ஸ்டெயினர்-லெமசு தேற்றம்

$|AE|=|BD|,\,\alpha =\beta ,\,\gamma =\delta$ $\Rightarrow \triangle ABC,$ ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

ஸ்டெயினர்-லெமசு தேற்றம் (Steiner–Lehmus theorem), ஜெர்மானியக் கணிதவியலாளர் சி. எல். லெமசால் உருவாக்கப்பட்டு சுவிட்சர்லாந்தின் கணிதவியலாளர் யாக்கோபு ஸ்டெயினரால் நிறுவப்பட்ட எளிய வடிவவியல் தேற்றமாகும்.

தேற்றத்தின் கூற்று

இரண்டு சமநீளமுள்ள கோண இருசமவெட்டிகளைக் கொண்ட ஒவ்வொரு முக்கோணமும் ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம் ஆகும்.

1840 இல், இத்தேற்றதிற்கு வடிவவியல் நிறுவலை அளிக்குமாறு சி. எல். லெமசு, பிரஞ்சுக் கணிதவியலாளர் சி. இசுட்டோர்முக்கு (Jacques Charles François Sturm) எழுதிய கடிதத்தில் தான் இத்தேற்றம் முதன்முதலாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இசுட்டோர்ம் அதனைப் பிற கணிதவியலாளர்களிடம் தெரிவித்தார். இத்தேற்றத்துக்கான நிறுவலை முதலில் அளித்தவர் ஸ்டெயினராவார். இத்தேற்றம் குறித்த பல கட்டுரைகள் வெளியானதைத் தொடர்ந்து, தேற்றம் வடிவவியலில் பரவலானது.

நிறுவல்

இசுட்டூவர்ட்டின் தேற்ற நிறுவலுக்கான படம்

இசுட்டூவர்ட்டின் தேற்றத்தின்படி

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)\,$ --------(1)

இதில் d என்பது முக்கோணத்தின் ஒரு விழுகோட்டின் நீளம்.

மேலுள்ள சமன்பாட்டிலிருந்து d இன் மதிப்பு:

$d^{2}={\frac {b^{2}m+c^{2}n-amn}{a}}$

இந்த விழுகோடு ஒரு கோண இருசமவெட்டி எனில் கோண இருசமவெட்டித் தேற்றப்படி,

${\frac {n}{m}}={\frac {b}{c}}$

${\frac {n}{n+m}}={\frac {b}{b+c}}$

${\frac {n}{a}}={\frac {b}{b+c}}$

$n={\frac {ab}{b+c}}$

இதேபோல:

$m={\frac {ca}{b+c}}$

சமன்பாடு (1) இல் m, n மதிப்புகளைப் பதிலிட கோண இருசமவெட்டியின் நீளம்:

$d^{2}={\frac {b^{2}{\frac {ca}{b+c}}+c^{2}{\frac {ab}{b+c}}-a{\frac {ca}{b+c}}{\frac {ab}{b+c}}}{a}}$

$d^{2}=bc(1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}})$

இதேபோல மற்றொரு கோண இருசமவெட்டியின் நீளம்:

$d^{2}=ca(1-{\frac {b^{2}}{(c+a)^{2}}})$

கோண இருசமவெட்டிகளின் நீளங்கள் சமம் எனில்:

$bc(1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}})=ca(1-{\frac {b^{2}}{(c+a)^{2}}})$

$b(1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}})=a(1-{\frac {b^{2}}{(c+a)^{2}}})$

$b[(b+c)^{2}-a^{2}]=a[(c+a)^{2}-b^{2}]$

$b(b+c+a)(b+c-a)-a(c+a+b)(c+a-b)=0$

$(a+b+c)[(b^{2}+bc-ab)-(ac+a^{2}-ab)]=0$

$(a-b)(a+b+c)^{2}=0$

$(a+b+c)^{2}\not =0$ என்பதால்,

$(a-b)=0$

$a=b$

எனவே ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோண இருசமவெட்டிகளின் நீளங்கள் சமமாக இருந்தால் அம்முக்கோணம் இருசமபக்க முக்கோணமாகும் என நிறுவப்பட்டது.

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Steiner–Lehmus theorem", MathWorld.
• Paul Yiu: Euclidean Geometry Notes பரணிடப்பட்டது 2008-07-24 at the வந்தவழி இயந்திரம், Lectures Notes, Florida Atlantic University, pp. 16–17
• Torsten Sillke: Steiner–Lehmus Theorem, extensive compilation of proofs on a website of the University of Bielefeld