இருவழியொக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை

இயற்கணிதத்தில், குறிப்பற்ற களத்திலமைந்த கெழுக்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை:

p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}

எனில், இதன் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது இருவழியொக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது எதிரொளிக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை (reciprocal polynomial, Palindromic polynomial, reflected polynomial) கீழ்வரும் அமைப்புள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்:^[1]^[2]^[3]

p^{*}(x)=a_{n}+a_{n-1}x+\cdots +a_{0}x^{n}=x^{n}p(x^{-1}).

தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறியீடு: $p *$ அல்லது $p R$ ,^[2]^[1]

$p *$ இன் கெழுக்கள், எதிர்வரிசையில் அமையும் $p$ இன் கெழுக்களாக இருக்கும். நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாகத் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் நேரியல் இயற்கணிதத்தில் தோன்றுகின்றன.

கெழுக்களமையும் களமானது சிக்கலெண்களாக இருந்தால் மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை:

p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}

ஆக இருக்கும்.

இதன் இணையிய தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை (conjugate reciprocal polynomial) $p †$ பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

p^{\dagger }(z)={\overline {a_{n}}}+{\overline {a_{n-1}}}z+\cdots +{\overline {a_{0}}}z^{n}=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}},

இதில் வரும் ${\overline {a_{i}}}$ ஆனது, $a_{i}$ இன் இணைச் சிக்கலெண் ஆகும். இப்பல்லுறுப்புக்கோவை சுருக்கமாக தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

பல்லுறுப்புக்கோவை $p$ ஆனது தன்-தலைகீழி (self-reciprocal) அல்லது "இருவழியொத்தது" (palindromic) எனில்:

p (x) = p * (x)

.

மேலும் தன்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் பின்வருமாறிருக்கும்:

a i = a n - i

(அனைத்து

i

).

பண்புகள்[தொகு]

தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் அதன் மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் பல தொடர்புகள் உள்ளன:

$a_{0}\not =0$
$p (x) = x n p * (x -1)$ .^[2]
தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை $p *$ இன் மூலமாக $α -1$ "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை $p$ இன் மூலமாக $α$ இருக்கும்.^[4]
$p (x) \neq x$ எனில், தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை $p *$ குறைக்கவியலாததாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை $p$ ஆனது குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.^[5]
தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை $p *$ தொடக்கநிலை பல்லுறுப்புக்கோவையாக குறைக்கவியலாததாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை $p$ ஆனது தொடக்கநிலை பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.^[4]

ஒற்றைப் படியுள்ள தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை x+1 ஆல் வகுபடும். எனவே ஒன்றுக்கு அதிகமான படியுள்ள தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் குறைக்கவியலாதவை.

எதிர்-தலைகீழ் அல்லது எதிர் இருவழியொத்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்[தொகு]

P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

என்ற

n

படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழானது எனில்:

a i = a n - i

(

i = 0, 1, ..., n

).

இதேபோல $P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ என்ற $n$ படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை எதிர்-இருவழியொத்தது எனில்:

a i = - a n - i

(

i = 0, 1, ..., n

). அதாவது

P (x) = - P * (x)

.

எடுத்துக்காட்டு:

ஈருறுப்புக் கெழுக்களின் பண்புகளின்படி,

$n$ நேர்ம முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது, $P (x) = (x + 1) n$ ஒரு தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
$n$ -இரட்டை முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது $Q (x) = (x - 1) n$ தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும், $n$ -ஒற்றை முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும் இருக்கும்.

பண்புகள்[தொகு]

தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒன்றின் மூலம் $a$ என்றால், 1/ $a$ யும் அதே மடங்கெண்கொண்ட மற்றொரு மூலமாக இருக்கும்.^[6]
இதன் மறுதலையும் உண்மை: $a$ மூலம் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு 1/ $a$ யும் அதே மடங்கெண்ணுடைய மற்றொரு மூலமாக இருந்தால், அப்பல்லுறுப்புக்கோவையானது, தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழானது.
$q$ , ஏதாவதொரு பல்லுறுப்புக்கோவை எனில்:

q + q *

தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை;

q - q *

எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.

இதிலிருந்து எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் ( $q$ ) பின்வருமாறு எழுதலாம்:

q = (q + q *)/2 + (q - q *)/2

.^[7]

இரு தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனான பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
தலைகீழ் மற்றும் எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இரண்டின் பெருக்கற்பலன் ஒரு எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
ஒற்றைப் படிகொண்ட எந்தவொரு தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையும் $x + 1$ ஐக் காரணியாகக் கொண்டிருக்கும் (அதன் மூலம் –1). மேலும் அக்கோவையை $x + 1$ ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவையும் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
இரட்டைப் படியுடைய எந்தவொரு எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையும் $x 2 - 1$ ஐக் காரணியாகக் கொண்டிருக்கும் (அதன் மூலங்கள் −1, 1). மேலும் அதனை $x 2 - 1$ ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
$p (x)$ ஆனது இரட்டையெண் படி 2 $d$ கொண்ட தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையெனில், $p (x) = x d q (x + 1 / x)$ என்பதை நிறைவு செய்யும் $d$ படியுள்ள மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவை $q$ இருக்கும்^[8]

மெய்யெண் கெழுக்கள்[தொகு]

கெழுக்களை மெய்யெண்களாகக் கொண்டதொரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சிக்கலெண் மூலங்கள் எல்லாம் சிக்கலெண் தளத்திலமைந்த ஓரலகு வட்டத்தின் மீதமையுமானால், அப்பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.^[9]

குறிப்புகள்[தொகு]

↑ ^1.0 ^1.1 *Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete mathematics : a foundation for computer science (Second ). Reading, Mass: Addison-Wesley. பக். 340. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0201558029.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Aigner, Martin (2007). A course in enumeration. Berlin New York: Springer. பக். 94. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-3540390329.
↑ Roman 1995, pg.37
↑ ^4.0 ^4.1 Pless 1990, pg. 57
↑ Roman 1995, pg. 37
↑ Pless 1990, pg. 57 for the palindromic case only
↑ Stein, Jonathan Y. (2000), Digital Signal Processing: A Computer Science Perspective, Wiley Interscience, p. 384, ISBN 9780471295464
↑ Durand 1961
↑ Markovsky, Ivan; Rao, Shodhan (2008). "Palindromic polynomials, time-reversible systems, and conserved quantities". 2008 16th Mediterranean Conference on Control and Automation. 125–130. doi:10.1109/MED.2008.4602018. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1-4244-2504-4. https://eprints.soton.ac.uk/266592/1/Med08.pdf.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

Pless, Vera (1990), Introduction to the Theory of Error Correcting Codes (2nd ed.), New York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-61884-5
Roman, Steven (1995), Field Theory, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94408-7
Durand, Émile (1961), "Masson et Cie: XV - polynômes dont les coefficients sont symétriques ou antisymétriques", Solutions numériques des équations algrébriques, vol. I, pp. 140–141

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

"The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials". MathPages.com.
Reciprocal Polynomial (on MathWorld)

[concrete-1] 1.0 ^1.1 *Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete mathematics : a foundation for computer science (Second ). Reading, Mass: Addison-Wesley. பக். 340. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0201558029.

[Aigner-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Aigner, Martin (2007). A course in enumeration. Berlin New York: Springer. பக். 94. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-3540390329.

[3] Roman 1995, pg.37

[Pless_1990_loc=pg._57-4] 4.0 ^4.1 Pless 1990, pg. 57

[Roman_1995_loc=_pg._37-5] Roman 1995, pg. 37

[6] Pless 1990, pg. 57 for the palindromic case only

[7] Stein, Jonathan Y. (2000), Digital Signal Processing: A Computer Science Perspective, Wiley Interscience, p. 384, ISBN 9780471295464

[8] Durand 1961

[9] Markovsky, Ivan; Rao, Shodhan (2008). "Palindromic polynomials, time-reversible systems, and conserved quantities". 2008 16th Mediterranean Conference on Control and Automation. 125–130. doi:10.1109/MED.2008.4602018. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1-4244-2504-4. https://eprints.soton.ac.uk/266592/1/Med08.pdf.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]