1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·

கணிதத்தில் 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ··· என்ற தொடரானது, ஓர் எளிய தனி ஒருங்கு தொடராகவுள்ளதொரு பெருக்குத் தொடராகும். இத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை 1. கூட்டுகைக் குறியீட்டில், இத்தொடரின் வடிவம்:

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}=1.

நிறுவல்[தொகு]

மற்ற முடிவிலாத் தொடர்களைப் போன்றே,

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots

இன் கூட்டுதொகையும் அதன் முதல்

n

உறுப்புகளாலான தொடர்

s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}

இல்,

n

முடிவிலியை அணுகும்போதான எல்லைமதிப்பாகக் கணிக்கப்படுகிறது:

s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.

^[a]

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\lim _{n\to \infty }1-{\frac {1}{2^{n}}}

$n$ , முடிவிலியை நெருங்கும்போது the term ${\frac {1}{2^{n}}}$ இன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நெருங்கும். எனவே,

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =1.

வரலாறு[தொகு]

சீனோவின் முரண்போலி[தொகு]

சீனோவின் பல முரண்போலிகளில் இத்தொடர் பயன்படுத்தப்படுகிறது.^[1]

எடுத்துக்காட்டாக,

"அக்கீலியசும் ஆமையும்" என்ற முரண்போலியில்,

அக்கீலியசு, ஓர் ஆமையுடன் போட்டிபோட வேண்டும். தடகளம் 100 மீட்டர் நீளமுள்ளது. ஒரு தாண்டலில் அக்கிலீயசு ஒரு தாண்டலில் கடக்கும் தூரத்தில் (10மீ கடந்தால்), ஆமை அதில் பாதியளவு (5மீ) கடக்க முடியும் என்பதே போட்டியின் விதி. பந்தயத்தைத் துவக்கும்போது ஆமை, அக்கீலியசைவிட 10மீ முன்னதாக நிற்குமானால், ஆமைதான் வெற்றிபெறுமென்பதே சீனோவின் வாதம். 10மீ தள்ளியிருக்கும் ஆமையைப்பிடிக்க அக்கிலீயசு 10மீ தாண்டினால், ஆமை தனது முதல் முயற்சியில் 5மீ தாண்டியிருக்கும். இப்போது, அக்கீலியசு 5மீ தாண்டினால், ஆமை 2.5மீ தாண்டியிருக்கும். இவ்வாறு தாண்டல்கள் தொடரத்தொடர, எந்நிலையிலும் ஆமையே முன்னால் இருக்குமென்பதே சீனோவின் வாதம்.

இணை முரண்போலியின் படி:

ஒரு நபர், குறிப்பிட்ட தூரத்தைக் கடக்கும்போது, அத்தூரத்தில் பாதியளவு, நாலில் ஒரு பங்கு, எட்டில் ஒரு பங்கு, 16 இல் ஒரு பங்கு எனச் சிறுசிறு தூரங்களைத் தொடர்ந்து கடக்கிறார். எனவே அவர் கடந்த மொத்த தூரமானது முடிவற்ற எண்ணிக்கைகையிலான இச்சிறுசிறு தூரங்களின் கூடுதலாக அமையும்.^[1] இச்சிறுதூரங்கள் எல்லாம் கூட்டுத்தை முடிவுறு எண்ணாகக்கொண்ட, ஒரு முடிவிலாப் பெருக்குத் தொடராகவுள்ளதைக் காணலாம்.

இதிலிருந்து பெறப்படும் தொடர்வரிசை:

\left\{\cdots ,{\frac {1}{16}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},1\right\}

இது முடிவில்லாத தொடர்வரிசையாக இருப்பதால் அக்குறிப்பிட்ட தூரத்தைக் கடக்கும் நபர் முடிவில்லாமல் நடந்துகொண்டே இருக்கவேண்டும் போன்ற தோற்றத்தை ஏற்படுத்துகிறது. இதுவே சீனோவின் இணை முரண்போலி.^[2]

ஓரசு கடவுளின் கண்[தொகு]

ஒரு காலத்தில் ஓரசு கடவுளின் கண்ணின் பாகங்கள், இத்தொடரின் முதல் ஆறு உறுப்புகளைக் குறிப்பதாகக் கருதப்பட்டது.^[3]

எகிப்திய குறிமுறை: ஓரசு கடவுளின் கண் மற்றும் அதன் 6 பாகங்களுக்கான எகிப்தியல் குறிமுறைகள்: (𓂀), 𓂁, 𓂂, 𓂃, 𓂄, 𓂅, 𓂆, 𓂇

இவற்றுக்கான ஒருங்குறிகள்:

U+13080 (𓂀) மற்றும் U+13081 முதல் U+13087வரை (𓂁, 𓂂, 𓂃, 𓂄, 𓂅, 𓂆, 𓂇).^[4]

குறிப்புகள்[தொகு]

↑ For example: multiplying $s n$ by 2 yields $2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right]=1+\left[s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}\right].$ Subtracting $s n$ from both sides, one concludes $s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.$ Other arguments might proceed by கணிதத் தொகுத்தறிதல், or by adding ${\frac {1}{2^{n}}}$ to both sides of $s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}$ and manipulating to show that the right side of the result is equal to 1.^{[சான்று தேவை]}

மேற்கோள்கள்[தொகு]

↑ ^1.0 ^1.1 Field, Paul and Weisstein, Eric W. "Zeno's Paradoxes." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/ZenosParadoxes.html
↑ Lindberg, David (2007). The Beginnings of Western Science (2nd ed.). University of Chicago Press. p. 33. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-226-48205-7.
↑ Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. pp. 76–80. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1-84668-292-6.
↑ "Unicode 13.0 Character Code Charts: Egyptian Hieroglyphs" (PDF). Unicode Consortium. 2020. பார்க்கப்பட்ட நாள் 28 March 2020.

[1] For example: multiplying $s n$ by 2 yields $2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right]=1+\left[s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}\right].$ Subtracting $s n$ from both sides, one concludes $s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.$ Other arguments might proceed by கணிதத் தொகுத்தறிதல், or by adding ${\frac {1}{2^{n}}}$ to both sides of $s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}$ and manipulating to show that the right side of the result is equal to 1.^{[சான்று தேவை]}

[Description_of_Zeno's_paradoxe...-2] 1.0 ^1.1 Field, Paul and Weisstein, Eric W. "Zeno's Paradoxes." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/ZenosParadoxes.html

[3] Lindberg, David (2007). The Beginnings of Western Science (2nd ed.). University of Chicago Press. p. 33. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-226-48205-7.

[4] Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. pp. 76–80. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1-84668-292-6.

[5] "Unicode 13.0 Character Code Charts: Egyptian Hieroglyphs" (PDF). Unicode Consortium. 2020. பார்க்கப்பட்ட நாள் 28 March 2020.

[a]

[1]

[2]

[3]

[4]