொடரை நான்கு தடவைகள் இட்டுக் கூட்டும்போது, முதலாவது 1ஐத் தவிர ஏனைய அனைத்து நேருறுப்புகளும் எதிருறுப்புகளும் சேர்ந்து சுழியத்திற்குச் சமனாகிவிடும். இத்தொடரின் நான்கு படிகளின் கூட்டுத்தொகை 1 என்பதனால், இத்தொடர் ${\frac {1}{4}}$இற்குச் சமனாகுதல் வேண்டும்.

  1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . 
        + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . . 
--------------------------------------------
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . 

ஒருங்காமை

இத்தொடரின் உறுப்புகள் (1, -2, 3, -4, ...) 0ஐ அணுகுவதில்லை. ஆகவே, 1 − 2 + 3 − 4 + ... என்ற தொடர், உறுப்புத் தேர்வின்படி ஒருங்குவதில்லை.

இதனையும் பார்க்க

• தொடர் (கணிதம்)

கூடுதல் மேற்கோள்கள்

• Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-521-60047-2. 
• Davis, Harry F. (May 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-65973-9. 
• "Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series". The Euler Archive (2006). பார்த்த நாள் 2007-03-22. Originally published as Euler, Leonhard (1768). "Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques". Memoires de l'academie des sciences de Berlin 17: 83–106. 
• Ferraro, Giovanni (June 1999). "The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics". Archive for History of Exact Sciences 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036. 
• Ivor Grattan-Guinness (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-262-07034-0. 
• G. H. Hardy (1949). Divergent Series. Clarendon Press. xvi+396. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-8218-2649-2. இணையக் கணினி நூலக மையம்:808787.  2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. வார்ப்புரு:Lccn. ISBN 0-8284-0334-1.
• Morris Kline (November 1983). "Euler and Infinite Series". Mathematics Magazine 56 (5): 307–314. doi:10.2307/2690371. 
• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-674-92096-1. 
• Markusevič, Aleksej Ivanovič (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition (English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian ). Delhi, India: Hindustan Pub. Corp.. பக். 176. இணையக் கணினி நூலக மையம்:729238507.  Author also known as A. I. Markushevich and Alekseï Ivanovitch Markouchevitch. Also published in Boston, Mass by Heath with வார்ப்புரு:Oclc. Additionally, வார்ப்புரு:Oclc, வார்ப்புரு:Oclc.
• Saichev, A.I.; W.A. Woyczyński (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-8176-3924-1. 
• Tucciarone, John (January 1973). "The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925". Archive for History of Exact Sciences 10 (1–2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405. 
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-00836-5. 
• Weidlich, John E. (June 1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. இணையக் கணினி நூலக மையம்:38624384.