வளைவுந்தம்

கோணவுந்தம் அல்லது வளைவுந்தம் என்பது ஒரு பொருள் ஒரு அச்சைச் சுற்றி சுழலும் பொழுது சுழல்வரைவும் அச்சும் அமைந்துள்ள தளத்திற்குச் செங்குத்தான திசையில் வளைவுந்தம் (L) அமையும். இதனைப் படத்தில் காணலாம். வளைவுந்தம் என்னும் நெறியம் பச்சை நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

கோணவுந்தம் அல்லது வளைவுந்தம் (Angular momentum) என்பது ஒரு புள்ளியை நடுவாகக் கொண்டு ஒரு பொருள் சுழலும் பொழுது, அப்பொருள் சுழலும் இருப்புவரையின் தொடுகோட்டில் கொண்டிருக்கும் உந்தம் ஆகும். வேறு புறத் திருக்கம் ஏதும் அப்பொருளின் மீது செயல்படாதிருக்கும் வரையிலும், அப்பொருள் அதே கோணவுந்தத்தைப் பெற்றிருக்கும்.

தற்சுழற்சியின்போது, இந்தக் கொட்பு அளவி கோண உந்த அழியாமையால் எப்போதும் மேல்நோக்கி அமைகிறது.

இயற்பியலில், கோண உந்தம் (angular momentum) (அரிதாக, உந்தத் திருப்புமை (moment of momentum) அல்லது சுழற்சி உந்தம் (rotational momentum)) என்பது நேரியக்க உந்தக் கருத்துப்படிமத்தின் சுழற்சியியக்க ஒப்புமையாகும். இது இயற்பியலில் முதன்மை வாய்ந்த அளவாகும். ஏனெனில், ஓர் அமைப்பின் மொத்தக் கோண உந்தம், புறத்திருக்கத்துக்கு ஆட்பட்டால் ஒழிய, மாறுவதில்லை.

முப்பருமான வெளியில், ஒரு புள்ளித்துகளின் கோணவுந்தம் என்பது r×p எனும்பகுதிநெறியம் ஆகும். இது துகளின் இருப்பு நெறியம் r (குறிப்பிட்ட அச்சு சார்ந்தது), அதன் உந்த நெறியம் p= mv ஆகியவற்றின் குறுக்குப் பெருக்கல் ஆகும். இந்த வரையறையைத் திண்மம் அல்லது பாய்மம் அல்லது புலம் போன்ற தொடர்மங்களின் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் பொருந்துவதாகும். உந்த்த்தைப் போலல்லாமல், துகளின் இருப்பு அச்சில் இருந்து அளக்கப்படுவதால், கோணவுந்தம் தேர்வு செய்த அச்சைச் சார்ந்துள்ளது. புள்ளித் துகளின் கோணவுந்த நெறியம், கோண விரைவு (எவ்வளவு வேகமாக கோண இருப்பு மாறுகிறது எனும்) ω மதிப்புக்கு நேர்விகிதத்திலும் அதன் திசைக்கு இணையாகவும் அதாவது, துகளின் mv நெறியத்துக்கு இணையாகவும் அமையும். இங்கு விகித மாறிலி பொருளின் பொருண்மையையும் பொருள் அச்சில் இருந்துள்ள தொலைவையும் பொறுத்தமையும். தொடர்ந்த விறைத்த பொருள்களுக்குத் தற்சுழற்சி கோணவுந்தம் கோண விரைவுக்கு நேர்விகிதத்தில் இருந்தாலும் பொருளின் தற்சுழற்சிக் கோணவுந்த நெறியத்துக்கு இணையாக அமைவதில்லை. இதனால், விகித மாறிலி I (உறழ்மைத் திருப்புமை எனப்படுவது) அளவனாக அமையாமல் இரண்டாம் தர உயர்நெறியமாக விளங்குகிறது.

கோணவுந்தம் கூட்டக்கூடியதாகும்; அமைப்பின் மொத்தக் கோணவுந்தம் தனிக் கோணவுந்தங்களின் நெறியக் கூட்டலுக்குச் சமமாகும். தொடர்மங்களுக்கும் புலங்களுக்கும் தொகைத்தல் (integration) முறையைப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு விறைத்த பொருளின் மொத்தக் கோணவுந்தத்தை இரண்டு முதன்மை உறுப்புகளாகப் பகுக்கலாம்: அவை அச்சில் இருந்தமையும் பொருண்மை மையத்தின் கோணவுந்தம், (இங்கு பொருண்மை என்பது மொத்தப் பொருண்மை ஆகும்) பொருளின் பொருண்மை மையத்தில் இருந்தமையும் தற்சுழற்சிக் கோணவுந்தம் என்பனவாகும்.

திருக்கம் என்பது கோணவுந்தத்தின் மாற்றவீதம் என வரையறுக்கலாம். இது விசையை உந்த மாற்றவீதமாக வரையறுத்தலுக்கு ஒப்பானதாகும். கோணவுந்த அழியாமை பல நோக்கீட்டு நிகழ்வுகளை விளக்க உதவுகிறது. எடுத்துகாட்டாக கைகளைக் குறுக்கும்போது பனிச்சறுகலத்தின் தற்சுழற்சி வேகம் கூட்ய்வதையும் நொதுமி விண்மீன்களின் உயர் உயர்சுழற்சி வீத்த்தையும் புவியின் கரோலிசு விசை விளைவையும் சுழலும் பம்பர உச்சியின் தலையாட்டத்தையும் கொட்புநோக்கி இயக்கத்தையும் சுட்டலாம். இதன் பயன்பாடுகளில் கொட்புத் திசைகாட்டி, கட்டுபாட்டுத் திருப்புமை கொட்புநோக்கி உறழ்மை வழிகாட்டு அமைப்புகள் எதிர்வினைச் சக்கரங்கள், சமன்சக்கரங்கள் புவியின் சுழற்சி போன்றவற்றைக் கூறலாம். பொதுவாக, அழியாமை நெறிமுறை அமைப்பின் இயக்கத்தை வரம்புபடுத்துகிறது என்றாலும் சரியான இயக்கத்தை ஒருமுகமாகத் தீர்மானிப்பதில்லை.

குவைய இயக்கவியலில், கோணவுந்தம், குவையப்படுத்திய ஐன் மதிப்புகளைக் கொண்ட கோணவுந்த வினையியாக (operator) அமைகிறது. இங்கு, கோணவுந்தம் ஐசன்பர்கின் உறுதியின்மை நெறிமுறையைப் பின்பற்றுகிறது. இதன் பொருள், குறிப்பிட்ட நேரத்தில், துல்லியமாக ஒரே ஒரு உறுப்பை மட்டுமே அளத்தல் இயலும் என்பதும் மற்ற இரண்டை அளக்க இயலாது என்பதும் மேலும், அடிப்படைத் துகள்களின் தற்சுழற்சி நாம் விளங்கிக்கொள்ளும் தற்சுழற்சி இயக்கத்தோடு ஒத்தமையாது என்பதும் ஆகும்.

செவ்வியல் இயக்கவியலில் கோண உந்தம்

வரையறை

அளவனாக — இருபருமானங்களில் கோண உந்தம்

O அச்சு சார்ந்த mஎனும் துகளின் விரைவை ஈருறுப்புகளாக r எனும் ஆர நெறியத்துக்கு இணையாக (v_//) எனவும் அதற்குச் செங்குத்தாக (v_⊥) எனவும் பிரிக்கலாம். m இன் கோணவுந்தம் விரைவின் செங்குத்து உறுப்புv_⊥ மதிப்புக்கு நேர்விகிதத்தில் இருக்கும் அல்லது அதற்கு இணையான அச்சில் இருந்துள்ள செங்குத்துத் தொலைவு r_⊥க்குச் சமமாக அமையும்.

கோணவுந்தம் ஒரு யூக்ளிடிய நெறிய அளவாகும். இது (மிகவும் துல்லியமாக ஒரு பகுதி நெறியமாகும்) பொருளின் உறழ்மைத் திருப்புமையையும் ஓர் அச்சில் இருந்துள்ள கோணவிரைவையும் பெருக்கிவரும் மதிப்பாகும். என்றாலும், துகள் ஒரே தளத்தில் இருந்தல் கோணவுந்தத்தின் நெறிய தன்மையை நீக்கிவிட்டு அதை ஓர் அளவனாகக் கருதினாலே போதுமானதாகும் (மிகவும் துல்லியமாக பகுதி அளவனாகக் குருதினாலே போதும்). கோணவுந்தத்தை நேர் உந்தத்தின் சுழற்சி ஒப்புமையாகக் கருதலாம். இவ்வாறு நேர் உந்தம்$p$, $m$ எனும் பொருண்மைக்கும் நேர் விரைவு $v$, ஆகியவற்றுக்கு நேர்விகிதத்தில் இருக்கும்.

$p=mv,$

கோணவுந்தம் $L$, is proportional to moment of inertia $I$ எனும் உறழ்மைத் திருப்புமைக்கும் $\omega$ எனும் கோண வேகத்துக்கும் நேர்விகிதத்தில் இருக்கும்,

$L=I\omega .$

பொருளின் பொருண்ம அளவை மட்டுமே பொறுத்துள்ள பொருண்மையைப் போன்றல்லாமல், உறழ்மைத் திருப்புமை சுழல் அச்சின் இருப்பையும் பொருளின் உருவடிவத்தையும் பொறுத்திருக்கிறது. நேர்க்கோட்டில் உள்ள நேர்வேகத்தைப் போலல்லாமல், கோணவேகம் ஒரு சுழற்சி மையத்தைப் பொறுத்து அமைகிறது. எனவே, துல்லியமாக பேசினால் $L$ அம்மையம் சார்ந்த கோணவுந்தம் எனக் குறிப்பிடப்படவேண்டும்.

தனியொரு துகளுக்கு $I=r^{2}m$ என்பதாலும் வட்ட இயக்கத்துக்கு $\omega ={\frac {v}{r}}$ என்பதாலும் கோணவுந்தத்தை $L=r^{2}m\cdot {\frac {v}{r}},$ என விரிவாக்கி, பின்வருமாறு குறுக்கலாம்

$L=rmv,$

இது சுழல் ஆரம் $r$, துகளின் நேர் உந்தம் $p=mv$ ஆகியவற்றின் பெருக்கல் ஆகும், இங்கு $v$ ($=r\omega$) என்பது $r$ஆரத்தில் அமைந்த தொடுகோட்டில் உள்ள நேர்வேகத்துக்குச் சமம் ஆகும்.

இந்த எளிய பகுப்பாய்வை, ஆர நெறியத்துக்குச் செங்குத்தாக உள்ள உறுப்பைக் கருதினால் வட்டம் அல்லாத இயக்கத்துக்கும் பயன்படுத்தலாம். அப்போது,

$L=rmv_{\perp },$

இங்கு $v_{\perp }=v\sin(\theta )$ என்பது இயக்கத்தின் செங்குத்து உறுப்பாகும். $L=rmv\sin(\theta ),$ என்பதை விரிவாக்கி, மீளமைத்தால், $L=r\sin(\theta )mv,$ வரும் இதைக் குறுக்கினால், கோணவுந்த்த்தைப் பின்வருமாறும் கோவைப்படுத்தலாம்;

$L=r_{\perp }mv,$

இங்கு $r_{\perp }=r\sin(\theta )$ என்பது திருப்புமைக் கையின் நீளம் ஆகும். இது அச்சில் இருந்து துகளின் வழித்தடத்துக்கு வ்ரையும் செங்குத்துக் கோடாகும். இந்த(திருப்புமையின் கையின் நீளம்×(நேர் உந்தம்) எனும் கோணவுந்த வரையறையைத் தான் உந்தத் திருப்புமை எனும் சொல் குறீக்கிறது.

கோணவுந்தத்தை எவ்வாறு அளப்பது என்பது கீழே விளக்கப்பட்டுளது. ஒரு புள்ளியை அச்சாகக் கொண்டு, ஒரு புள்ளியளவே பருமை கொண்ட திணிவுள்ள (பொருண்மை கொண்ட) ஒரு பொருள், சுற்றி (சுழன்று) வருமாயின், அதன் கோணவுந்தம்

• அப்பொருளின் திணிவுக்கும் (பொருண்மைக்கும்),
• அது நகரும் விரைவுக்கும்,
• அது அச்சுப்புள்ளியில் இருந்து விலகி இருக்கும் தொலைவுக்கும்

தொடர்புடையது.

எனவே திணிவு, விரைவு, விலகு தொலவு ஆகிய மூன்றும் வளவுந்தத்தைக் கணிக்கத் தேவைப்படும். ஒரு பொருள் ஓர் அச்சுப் புள்ளியை நடுவாகக் கொண்டு சுழலும் பொழுது அதன் வளைவுந்தமானது அச்சுப் புள்ளியும் வளைந்து செல்லும் பாதையும் அமைந்த தளத்திற்குச் செங்குத்தான திசையில் இயங்கும்.

இவ் வளைவுந்தானது இயற்பியலில் மிகவும் முக்கியமானதாகும். ஏனெனில் இது முழு இயக்க அமைப்பொன்றில் புற திருக்கம் ஏதும் இல்லை எனில் மாறாதிருக்கும் அளவுப்பொருளாகும். இதற்கு வளைவுந்தம் மாறாக் கொள்கை என்று பெயர். திருக்கம் என்பது வளைவுந்தம் மாறுபடும் வீதம் ஆகும். அதாவது ஒரு நொடிக்கு வளைவுந்தம் எவ்வளவு மாறுகின்றது என்பதாகும்.

வளைவுந்தத்தை விளக்கும் அசையும் படம்

வரையறை

ஓர் அச்சுப்புள்ளியை நடுவாகக் கொண்டு சுழலும் ஒரு பொருளின் வளைவுந்தத்தை L என்று கொள்வோம். நடுப்புள்ளியில் இருந்து பொருள் விலகி இருக்கும் தொலைவை விலகுத்தொலைவு நெறியம் ("திசையன்") (vector) r எனக் கொள்வோம். பொருளின் திணிவு (பொருண்மை) m எனக் கொள்வோம். இயங்கும் பாதையில் ஒவ்வொரு புள்ளியிலிருந்தும் அப்பொருளின் நேர் விரைவு v எனக்கொள்வோம். பொருளின் நேர்திசை உந்தம் p (= mv) எனக் கொண்டால், வளைவுந்தம் L என்பதைக் கீழ்காணுமாறு கணிதக் குறியீடுகள் வழி விளக்கப்படும். பெருக்கல் குறியானது குறுக்கு நெறியப் பெருக்கலைக் குறிக்கும் (நெறியம் = திசையன்). எனவே L இன் திசையானது r, p ஆகிய இரண்டு நெறியங்களும் இருக்கும் தளத்திற்குச் செங்குத்தான திசையில் இருக்கும்.

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

$\mathbf {L}$ என்பது பொருளின் வளைவுந்தம்.

$\mathbf {r}$ என்பது பொருளானது நடுப்புள்ளியில் இருந்து விலகி உள்ள தொலைவு. இது ஒரு விலகு தொலைவு நெறியம் (vector).

$\mathbf {p}$ என்பது பொருளின் நேர்திசை உந்தம்.

$\times \,$ என்பது குறுக்குப் பெருக்கு அல்லது புறப் பெருக்கு என்னும் நெறியப் பெருக்கு.

வளைவுந்தத்தின் SI அலகு நியூட்டன்.மீட்டர்.நொடி (N•m•s); அல்லது கிலோ.கி. மீ²/நொ (kg.m²s⁻¹) வளைவுந்தத்தின் பரும அளவானது திணிவு (m), நடு விலகுதொலைவின் இருமடி (r²), வளைந்தோட்ட விரைவு (v) ஆகியவற்றின் பெருக்குத்தொகை (mvr²) ஆகும்.

உதாரணமாக கட்டை மாட்டு வண்டியில் சக்கரங்கள் பொருத்திவிட்டு அச்சாணி பொருத்துவது கோண உந்தத்தினால் சக்கரம் கழன்று விடாமல் இருப்பதற்காகவே.

மேற்கோள்கள்

• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck (2006). Quantum Mechanics (2 volume set ed.). John Wiley & Sons. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-471-56952-7.
• Condon, E. U.; Shortley, G. H. (1935). "Especially Chapter 3". The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-09209-8.
• Edmonds, A. R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-691-07912-7.
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-40122-5.
• Jackson, John David (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). John Wiley & Sons. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-471-30932-1.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-534-40842-8.
• Thompson, William J. (1994). Angular Momentum: An Illustrated Guide to Rotational Symmetries for Physical Systems. Wiley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-471-55264-2.
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-7167-0809-4.
• Feynman R, Leighton R, and Sands M. 19–4 Rotational kinetic energy, from The Feynman Lectures on Physics (online edition), The Feynman Lectures Website, September 2013.

வெளி இணைப்புகள்

• Conservation of Angular Momentum பரணிடப்பட்டது 2016-12-07 at the வந்தவழி இயந்திரம் – a chapter from an online textbook
• Angular Momentum in a Collision Process – derivation of the three-dimensional case
• Angular Momentum and Rolling Motion பரணிடப்பட்டது 2016-05-31 at the வந்தவழி இயந்திரம் - more momentum theory