மையவிலக்கு விசை

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

மையவிலக்கு விசை (centrifugal force, இலத்தீனிலான centrum "மையம்" மற்றும் fugere "பறத்தல்") என்பது சுழற்சியினால் ஏற்படும் நிலைமத்தின் விளைவுகளைக் குறிப்பதாகும், மேலும் அது சுழற்சியின் மையத்திலிருந்து புறத்தே நோக்கி அமையும் விசையாக உள்ளது. நியூட்டனின் எந்திரவியலில், மையவிலக்கு விசை என்னும் சொல்லானது இரண்டு வேறுபட்ட கருத்துகளில் ஒன்றைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அவை: ஒரு நிலைமமற்ற குறிப்பு சட்டகத்தில் உணரப்படும் ஒரு நிலைம விசை ("கற்பனை" விசை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட மையநோக்கு விசைக்குரிய ஒரு எதிர் வினை விசை ஆகியவை ஆகும். பொதுப்படுத்திய ஆய அச்சுகளின் தெரிவைச் சார்ந்துள்ள பொதுப்படுத்திய விசையில் உள்ள சில கூறுகளை விவரிக்க, சில நேரங்களில் லெக்ராஞ்சியம் எந்திரவியலிலும் இந்தச் சொல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கற்பனையான மையவிலக்கு விசை[தொகு]

மையவிலக்கு விசை பல நேரங்களில் மையநோக்கு விசையுடன் குழப்பிக்கொள்ளப்படுகிறது. மையவிலக்கு விசையானது பெரும்பாலும் பொதுவாக, நிலைமமற்ற குறிப்புச் சட்டகத்திலான இயக்கத்தை விவரிப்பதுடன் தொடர்புடைய விசையாகவே கருதப்படுகிறது, மேலும் அது கற்பனையான அல்லது நிலைம விசை என்றும் குறிக்கப்படுகிறது (இந்த சொற்களைத் தொழில்நுட்பரீதியாகப் பயன்படுத்தும்போது இந்த விசையானது நிலையாகவோ அல்லது நிலைம சட்டகத்திலோ இல்லை எனப் பொருளாகும் என்பது புரிந்துகொள்ள வேண்டிய விளக்கமாகும்).[1][2] மரபார்ந்த எந்திரவியலைப் பயன்படுத்தி இயக்கத்தை விவரிக்கும்போது கற்பனையான விசை பற்றிய கருத்து எழக்கூடிய மூன்று சூழல்கள் உள்ளன.[3] முதல் சூழலில், இயக்கமானது ஆய அச்சு அமைப்பின் ஆயத்திலுள்ள நிலையான அச்சைப் பற்றி சுழலும் ஒரு குறிப்பு சட்டகத்துடன் தொடர்புடையதாக விவரிக்கப்படுகிறது. சுழலும் சட்டகத்திலான கவனிப்புகளுக்கு, எல்லாப் பொருள்களும் சுழற்சி அச்சிலிருந்து அவை உள்ள தொலைவு மற்றும் சட்டகத்தின் சுழற்சி வீதம் ஆகியவற்றுக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும் ஆரவழி வெளிநோக்கு விசையின் தாக்கத்திலுள்ளதாகவே தோன்றும். இரண்டாவது சூழலும் இதற்கு ஒத்ததே ஆகும், அது நகரும் ஒரு பொருளுடன் இணைக்கப்பட்ட, முடுக்கப்பட்ட உள்ளக குறிப்பு சட்டகத்தைப் பயன்படுத்தி இயக்கத்தை விவரிக்கிறது, எடுத்துக்காட்டுக்கு ஒரு திருப்பத்தில் சுற்றிச்செல்லும் காரில் உள்ள பயணிகளின் குறிப்பு சட்டகத்தைக் கூறலாம்.[3] இந்நிகழ்வில், சுழற்சியானது சம்பந்தப்பட்டுள்ளது. இதில் நகரும் பொருளின் பாதையின் வளைவின் மையத்தைப் பற்றிய சுழற்சி சம்பந்தப்பட்டுள்ளது. இந்த இரு சூழல்களிலும், குறிப்பு சட்டகத்தின் சுழற்சி வீதம் பூச்சியமாக இருக்கும்போது மையவிலக்கு விசையானது பூச்சியமாகும், இது சட்டகத்திலுள்ள பொருள்களின் இயக்கத்தைச் சாராததாக உள்ளது.[4]

மூன்றாவது சூழலானது கீழே விவரிக்கப்பட்டிருக்கும் லெக்ராஞ்சியன் எந்திரவியல் சூத்திரமாக்கலில் உள்ளது போன்று பொதுப்படுத்திய ஆய அச்சுகளைப் பயன்படுத்துவது தொடர்பானதாகும். இங்கு, "மையவிலக்கு விசை" என்ற சொல், "பொதுப்படுத்திய மையவிலக்கு விசை" என்பதன் சுருக்கமாக்கப்பட்டுள்ளது, பொதுவாக அதற்கும் மையவிலக்கு விசையின் நியூட்டனியல் கருத்துக்கும் சிறிதளவே தொடர்புண்டு.

பொருள்கள் சுழலும் அச்சிலிருந்து நகர்வதாகத் தோன்றினால், இந்த நகர்வினால் மற்றொரு கற்பனை விசையை விளைவிக்கும், அது கொரியோலிஸ் விசை எனப்படும். மேலும் சட்டகத்தின் சுழலும் வீதம் மாறினால் ஆய்லர் விசை எனப்படும் மூன்றாவது விசையும் விளைகிறது. இந்த கற்பனை விசைகள் மூன்றும் இணைந்து சுழலும் சட்டகத்திலான இயக்கத்தின் சரியான சமன்பாடுகளை உருவாக்க உதவுகின்றன.[4]

மையவிலக்கு விசை காணப்படும் இயல்பான நிகழ்வுகள்[தொகு]

மையவிலக்கு விசை இடம்பெறும் நிகழ்வுகளுக்கான சில எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு:

  • கார் ஒன்று ஒரு மூலையில் திரும்பும்போது, காரும் அதிலுள்ளவர்களும் ஒரு வட்டப் பாதையில் அல்லது வட்டப் பாதையின் ஒரு பகுதியில் பயணிக்கின்றனர். கார் இடப்புறம் திரும்பினால் வலப்புறமாகவும் வலப்புறம் திரும்பினால் இடப்புறமாகவும் ஒரு புற விசை தங்களைத் தள்ளுவதை காரிலுள்ளவர்கள் உணர்வார்கள்.
  • ரௌட்டர் (Rotor) போன்ற கேளிக்கை இராட்டினங்களில் சுழல் சவாரி செய்பவர்கள், பெரிய ட்ரம்மின் உட்பக்கச் சுவரில் தங்கள் முதுகு படரும்படி நின்றிருப்பார்கள். அந்த டிரம் சுழலும்போது அதில் சவாரி செய்பவர்கள், ஒரு புற விசை சுவருக்கு எதிராக செயல்பட்டு அழுத்தித் தள்ளுவதை உணர்வார்கள். அந்த விசையின் வலிமையானது புவியீர்ப்பு விசையின் வலிமையை விட 50% அதிகமாக இருக்கும். இது உயர்-ஜி-பறத்தலைச் செயல்படுத்துவதற்கு விண்வெளி வீரர்கள் பயிற்சி செய்யும்போது பயன்படுத்தும் மையநீக்கிகளைப் போன்றதே ஆகும்.
  • செங்குத்து சுழற்சி கொண்ட ரோலர் கோஸ்டரில் சவாரி செய்பவர்கள் சுழற்சியின் தொடக்கத்தில் அவர்களின் இருக்கையை நோக்கி அவர்களை அழுத்துவதுபோல் உணர்வார்கள். சுழற்சியில் மேலே சென்று அவர்கள் தலைகீழாக இருக்கும்போது, ஏதோ ஒரு விசையினால் புவியீர்ப்பு விசை இல்லாமல் செய்யப்பட்டு, அவர்கள் எடையிழந்தது போல் உணர்வார்கள். நீர் நிரம்பிய வாலியை ஒருவர் செங்குத்து தொடர் இயக்கத்தில் இசைவாக ஆட்டுவது இதே போன்ற நிகழ்வுக்கு ஓர் எடுத்துக்காட்டாகும்.
  • 2001: A Space Odyssey (டிஸ்கவரி ஒன் விண்கலத்தில்) போன்ற அறிவியல் புதின கதைகளிலும் ஹாலோ போன்ற கேம்களிலும் பெரிய உருளை அல்லது நீள்கன வட்டம் ஆகியவற்றை சுழற்றுவதன் மூலம் செயற்கை புவியீர்ப்பு விசையை உருவாக்குகின்றனர். அதிலிருப்பவர்களைப் பொறுத்து, உருளை அல்லது நீள்கன வட்டத்திற்குள் உள்ள எதுவும் அசைவது போல் தெரியாமல், புவியீர்ப்பு விசையைப் போன்ற ஒரு புற விசையால் அனைத்தும் கட்டுப்படுத்தப்படுவது போலவே தோன்றும்.

மையவிலக்கு விசை ஒருவரின் சமநிலை அமைப்பைப் பாதிக்கலாம், இதனால் ஒருவருக்கு எது மேடு பள்ளம் என்பதை உணர்வதில் பாதிப்பு ஏற்படலாம். செயற்கை புவியீர்ப்பு விசையை உருவாக்க உதவுகிறது என்ற விதத்தில் பயனுள்ளதாக இருப்பினும், இதனால் குமட்டல் அல்லது வாந்தி ஆகியவற்றை ஏற்படுத்தும் இயக்கக் கோளாறுகள் தொடர்பான சமநிலையின்மை விளையக்கூடும் என்ற சிக்கலும் உள்ளது.

மையவிலக்கு விசையானது உடல் வட்டப் பாதையில் நகரும்போது உருவாவதாகத் தோன்றுகிறது, மேலும் அது நகரும் வட்டப் பாதையின் மையத்திலிருந்து வெளிநோக்கித் தள்ளுவது போலவும் உணரப்படுகிறது. அதன் எண்ணளவானது F = mv^2/r என்னும் சூத்திரத்தின் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. இதில் m என்பது பொருளின் நிறையும் v என்பது பொருளின் வேகமும் r என்பது பாதையின் ஆரமும் ஆகும். மாற்றாக, F = m\omega^2r என்னும் சூத்திரமும் உள்ளது. இதில் \omega என்பது கோணத் திசைவேகமாகும்.

இருப்பினும் நடைமுறையில், இது போன்ற நிகழ்வுகளின் போது பொருள்களின் (அதாவது பொருள்கள் அல்லது நபர்கள்) மீது இது போன்று விசை எதுவும் செயல்படுவதில்லை. ஒவ்வொரு நிகழ்விலும், பொருளானது நேர்க்கோட்டில் இயங்கும் இயல்பையே கொண்டிருக்கும். கார், டிரம், இருக்கை போன்றவை வட்டப் பாதையில் இயங்கும் போது அந்தப் பாதையின் மையத்தை நோக்கி வழங்கப்படும் புற விசையானது அதன் இயக்கத் திசைக்கு செங்குத்தான திசையில் செயல்படும். எடுத்துக்காட்டுக்கு, ரௌட்டரில் சவாரி செய்பவர்களுக்கு சவாரிக் கலத்தின் சுவரை நோக்கி அழுத்தித் தள்ளப்படுவதாக உணர்ந்தாலும், உண்மையில் அவர்களின் வட்ட இயக்கத்தினால் உருவாகும் ஒரு விசையினால் அவர்கள் சவாரிக் கலத்தின் சுவரிலேயே அவர்கள் அழுத்தித் தள்ளப்படுகிறார்கள். இதனாலேயே அவர்களின் (நேர்க்கோட்டு இயக்கமல்லாமல்) வட்ட இயக்கமும் விளைகிறது.

எதிர்வினை மையவிலக்கு விசை[தொகு]

எதிர்வினை மையவிலக்கு விசை என்பது ஒரு மையநோக்கு விசையின் எதிர்வினை விசையாகும். வட்டப் பாதை இயக்கம் போன்ற வளைவு இயக்கத்திலுள்ள ஒரு நிறை தொடர்ந்து சுழற்சி அச்சை நோக்கி முடுக்கம் பெறுகிறது. ஒரு நிறையின் மீது மற்றொரு பொருளால் செலுத்தப்படும் ஒரு மையநோக்கு விசையே இந்த மையநோக்கு முடுக்கத்தை வழங்குகிறது. நியூட்டனின் மூன்றாம் இயக்க விதியின்படி, அந்த நிறை அப்பொருளின் மீது சமமான மற்றும் எதிர் விசையைச் செலுத்துகிறது. இது எதிர்வினை மையவிலக்கு விசையாகும். இது சுழற்சி மையத்திலிருந்து வெளி நோக்கி செலுத்தப்படுகிறது. மேலும் அது சுழலும் நிறையினால் மையவிலக்கு முடுக்கத்தைத் தோற்றுவிக்கும் பொருளின் மீது செலுத்தப்படுகிறது.[5][6][7]

மையவிலக்கு விசை பற்றிய இந்தக் கருத்து கற்பனையான விசை (அதாவது இயல்பான நிகழ்விலுள்ள மையவிலக்கு விசை) பற்றிய கருத்திலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டதாகும். அவை இரண்டும் ஒரே பெயரால் அழைக்கப்படுவதால் இரண்டும் குழப்பமாக இருக்கலாம். 'கற்பனையான விசையானது' வட்டப் பாதையில் நகரும் பொருளின் மீது செயல்படுகிறது, ஆனால் 'எதிர்வினை விசையானது' வட்டப் பாதையில் நகரும் பொருளினால் மற்றொரு பொருளின் மீது செலுத்தப்படுகிறது. இதில் முன்னது சுழலும் குறிப்புச் சட்டகத்திலுள்ள பொருளின் இயக்கத்தைப் பகுப்பாய்வு செய்வதில் மிகவும் பயனுள்ளதாகும். பின்னது பயன்படாது.
நல்லவேளையாக, கரியோலிஸ் விசை மற்றும் ஆய்லர் விசை போன்ற பிற 'கற்பனையான விசைகளுடன் குழப்பிக்கொள்ளத்தக்க வேறு விசைகள் எதுவும் இல்லை!

எதிர்வினை மையவிலக்கு விசை என்னும் கருத்து சுழலும் திடப் பொருள்களிலான அகத் தகைவுகள் பற்றி ஆய்வு செய்யும் எந்திரவியல் பொறியியல் ஆதாரங்களில் அடிக்கடிப் பயன்படுவதாகும்.[8] நியூட்டனின் எதிர்வினை மையவிலக்கு விசையும் சில கருத்தாதாரங்களில் வருகிறது. மேலும் அது எதிர்வினை மையவிலக்கு விசை எனப்படாமல் மையவிலக்கு விசை என்றே குறிப்பிடப்படுகிறது.[9][10][11][12][13][14][15][16][17]

கற்பனையான விசையும் எதிர்வினை விசையும்[தொகு]

கீழே உள்ள அட்டவணையில் மையவிலக்கு விசையின் "கற்பனை விசை" மற்றும் "எதிர்வினை விசை" ஆகியவை கருத்துகளின் பல்வேறு அம்சங்களுடன் ஒப்பிடப்பட்டுள்ளன

கற்பனையான மையவிலக்கு விசை எதிர்வினை மையவிலக்கு விசை
குறிப்பு
சட்டகம்
நிலைமமற்ற சட்டகங்கள் எதுவாகவும் இருக்கலாம்
செலுத்துவது
  '
வெளி நோக்கியதாக செயல்படுகிறது
சுழற்சி அச்சிலிருந்து செயல்படுகிறது,
ஆனால் உண்மையான மூலம் இல்லை
வட்டப் பாதைகளில் நகரும் பொருள்களால்
செலுத்தப்படுகிறது
இதன் மேல் செலுத்தப்படுகிறது
  '
அனைத்துப் பொருள்களின் மீதும், அவை அசையும் அல்லது அசையாப் பொருள்களாக இருக்கலாம்;
அசையும்பட்சத்தில், கரியோலிஸ் விசையும்
உள்ளது
வளைவு இயக்கத்திற்குக் காரணமாக
உள்ள பொருள்களின் மீது செலுத்தப்படுகிறதேயன்றி
வளைவு இயக்கத்திலுள்ள பொருளின் மீதன்று
திசை பொருளின் பாதை எவ்வாறிருப்பினும்,
சுழற்சி அச்சிலிருந்து வெளிநோக்கி அமைகிறது
வளைவுப் பாதைக்குக் காரணமாக அமையும்
மையநோக்கு விசைக்கு எதிர்த் திசை
பகுப்பாய்வு இயக்கவிசையியல்:
நியூட்டனின் இயக்க விதிகளில்
விசையாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது
இயக்கவியல்:
மையநோக்கு விசையுடன்
தொடர்புபடுத்தப்படுகிறது

மையவிலக்கு விசையின் லெக்ராஞ்சியன் சூத்திரமாக்கல்[தொகு]

லெக்ராஞ்சியன் எந்திரவியல் எந்திரவியலை பொதுப்படுத்திய ஆய அச்சுகளைக் \{q_k\} கொண்டு வழங்குகிறது. அவை வழக்கமான முனைவு ஆய அச்சுகளைப் போன்று அல்லது மாறிகளின் மிக விரிவான பட்டியலைப் போன்று எளிமையானவை (r,\ \theta) ஆகும்.[18][19] இந்த சூத்திரமாக்கலில் இயக்கமானது நியூட்டனின் விதிகளுக்கு பதிலாக ஆய்லர்–லெக்ராஞ்சி சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி பொதுப்படுத்திய விசைகளைக் கொண்டு விவரிக்கப்படுகிறது. பொதுப்படுத்திய விசைகளில், \{(\mathrm{d}q_k/\mathrm{d}t)^2\} என்னும் கால வகைக்கெழுக்களின் இருபடியைக் கொண்டுள்ளவை சில நேரங்களில் மையவிலக்கு விசைகள் என அழைக்கப்படுகின்றன.[20][21][22][23]

முனைவு ஆய அச்சுகளுக்கான லெக்ராஞ்சியன் அணுகுமுறையானது (r,\ \theta) ஐ பொதுப்படுத்திய ஆய அச்சுகளாகவும் (\dot{r},\ \dot{\theta}) ஐ பொதுப்படுத்திய திசைவேகங்களாகவும் (\ddot{r},\ \ddot{\theta}) ஐ பொதுப்படுத்திய முடுக்கங்களாகவும் கருதுகிறது. இது மற்றொரு கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் பல தகவலாதாரங்களிலும் கிடைக்கிறது.[24][25][26] மையவிலக்கு விசையிலான பொதுப்படுத்திய ஆய அச்சுகளான (\dot{r},\ \dot{\theta}) ஐப் பயன்படுத்தும் ஒற்றைப் பொருள் இயக்கத்தின் பிரத்யேக நிகழ்வுக்கு, இணை சுழல் சட்டகத்தில் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியைப் பயன்படுத்திக் கண்டறியப்படும் அதே சமன்பாடுகளே ஆய்லர்-லெக்ராஞ்சி சமன்பாடுகளாகும். எடுத்துக்காட்டுக்கு, ஆரச் சமன்பாடு பின்வருமாறு:

\mu\ddot{r} = \mu r\dot\theta^2 - \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}

இதில், U(r) என்பது மைய விசை ஆற்றலாகும். இடப்புறமுள்ளது "பொதுப்படுத்திய விசை"யும் வலப்புறமுள்ள முதல் உறுப்பு "பொதுப்படுத்திய மையவிலக்கு விசையுமாகும்". இருப்பினும், இடப்புறமுள்ளதை நியூட்டனியன் விசையுடன் ஒப்பிட முடியாது. காரணம், அது முழுமையான ஆரவகை முடுக்கத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை. மேலும் அதே போல் வலப்புறமுள்ள உறுப்புகள் "பொதுப்படுத்திய விசைகள்" ஆகும், அவற்றை நியூட்டனியன் விசைகளாகக் கருதமுடியாது.[27]

லெக்ராஞ்சியன் மையவிலக்கு விசையானது ஒரு சுழலும் குறிப்பு சட்டகத்தின் வெளிப்படையான பயன்பாடு இல்லாமலே வருவிக்கப்படுகிறது,[28] ஆனால் மைய ஆற்றலிலான இயக்கத்தின் நிகழ்வைப் பொறுத்தமட்டில், இணை சுழல் சட்டகத்தில் வருவிக்கப்படும் கற்பனை மையவிலக்கு விசையைப் போன்ற விளைவே கிடைக்கிறது.[3] இருப்பினும், பிற மிகவும் பொதுவான நிகழ்வுகளிலான "மையவிலக்கு விசை"யின் லெக்ராஞ்சியன் பயன்பாட்டுக்கு நியூட்டனியன் வரையறையுடன் மிகக் குறைந்த தொடர்பே உள்ளது.

மையவிலக்கு விசையும் தனித்த சுழற்சியும்[தொகு]

மையவிலக்கு விசை மற்றும் தனித்த சுழற்சி ஆகியவற்றினைக் கருத்தில் கொள்வதென்பது சார்பியல், அண்டவியல் மற்றும் இயற்பியல் விதிகளைப் பற்றிய விவாதத்திற்குரிய விவகாரமாக உள்ளது.

குறிப்பு: பின்வருவதில் 'மையவிலக்கு விசை' என்பது 'கற்பனை விசை' என்ற பொருளில் பயன்படுத்தப்படுமே அன்றி 'எதிர்வினை விசை' என்ற பொருளில் பயன்படாது.

தனித்த சுழற்சியைக் கண்டறிய முடியுமா? வேறு விதமாகக் கேட்டால், கவனிக்கப்படும் பொருள் சுழல்கிறதா அல்லது பொருளைக் கவனிப்பவர் சுழல்கிறாரா என்பதை ஒருவர் முடிவு செய்ய முடியுமா? இந்த சிக்கலைத் தீர்க்க நியூட்டன் இரண்டு சோதனைகளைப் பரிந்துரைத்தார். ஒரு வாலியில் சுழலும் நீரின் மேற்பரப்பின் வடிவத்தின் மீதான மையவிலக்கு விசையின் விளைவு அதில் ஒன்றாகும். தமது நிறையின் மையத்தைப் பற்றிச் சுழலும் கோளங்கள் இரண்டை இணைக்கும் ஒரு கம்பியிலுள்ள இழுவிசையின் மீதான மையவிலக்கு விசையின் விளைவு இரண்டாவதாகும். இதனுடன் தொடர்புடைய மூன்றாவது ஆலோசனை (கோள் போன்ற) ஒரு கோளத்தின் சுழற்சியை அதன் வடிவத்தைக் (அல்லது "உருவம்") கொண்டு கண்டறிய முடியும். இவ்வடிவம் அல்லது உருவம் புவியீர்ப்பு விசையின் இழுத்தலினால் விளையும் கட்டுப்பாட்டுக்கும் மையவிலக்கு விசையினால் விளையும் விலக்க உந்தலுக்கும் இடையேயான சமநிலையினால் உருவாவதாகும்.

மையவிலக்கு மற்றும் மையநோக்கு விசைகளைப் பற்றிய கருத்துகளின் வரலாறு[தொகு]

மையவிலக்கு விசை என்ற கருத்து அதன் தொடக்கக் கருத்துகளை வெளிப்படுத்திய ஹைகன்ஸ், நியூட்டன், லைப்னிட்ஸ் மற்றும் ஹுக் போன்றவர்களின் காலத்திலிருந்தே உருவானது. மேலே விவரிக்கப்பட்டது போல், சுழலும் குறிப்புச் சட்டகத்தினால் விளையும் கற்பனை விசையாக அல்லது போலி விசையாக விவரிக்கும் தற்காலக் கருத்து பதினெட்டாம் மற்றும் பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டிலேயே தோன்றியது.

குறிப்புதவிகள்[தொகு]

  1. டாக்வேல் (Takwale) & புரானிக் (Puranik) 1980, ப. 248.
  2. ஜேக்கப்சன் (Jacobson) 1980, ப. 80.
  3. 3.0 3.1 3.2 பார்க்க: Donato Bini, Paolo Carini, Robert T Jantzen (1997). "The intrinsic derivative and centrifugal forces in general relativity: I. Theoretical foundations". International Journal of Modern Physics D 6 (1). http://www34.homepage.villanova.edu/robert.jantzen/research/articles/idcf1.pdf.  இல் ப. 5. Donato Bini, Paolo Carini, Robert T Jantzen (1997). "The intrinsic derivative and centrifugal forces in general relativity: II. Applications to circular orbits in some stationary axisymmetric spacetimes". International Journal of Modern Physics D 6 (1). http://www34.homepage.villanova.edu/robert.jantzen/research/articles/idcf2.pdf.  என்பது உதவி வெளியீடாகும்
  4. 4.0 4.1 ஃபெட்டர் (Fetter) & வேலக்கா (Walecka) 2003, ப. 38-39.
  5. Mook & Vargish 1987, ப. 47.
  6. Signell 2002, Acceleration and force in circular motion, §5b, ப. 7.
  7. Mohanty) 2004, ப. 121.
  8. ரோச் (Roche) 2001, "இண்ட்ரட்யூசிங் மோஷன் இன் அ சர்க்கில்" (Introducing motion in a circle). 2009-05-07 அன்று பெறப்பட்டது.
  9. Edward Albert Bowser (1920). An elementary treatise on analytic mechanics: with numerous examples (25th ed.). D. Van Nostrand Company. p. 357. http://books.google.com/books?id=mE4GAQAAIAAJ&pg=PA357. 
  10. Gerald James Holton and Stephen G. Brush (2001). Physics, the human adventure: from Copernicus to Einstein and beyond. Rutgers University Press. p. 126. ISBN 9780813529080. http://books.google.com/books?id=czaGZzR0XOUC&pg=PA126&dq=centrifugal-force+reaction+centripetal&lr=&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES&ei=GCEfSs6SHJSMkQTB9t3vCA. 
  11. Ervin Sidney Ferry (2008). A Brief Course in Elementary Dynamics. BiblioBazaar. பக். 87–88. ISBN 9780554609843. http://books.google.com/books?id=jt1SOU8ilFgC&pg=PA87&dq=centrifugal-force+reaction+centripetal&lr=&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES&ei=GCEfSs6SHJSMkQTB9t3vCA#PPA88,M1. 
  12. Willis Ernest Johnson (2009). Mathematical Geography. BiblioBazaar. p. 15–16. ISBN 9781103199587. http://books.google.com/books?id=v90C1csz9tsC&pg=PA16&dq=centrifugal-force+reaction+centripetal&lr=&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES&ei=GCEfSs6SHJSMkQTB9t3vCA. 
  13. Eugene A. Avallone, Theodore Baumeister, Ali Sadegh, Lionel Simeon Marks (2006). Marks' standard handbook for mechanical engineers (11 ed.). McGraw-Hill Professional. p. 15. ISBN 0071428674. http://books.google.com/books?id=oOKqwp3CIt8C&pg=RA1-PA15. 
  14. Richard Cammack, Anthony Donald Smith, Teresa K. Attwood, Peter Campbell (2006). Oxford dictionary of biochemistry and molecular biology (2 ed.). Oxford University Press. p. 109. ISBN 0198529171. http://books.google.com/books?id=XpUjsqD7lFUC&pg=PA109. 
  15. Joseph A. Angelo (2007). Robotics: a reference guide to the new technology. Greenwood Press. p. 267. ISBN 1573563374. http://books.google.com/books?id=73kNFV4sDx8C&pg=PA267. 
  16. P. Grimshaw, A. Lees, N. Fowler, A. Burden (2006). Sport and exercise biomechanics. Routledge. p. 176. ISBN 185996284X. http://books.google.com/books?id=ZjvIBfCVpzgC&pg=PA176. 
  17. Joel Dorman Steele (2008). Popular Physics (Reprint ed.). READ books. p. 31. ISBN 1408691345. http://books.google.com/books?id=Fho7X_xzmQUC&pg=PA31. 
  18. அறிமுகத்திற்கு, எடுத்துக்காட்டுக்கு Cornelius Lanczos (1986). The variational principles of mechanics (Reprint of 1970 University of Toronto ed.). Dover. p. 1. ISBN 0486650677. http://books.google.com/books?id=ZWoYYr8wk2IC&pg=PR4&dq=isbn=0486650677#PPR21,M1.  என்பதைக் காண்க
  19. பொதுப்படுத்திய ஆய அச்சுகளின் விளக்கத்திற்கு, Ahmed A. Shabana (2003). "Generalized coordinates and kinematic constraints". Dynamics of Multibody Systems (2 ed.). Cambridge University Press. p. 90 ff. ISBN 0521544114. http://books.google.com/books?id=zxuG-l7J5rgC&printsec=frontcover#PPA90,M1.  என்பதைக் காண்க
  20. Christian Ott (2008). Cartesian Impedance Control of Redundant and Flexible-Joint Robots. Springer. p. 23. ISBN 3540692533. http://books.google.com/books?id=wKQvUfwzqjAC&pg=PA23. 
  21. Shuzhi S. Ge, Tong Heng Lee, Christopher John Harris (1998). Adaptive Neural Network Control of Robotic Manipulators. World Scientific. p. 47–48. ISBN 981023452X. http://books.google.com/books?id=cdBENqlY_ucC&printsec=frontcover&dq=CHristoffel+centrifugal&lr=&as_brr=0#PPA47,M1. "In the above Euler–Lagrange equations, there are three types of terms. The first involves the second derivative of the generalized co-ordinates. The second is quadratic in \boldsymbol{\dot q} where the coefficients may depend on \boldsymbol{q}. These are further classified into two types. Terms involving a product of the type {\dot q_i}^2 are called centrifugal forces while those involving a product of the type \dot q_i \dot q_j for i ≠ j are called Coriolis forces. The third type is functions of \boldsymbol{q} only and are called gravitational forces." 
  22. R. K. Mittal, I. J. Nagrath (2003). Robotics and Control. Tata McGraw-Hill. p. 202. ISBN 0070482934. http://books.google.com/books?id=ZtwMEQzMVlMC&pg=PA202. 
  23. T Yanao & K Takatsuka (2005). "Effects of an intrinsic metric of molecular internal space". in Mikito Toda, Tamiki Komatsuzaki, Stuart A. Rice, Tetsuro Konishi, R. Stephen Berry. Geometrical Structures Of Phase Space In Multi-dimensional Chaos: Applications to chemical reaction dynamics in complex systems. Wiley. p. 98. ISBN 0471711578. http://books.google.com/books?id=2M4qIUTITI0C&pg=PA98. "As is evident from the first terms …, which are proportional to the square of \dot\phi, a kind of "centrifugal force" arises … We call this force "democratic centrifugal force". Of course, DCF is different from the ordinary centrifugal force, and it arises even in a system of zero angular momentum." 
  24. எடுத்துக்காட்டுக்கு, John R Taylor (2005). Classical Mechanics. Sausalito, Calif.: Univ. Science Books. பக். 299 ff. ISBN 189138922X. http://books.google.com/books?id=P1kCtNr-pJsC&pg=PA299.  இல் சமன்பாடு 8.20 ஐக் காண்க
  25. Francis Begnaud Hildebrand (1992). Methods of Applied Mathematics (Reprint of 1965 2nd ed.). Courier Dover Publications. p. 156. ISBN 0486670023. http://books.google.com/books?id=17EZkWPz_eQC&pg=PA156&dq=absence+fictitious+force&lr=&as_brr=0&sig=ACfU3U1rrR7AnDqhMl7XJkkOEMJLr8co2Q. 
  26. V. B. Bhatia (1997). Classical Mechanics: With Introduction to Nonlinear Oscillations and Chaos. Alpha Science Int'l Ltd.. p. 82. ISBN 8173191050. http://books.google.com/books?id=PmXYkwFGnX0C&pg=PA82. 
  27. ஹென்றி எம் ஸ்டோம்மல் (Henry M. Stommel) மற்றும் டென்னிஸ் டபள்யூ. மூர் (Dennis W. Moore) (1989). அன் இண்ட்ரடக்ஷன் டு த கரியோலிஸ் ஃபோர்ஸ் (An Introduction to the Coriolis Force கொலம்பியா யுனிவர்சிட்டி ப்ரஸ் (Columbia University Press). ப. 36–38.
  28. கற்பனையான மையவிலக்கு விசை லெக்ராஞ்சியத்தில் உள்ள சாத்தியக்கூறுள்ள உறுப்புக்குரியதாக எவ்வாறு உள்ளது என்பதற்கான விளக்கத்திற்கு Edmond T Whittaker (1988). A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies (Reprint of 1917 2nd ed.). Cambridge University Press. பக். 40–41. ISBN 0521358833. http://books.google.com/books?id=epH1hCB7N2MC&printsec=frontcover#PPA40,M1.  ஐக் காண்க.
"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=மையவிலக்கு_விசை&oldid=1355647" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது