பொன் விகிதம்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது

வரியுள்

12:24, 12 திசம்பர் 2011 இல் நிலவும் திருத்தம்

கணிதவியலிலும் கலையிலும் எவையேனும் இரு அளவுகளின் கூடுதலுக்கும் அவற்றில் பெரிய அளவுக்குமான விகிதமானது, பெரிய அளவுக்கும் சிறிய அளவுக்குமான விகிதத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த இரு அளவுகளும் தங்க விகிதத்தில் (golden ratio) அமைந்துள்ளன எனப்படுகின்றன. இவ்விகிதத்தின் மதிப்பு ஒரு விகிதமுறா மாறிலி எண்ணாகும். இதன் தோராயமான மதிப்பு 1.61803398874989.^[1] தங்க விகிதத்தின் குறியீடு கிரேக்க மொழியின் சிறிய எழுத்து ( $\varphi$ ) (phi) மற்றும் அதன் பெருக்கல் தலைகீழி ${\frac {1}{\varphi }}$ அல்லது $\varphi ^{-1}$ -ன் ,குறியீடு கிரேக்க மொழியின் பெரிய எழுத்து $\Phi$ (Phi) ஆகும்.

{\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \varphi .

விகிதமுறா எண்களின் கணத்தில் இச்சமன்பாட்டிற்கு ஒரு நேர்மத் தீர்வு உள்ளது:

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.61803\,39887\ldots

.

^[1] தங்க விகிதமானது கவின்கலை, ஓவியம், கட்டிடக்கலை, புத்தக வடிவமைப்பு, இயற்கை, இசை, நிதிச்சந்தை...என பல்வகையான துறைகளிலும் பரந்து காணப்படுகிறது.

மறுமலர்ச்சிக் காலத்தில் இருந்தாவது, பல ஓவியர்களும், கட்டிடக் கலைஞர்களும் தமது ஆக்கங்களில் பொன் விகிதத்தைப் பயன்படுத்தினார்கள். இது பொதுவாக பொன் செவ்வக வடிவில் அமைந்தது. நீளமும் அகலமும் பொன் விகிதத்தில் அமைந்த இச் செவ்வகம் அழகியல் அடிப்படையில் மனதுக்கு இதமானது என நம்பப்பட்டது. இவ் விகிதத்தின் தனித்துவமானதும், ஆர்வத்தைத் தூண்ட வல்லதுமான இயல்புகள் காரணமாக கணிதவியலாளர் இதனை ஆராய்ந்தார்கள்.

வரலாறு

பொன் விகிதம், பல்வேறு வகையான ஆர்வங்களைக் கொண்ட அறிஞர்களை 2,400 ஆண்டுகளாக ஈர்த்து வந்துள்ளது.

எக்காலத்தும் சிறந்த சில கணித மூளைகளான பண்டைக் கிரேக்கத்தின் பித்தாகரஸ், இயூக்கிளிட் ஆகியோரில் இருந்து, மத்தியகால இத்தாலியக் கணிதவியலாளராகிய ஃபிபோனாசி, மறுமலர்ச்சிக்கால வானியலாளர் ஜொஹான்னஸ் கெப்லர், ஆகியோரூடாக இன்றைய அறிவியலாளர்களான ஆக்ஸ்போர்ட் இயற்பியலாளர் ரோஜர் பென்ரோஸ் வரையானவர்கள் இந்த எளிமையான விகிதத்தின் இயல்புகள் பற்றி ஆராய்வதற்காகப் பெருமளவு நேரத்தைச் செலவு செய்துள்ளனர். ஆனால், இவ்விகிதத்தின் மீதான ஆர்வம் கணிதவியலாளர்களுக்கு மட்டும் மட்டுப்பட்டதல்ல. உயிரியலாளர்கள், கலைஞர்கள், இசைக்கலைஞர்கள், வரலாற்றாளர்கள், கட்டிடக்கலைஞர்கள், உளவியலாளர்கள் போன்றோரும் இதுபற்றிச் சிந்தித்து இதன் கவர்ச்சியின் அடிப்படைகள் பற்றி விவாதித்துள்ளனர். உண்மையில், கணிதவியலின் வரலாற்றில் வேறெந்த எண்ணையும் விட அதிகமாக எல்லாத் துறைகளையும் சேர்ந்த சிந்தனையாளர்களையும் பொன் விகிதம் ஈர்த்துள்ளது என்று சொன்னால் நியாயமாக இருக்கக்கூடும்.
—மரியோ லிவியோ, பொன் விகிதம்: "பை"யின் வரலாறு, The World's Most Astonishing Number

வடிவவியலில் அடிக்கடி இப் பொன் விகிதம் தோன்றுவதாலேயே பண்டைக் கிரேக்கர்கள் இது பற்றி ஆய்வு செய்தனர். ஒழுங்கான நட்சத்திர ஐங்கோணம், ஒழுங்கான ஐங்கோணம் ஆகியவற்றின் வடிவவியல் தொடர்பில் ஒரு கோட்டை முடிவு மற்றும் இடை விகிதங்களாகப் பிரிக்க வேண்டியது முக்கியமானது. இக் கருத்துருவை பித்தாகரஸ் அல்லது அவரைப் பின்பற்றுவோரே கண்டுபிடித்ததாகக் கிரேக்கர்கள் நம்புகின்றனர். ஒழுங்கான ஐங்கோணத்தை உள்ளடக்கிய ஒழுங்கான நட்சத்திர ஐங்கோணமே பித்தாகோரியர்களின் சின்னமாகும்.

↑ ^1.0 ^1.1 The golden ratio can be derived by the quadratic formula, by starting with the first number as 1, then solving for 2nd number x, where the ratios (x + 1)/x = x/1 or (multiplying by x) yields: x + 1 = x², or thus a quadratic equation: x² − x − 1 = 0. Then, by the quadratic formula, for positive x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a) with a = 1, b = −1, c = −1, the solution for x is: (−(−1) + √((−1)² − 4·1·(−1)))/(2·1) or (1 + √(5))/2.

[quadform-1] 1.0 ^1.1 The golden ratio can be derived by the quadratic formula, by starting with the first number as 1, then solving for 2nd number x, where the ratios (x + 1)/x = x/1 or (multiplying by x) yields: x + 1 = x², or thus a quadratic equation: x² − x − 1 = 0. Then, by the quadratic formula, for positive x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a) with a = 1, b = −1, c = −1, the solution for x is: (−(−1) + √((−1)² − 4·1·(−1)))/(2·1) or (1 + √(5))/2.

[1]

@@ வரிசை 1: / வரிசை 1: @@
+[[File:Golden ratio line.svg|right|thumb|225px|தங்க விகிதத்தில் பிரிக்கப்பட்ட கோட்டுத்துண்டு. <math>a+b:a=a:b </math>]]
-[[படிமம்:Golden ratio line.svg|right|thumb|225px|The golden section is a line segment sectioned into two according to the golden ratio. The total length <font color="green">'''''a + b'''''</font> is to the longer segment <font color="blue">'''''a'''''</font> as <font color="blue">'''''a'''''</font> is to the shorter segment <font color="red">'''''b'''''</font>.]]
+[[கணிதவியல்|கணிதவியலிலும்]] கலையிலும் எவையேனும் இரு அளவுகளின் கூடுதலுக்கும் அவற்றில் பெரிய அளவுக்குமான [[விகிதம்|விகிதமானது]], பெரிய அளவுக்கும் சிறிய அளவுக்குமான விகிதத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த இரு அளவுகளும்  '''தங்க விகிதத்தில்''' (''golden ratio'')  அமைந்துள்ளன எனப்படுகின்றன. இவ்விகிதத்தின் மதிப்பு ஒரு [[விகிதமுறா எண்|விகிதமுறா]] மாறிலி எண்ணாகும். இதன் தோராயமான மதிப்பு 1.61803398874989.<ref name=quadform/>  தங்க விகிதத்தின் குறியீடு [[கிரேக்கம்|கிரேக்க]] மொழியின் சிறிய எழுத்து (<math>\varphi</math>) (phi) மற்றும் அதன் பெருக்கல் தலைகீழி <math>\frac{1}{\varphi}</math> அல்லது <math>\varphi^{-1}</math> -ன் ,குறியீடு கிரேக்க மொழியின் பெரிய எழுத்து <math>\Phi</math> (Phi) ஆகும்.
-[[கணிதம்]], [[கலை]]கள் ஆகிய துறைகளில், இரண்டு கணியங்களின் கூட்டுத் தொகைக்கும், அவற்றில் பெரிய கணியத்துக்கும் இடையிலான [[விகிதம்]], அவற்றில் பெரியதற்கும் சிறியதற்கும் இடையிலான விகிதத்துக்குச் சமனாக இருப்பின் அவ்விரு கணியங்களுக்கும் இடையிலான விகிதம் '''பொன் விகிதம்''' எனப்படும். '''பொன் விகிதம்''' ஒரு விகிதமுறாக் கணித மாறிலி. இது அண்ணளவாக 1.6180339887 ஆகும்.
+:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi.</math>
-[[மறுமலர்ச்சிக் காலம்|மறுமலர்ச்சிக் காலத்தில்]] இருந்தாவது, பல [[ஓவியர்]]களும், [[கட்டிடக் கலைஞர்]]களும் தமது ஆக்கங்களில் பொன் விகிதத்தைப் பயன்படுத்தினார்கள். இது பொதுவாக [[பொன் செவ்வகம்|பொன் செவ்வக]] வடிவில் அமைந்தது. நீளமும் அகலமும் பொன் விகிதத்தில் அமைந்த இச் செவ்வகம் [[அழகியல்]] அடிப்படையில் மனதுக்கு இதமானது என நம்பப்பட்டது. இவ் விகிதத்தின் தனித்துவமானதும், ஆர்வத்தைத் தூண்ட வல்லதுமான இயல்புகள் காரணமாக கணிதவியலாளர் இதனை ஆராய்ந்தார்கள்.
+விகிதமுறா எண்களின் [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தில்]] இச்[[சமன்பாடு|சமன்பாட்டிற்கு]] ஒரு நேர்மத் தீர்வு உள்ளது:
-பொன் விகிதம் கிரேக்க எழுத்தான (பை) இனால் குறிக்கப்படும். பொன் வெட்டுமுகத்தின் படம் இம் மாறிலியின் வடிவவியல் தொடர்பை விளக்குகின்றது. இது இயற்கணித அடிப்படையில் பின்வருமாறு குறிக்கப்படும்:
+:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\ldots</math>.
+<ref name="quadform">The golden ratio can be derived by the [[quadratic formula]], by starting with the first number as 1, then solving for 2nd number ''x'', where the ratios (''x''&nbsp;+&nbsp;1)/''x'' = ''x''/1 or (multiplying by ''x'') yields: ''x''&nbsp;+&nbsp;1 = ''x''<sup>2</sup>, or thus a quadratic equation: ''x''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;''x''&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0. Then, by the quadratic formula, for positive ''x'' = (−''b''&nbsp;+&nbsp;√(''b''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;4''ac''))/(2''a'') with ''a''&nbsp;=&nbsp;1, ''b''&nbsp;=&nbsp;−1, ''c''&nbsp;=&nbsp;−1, the solution for ''x'' is: (−(−1)&nbsp;+&nbsp;√((−1)<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;4·1·(−1)))/(2·1) or (1&nbsp;+&nbsp;√(5))/2.</ref> தங்க விகிதமானது கவின்கலை, ஓவியம், கட்டிடக்கலை, புத்தக வடிவமைப்பு, இயற்கை, இசை, நிதிச்சந்தை...என பல்வகையான துறைகளிலும் பரந்து காணப்படுகிறது.
+[[மறுமலர்ச்சிக் காலம்|மறுமலர்ச்சிக் காலத்தில்]] இருந்தாவது, பல [[ஓவியர்]]களும், [[கட்டிடக் கலைஞர்]]களும் தமது ஆக்கங்களில் பொன் விகிதத்தைப் பயன்படுத்தினார்கள். இது பொதுவாக [[பொன் செவ்வகம்|பொன் செவ்வக]] வடிவில் அமைந்தது. நீளமும் அகலமும் பொன் விகிதத்தில் அமைந்த இச் செவ்வகம் [[அழகியல்]] அடிப்படையில் மனதுக்கு இதமானது என நம்பப்பட்டது. இவ் விகிதத்தின் தனித்துவமானதும், ஆர்வத்தைத் தூண்ட வல்லதுமான இயல்புகள் காரணமாக கணிதவியலாளர் இதனை ஆராய்ந்தார்கள்.
-:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.</math>
-இச் சமன்பாட்டுக்கு இயற்கணித விகிதமுறா எண்ணாக அமையும் தனித்துவமான நேர் தீர்வு உண்டு.
-:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.61803\,39887\ldots\,</math>
 == வரலாறு ==