வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
(முன்னுரு இலிருந்து வழிமாற்றப்பட்டது)
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் வீச்சு (Range) என்பது அச்சார்பின் எல்லா வெளியீடுகளின் கணமாகும். இதையே சார்பின் எதிருரு (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. எதிருருவின் ஒருவித மறுதலை முன்னுரு. சரியான வரையறைகளைக் கீழே பார்க்கலாம்.

துல்லியமான வரையறை[தொகு]

f\colon A\rightarrow B என்ற சார்பை நோக்குக.

f வழியாக A யிலுள்ள ஒவ்வொரு x க்கும் அதன் எதிருரு என்பது, B இல் f இனால் x உடன் தனிப்படியாக உறவுண்டாக்கப்பட்ட (associated) ஒரு உறுப்பு. அது f(x) என்ற குறியீட்டினால் குறிக்கப்படும்.
f(A) := \{ f(x) \mid x \in A\} என்ற கணத்திற்கு f இன் வீச்சு என்று பெயர்.இதையே f இன் எதிருரு (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. அதனாலேயே Im(f) என்ற குறியீடும் பழக்கத்திலிருக்கிறது. எனினும் இந்தக்குறியீட்டை கவனமாகப் பயன்படுத்தவேண்டும். ஏனென்றால் சில பழைய நூல்களில் Im(f) என்ற குறியீடு f இன் இணையாட்களத்தைக் குறித்தது.
f இன் எதிருருக்காக ஐயமறப் பயன்படுத்தப்படக்கூடியது R(f) என்ற குறியீடு. R(f)f இன் வழியாக A இன் எதிருரு என்றும் சொல்லலாம். குறியீடு Im_f[A]. சூழ்நிலையிலிருந்து f தெரிந்துகொள்ளப்படின், Im[A] என்றே எழுதலாம். ஐயமேற்பட வாய்ப்பில்லாத பொழுது, இதையும் எளிதாக Im(A) என்று எழுதுவதும் உண்டு.

f இன் இணையாட்களம் B என்ற கணம்.

முன்னுரு[தொகு]

f\colon A\rightarrow B என்று கொள்க.

எதிருருவே ஒரு கோப்பு[தொகு]

Im(f) என்பது  A இலுள்ள ஒவ்வொரு உட்கணம் X ஐயும் Im_f(X)= Y என்ற (B இன்) ஒரு உட்கணத்திற்கு எடுத்துச்செல்கிறது. இதனால் Im(f) ஐ A இனுடைய அடுக்குக்கணத்திலிருந்து (Power Set of A), B இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பு அல்லது கோப்பாகக்கொள்ளலாம். குறியீடுகளில் சொன்னால்,
Im(f)\colon 2^A \rightarrow 2^B : வரையறை: (Im(f))(X) = Im_f(X)

முன்னுருவின் வரையறை[தொகு]

ஒவ்வொரு Y \subseteq B க்கும் அதனுடைய முன்னுரு (Pre-image or Inverse image) என்பது

f −1[Y] = {xA | f(x) ∈ Y}

என்று வரையறுக்கப்பட்ட (A இன்) உட்கணம்.

Y = {y} ஓர் ஓருறுப்புக்கணமாக இருக்குமானால் f −1[{y}], ஒரு நார் (fibre/fiber) எனப்படும்.

மேலும், குழப்பத்திற்கு வாய்ப்பு இல்லாவிட்டால்,, f −1[Y] ஐ f  −1(Y) என்று எழுதி, f −1B இன் அடுக்குக்கணத்திலிருந்து A இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பாகக் கொள்ளலாம்.  f −1நேர்மாறுச் சார்புடன் குழப்பிக் கொள்ளக்கூடாது. f ஒரு இருவழிக் கோப்பாக இருந்தால் தான் இரண்டும் ஒன்றாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

சார்பு: h(x) = x2. D = ஆட்களம் CD = இணையாட்களம்


  • f\colon R\rightarrow R : f(x) = x^2
f இன் வீச்சு = R+ = \{f(x) : 0\leq f(x)<\infty\} = [0, \infty)
{-2,3} இன் எதிருரு: f({-2,3}) = {4,9},
{4,9} இன் முன்னுரு : f −1({4,9}) = {-3,-2,2,3}.


  • g\colon R\rightarrow R  : g(x) = 2x
g இன் வீச்சு, இணையாட்களம், இரண்டுமே R தான்.
  •  h\colon Z \to Z : h(x)\ := x^2 (படிமம் பார்க்க)

இச்சார்புக்கு

h(\{0, 1, 2, 3 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\
h(\{ -3, -2, -1, 0 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\
h(\{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\
 R(h) = \operatorname{im} h = \{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... \}\
  • f: \{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d\}. வரையறை:
f(x) = \begin{cases}
a &\text{x=1}\\
d &\text{x=2}\\
c &\text{x=3}
\end{cases}
f வழியாக, {2,3) இன் எதிருரு :f({2,3}) = {d,c},
f இன் வீச்சு :{ a,d,c}
{a,c} இன் முன்னுரு: f −1({a,c}) = {1,3}.
  • f: R2R : வரையறை:f(x, y) = x2 + y2.
f −1({a})என்ற நார்களை மூன்று விதமாகச் சொல்லவேண்டும்.
a > 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் தொடக்கப்புள்ளியைச்சுற்றி பொதுமையவட்டங்கள்;
a = 0 வாக இருக்குமானால். நார் வெறும் தொடக்கப்புள்ளியைக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கணம்;
a < 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் வெற்றுக்கணங்களே.


விளைவுப் பண்புகள்[தொகு]

f: AB ஒரு சார்பு என்றும் X , Y இரண்டும் A இன் உட்கணங்கள் என்றும் M , N இரண்டும் B இன் உட்கணங்கள் என்றும் கொண்டால்,

  • f −1(M ∩ N) = f −1(M) ∩ f −1(N)
  • f(f −1(M)) ⊆ M
  • f −1(f(X)) ⊇ X
  • MN \Rightarrow f −1(M) ⊆ f −1(N)
  • f −1(MC) = (f −1(M))C
  • (f |X)−1(M) = Xf −1(M).

இரண்டு உட்கணங்களின் ஒன்றிப்பு, வெட்டு இவற்றைப்பற்றிய மேற்படி பண்புகளை, உட்கணங்களின் எந்தக் கூட்டத்திற்கும் உண்மை என்று கொள்ளலாம்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]