சுழற்சி மேற்பரப்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
Jump to navigation Jump to search
x = 2 + cos z வளைகோட்டின் ஒரு பகுதியை z-அச்சைப் பொறுத்து சுழற்றப்படும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பு.

யூக்ளிடிய வெளியில் ஒரு அச்சைப் பொறுத்து, ஒரு வளைகோட்டைச் சுழற்றும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பானது சுழற்சி மேற்பரப்பு (surface of revolution) எனப்படும்.[1]

எடுத்துக்காட்டாக,

  • சுழற்சி அச்சுக்கு இணையாகவுள்ள ஒரு நேர்கோட்டினைச் சுழற்றுவதால் உருளை உருவாகிறது.
  • சுழற்சி அச்சுக்கு இணையற்ற நேர்கோட்டினை சுழற்றுவதால் கூம்புவெட்டுகள் உருவாகின்றன.
  • ஒரு வட்டத்தை அதன் ஏதாவது ஒரு விட்டத்தைப் பொறுத்து சுழற்றும்போது கோளம் உருவாகிறது.

பண்புகள்[தொகு]

  • ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சின் வழியாகச் செல்லும் தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் நெடுவரை வெட்டுகள் (meridional sections) என அழைக்கப்படுகின்றன[2]
  • சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சுக்குச் செங்குத்தான தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் வட்டங்களாக இருக்கும்.
  • சில சிறப்புவகை அதிபரவளைவுருக்களும் பரவளையவுருக்களும் சுழற்சி மேற்பரப்புகளாக அமைகின்றன.

பரப்பளவு வாய்பாடு[தொகு]

சுழற்றப்படும் வளைகோட்டின்

  1. துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: x(t), y(t), (t இன் மதிப்பு [a,b] இடைவெளியில் அமையும்);
  2. சுழற்சி அச்சு: y-அச்சு
  3. சுழற்சி மேற்பரப்பின் பரப்பளவு (Ay) எனில்:

இவ்வாய்பாட்டில் a, b ஆகிய இரு இறுதிப்புள்ளிகளுக்கு இடையே எவ்விடத்திலும் x(t) ஆனது எதிர்மமாக இருக்காது என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இவ்வாய்பாடு, பாப்பசின் திணிவுமையத் தேற்றத்தின் நுண்கணிதச் சமானமாக உள்ளது.[3]

பித்தகோரசு தேற்றத்திலிருந்து வரும் வாய்பாட்டின் பகுதி ஆனது வளைகோட்டின் வில்லின் ஒரு சிறுபகுதியைக் குறிக்கிறது. மேலும் x(t) ஆனது இச்சிறுபகுதியின் பாதை ஆகும்.

இதேபோல சுழற்சி அச்சு x-அச்சாக இருந்து y(t) ஒருபோதும் எதிர்மம் இல்லையென்றும் இருந்தால், பரப்பளவின் வாய்பாடு:[4]


வளைகோடானது y = f(x), axb (a ≥ 0) என்ற சார்பாகத் தரப்பட்டால், மேலுள்ள வாய்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படும் பரப்பளவின் வாய்பாடு:[5]

  • சுழற்சி அச்சாக x-அச்சு இருக்கும்போது:
  • சுழற்சி அச்சாக y-அச்சு இருக்கும்போது:

எடுத்துக்காட்டாக,

y(t) = sin(t), x(t) = cos(t), (t இன் மதிப்பு [0,π] இல் அமையும்) என்ற வளைகோட்டின் சுழற்சியால் ஓரலகு ஆரங்கொண்ட கோள மேற்பரப்பு, உருவாக்கப்படுகிறது. அதன் பரப்பளவு:

கோளத்தின் ஆரம் r, சமன்பாடு y(x) = r2x2, சுழற்சி அச்சு x-அச்சு எனில் பரப்பளவு:

சுருள்வளையங்கள்[தொகு]

சதுரத்தின் சுழற்சியால் உருவான சுருள்வளையம்

ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பின் நடுவில் துளையும், சுழற்சி அச்சு அம்மேற்பரைப்பைச் சந்திக்காமலும் இருந்தால் அச் சுழற்சி மேற்பரப்பு சுருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது.[6]

எடுத்துக்காட்டாக,

  • ஒரு செவ்வகத்தை அதன் ஒரு விளிம்புக்கு இணையான மற்றொரு கோட்டை அச்சாகக் கொண்டு சுழற்றக்கிடைக்கும் சுழற்சி மேற்பரப்பானது, செவ்வக வெட்டுமுகங்கொண்ட உள்ளீடற்ற வளையமாகக் கிடைக்கும்.
  • சுழற்றப்படும் வடிவம் சதுரமாக இருப்பின் அச்சுருள்வளையத்தின் வெட்டுமுகம் சதுரமாக இருக்கும்.

இதேபோல சுழற்றப்படுவது வட்டமாக இருந்தால், உருவாகும் சுழற்சி மேற்பரப்பு உள்ளீடற்ற, வட்ட வெட்டுமுகங்கொண்ட வளையமாக இருக்கும். இது உருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Middlemiss; Marks; Smart. "15-4. Surfaces of Revolution". Analytic Geometry (3rd ). பக். 378. 
  2. Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (Revised ed.), D.C. Heath and Co., p. 227
  3. Thomas, George B.. "6.7: Area of a Surface of Revolution; 6.11: The Theorems of Pappus". Calculus (3rd ). பக். 206–209, 217–219. 
  4. Singh, R.R. (1993). Engineering Mathematics (6 ). Tata McGraw-Hill. பக். 6.90. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-07-014615-2. https://books.google.com/books?id=oQ1y1HCpeowC&pg=SA6-PA90. 
  5. Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, p. 617, ISBN 0-87150-341-7
  6. Weisstein, Eric W., "Toroid", MathWorld.
"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=சுழற்சி_மேற்பரப்பு&oldid=3414837" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது