நான்முகிக் குலம்

கணிதத்தில் நான்முகிக் குலம் என்பது ஒரு நான்முகியின் சமச்சீர் திருப்பங்களின் குலம் ஆகும். இது 12 உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு பரிமாறாக்குலம்.

வரையறை

நான்முகிக்குலத்தின் 12 உறுப்புகள்:

நான்முகியின் நான்கு உச்சிகளிலிருந்தும் எதிர்முகத்தை நோக்கிப்பாயும் செங்குத்துக் கோடுகளை அச்சாகக் கொண்டு இடமாகவோ வலமாகவோ சுற்றிச் செல்லும் 8 சுழற்சிகள்;

எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையப்புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் கோடுகளைச் சுற்றிச் செல்லும் 3 அரைத் திருப்பங்கள் ;

மற்றும், எந்த திருப்பமோ சுழற்சியோ இல்லாத ஒரு முற்றொருமை.

முகங்களின் வரிசைமாற்றங்களாக ஒரு மாற்று வரையறை

முகங்களை $a,b,c,d$ என்று பெயரிடுவோம். இப்பொழுது, நான்முகியின் முகங்களின் 12 வரிசைமாற்றங்களின் பட்டியல்:

$(bcd),(bdc),(acd),(adc),(abd),(adb),(abc),(acb),$ மற்றும்

$(bc)(ad),(ca)(bd),(ab)(cd),$

மற்றும், முற்றொருமை.

மூலைப்புள்ளிகளின் வரிசைமாற்றங்களாக மற்றொரு வரையறை

மூலைப்புள்ளிகளை 1, 2, 3, 4 என்று பெயரிடுவோம். இவைகளின் வரிசைமாற்றங்கள் பின்வருமாறு:

(2 3 4), (2 4 3), (1 4 3), (1 3 4), (1 2 4), (1 4 2), (1 2 3), (1 3 2), மற்றும்

(1 4)(2 3), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4) மற்றும்

முற்றொருமை.

மாறிசைக்குலம்

மேலேயுள்ள {1, 2, 3, 4} இன் 12 வரிசைமாற்றங்களும் சமச்சீர் குலம் S₄ இன் 12 இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள். அதனால் நான்முகிக்குலமும் மாறிசைக்குலம் A₄ ம் ஒன்றே.

இதற்குள் ஓர் இயல்நிலை உட்குலம்

இப்பன்னிரு வரிசைமாற்றங்களில் கடைசி நான்கும் அவைகளுக்குள் ஒரு குலமாகின்றன. அவைகளில் முற்றொருமையைத்தவிர இதர மூன்றில் ஒவ்வொன்றுக்கும் கிரமம் 2; ஏனென்றால்,

{(14)(23)}² = e = {(12)(34)}² = {(13)(24)}².

ஆகையால் இந்நான்கும் சேர்ந்த உட்குலம் கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம் தான். இது A₄இல் ஓர் இயல்நிலை உட்குலம் ( Normal subgroup) ஆகும். காரணம், இதனில் அடங்கும் உறுப்புக்களுக்கெல்லாம் இணையியங்கள் இதற்குள்ளேயே உள்ளன.

இது மாத்திரமல்ல. இவ்வுட்குலத்தைத்தவிர A₄ இல் வேறொரு இயல்நிலை உட்குலம் இருக்கவே முடியாதென்பதையும் நாம் தீர்மானிக்க முடியும். ஏனென்றால், அப்படி இன்னொரு இயல்நிலை உட்குலம் ஒன்று இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். அதை K என்று அழை. இதனில், (234), (243)= (234)², இவையிரண்டில் ஏதாவதொன்று Kஇல் இருந்தால் மற்றதும் K இல் இருந்தாகவேண்டும். (காரணம் K ஒரு குலம்). மேலும்,இதைத் தொடர்ந்து,

(2 3 4), (2 4 3), (1 4 3), (1 3 4), (1 2 4), (1 4 2), (1 2 3), (1 3 2)

இவை எட்டில், ஏதாவதொன்று K இல் இருந்தால் மற்ற அனைத்தும் K இல் இருந்தாகவேண்டும். ஏனென்றால் அவை ஒன்றுக்கொன்று இணையியங்கள் (எல்லாம் ஒரே பொதுவான சுழலமைப்புள்ளவை). அதனால் Kஇன் கிரமம் ≥ 8. ஆனால் லாக்ராஞ்சியின் தேற்றப்படி K இன் கிரமம் A₄ இன் கிரமமான 12 ஐ வகுத்தாகவேண்டும். இதனால் K = A₄. ஆக, A₄ இன் இயல்நிலை உட்குலம் நான்குறுப்புக்குலம் ஒன்று மட்டும் தான்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு

வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல்