அதிபரவளையத் துண்டு

கணிதத்தில் ஒரு அதிபரவளையத் துண்டு (hyperbolic sector) என்பது கார்ட்டீசியன் தளம் {(x,y)} -ல் அமையும் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது. இப்பகுதி கார்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையின் ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து (a, 1/a), (b, 1/b) ஆகிய இரு புள்ளிகளுக்கு வரையப்பட்ட கதிர்கள் மற்றும் xy = 1 அதிபரவளையத்தின் வளைவரை ஆகியவற்றை வரம்புகளாகக் கொண்டமையும். a = 1 மற்றும் b > 1 கொண்ட ஒரு அதிபரவளையத் துண்டு திட்ட நிலையில் உள்ளதாகக் கொள்ளப்படுகிறது.

பரப்பளவு

y = 1/x -ன் வளைவரை, x = 1, x = b x அச்சு ஆகிய வரம்புகளுக்கு இடைப்பட்ட பரப்பு கண்டுபிடித்து, அதோடு {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} முக்கோணத்தின் பரப்பைக் கூட்டி அதிலிருந்து {(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)} முக்கோணத்தின் பரப்பைக் கழித்தால் நமக்குத் தேவையான அதிபரவளையத் துண்டின் பரப்பு கிடைக்கும்.

• $A_{1}\;=\;\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}\,dx\;=\log _{e}b.$
• முக்கோணம் {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} -ன் பரப்பு 1/2
• முக்கோணம் {(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)} -ன் பரப்பு 1/2

எனவே திட்ட நிலையிலுள்ள அதிபரவளையத் துண்டின் பரப்பளவு:

$A=\log _{e}b+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}=\log _{e}b.$