பெருக்கல் பிரிவினை

எண் கோட்பாட்டில் 1 ஐ விடப்பெரிய ஒரு முழு எண் n இன் பெருக்கல் பிரிவினை அல்லது பெருக்கல் பகிர்வு (multiplicative partition) அல்லது வரிசைப்படுத்தப்படாத காரணியாக்கம் (unordered factorization) என்பது ஒன்றை விடப்பெரிய முழுஎண்களின் பெருக்கலாக அவ்வெண்ணை எழுதக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. இவ்வாறு பெருக்கலாக எழுதும்போது ஒரே காரணிகளுடன் வரிசை மற்றும் மாறியுள்ள வடிவங்கள் சமானமானவையாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் அந்த எண்ணே ஒரு பிரிவினையாக இருக்கும். பெருக்கல் பிரிவினை குறித்த ஆய்வுகள் 1923 இலிருந்தே மேற்கொள்ளப்பட்டிருந்தாலும், பெருக்கல் பிரிவினை என்ற பெயர் 1983 இல் கணிதவியலாளர்கள் ஹுயூக்சு மற்றும் ஷேலிட்டால் ((Hughes & Shallit 1983)) அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• எண் 20 இன் நான்கு பெருக்கல் பிரிவினைகள்:

2 × 2 × 5, 2 × 10, 4 × 5, 20.

• எண் 81 இன் ஐந்து பெருக்கல் பிரிவினைகள்:

3 × 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9, 81

81 = 3⁴ என ஒரு பகா எண்ணின் நான்காம் அடுக்காக உள்ளதால், எண் 4 க்கு உள்ள கூட்டல் பிரிவினைகளின் எண்ணிகையே, 81 இன் பெருக்கல் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கையாகவும் இருக்கும்.

• எண் 30 இன் ஐந்து பெருக்கல் பிரிவினைகள்:

2 × 3 × 5 = 2 × 15 = 6 × 5 = 3 × 10 = 30.

• பொதுவாக, i பகாக்காரணிகளுடைய ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண்ணின் பெருக்கல் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை i ஆவது பெல் எண் B_i ஆக இருக்கும்.

பயன்பாடு

முழுஎண்களைத் தரப்பட்ட வகுஎண்களின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்துவதில் பெருக்கல் பிரிவினைகள் பயன்படுவதைக் கணிதவியலாளர்கள் ஹுயூக்சு மற்றும் ஷாலிட் ((Hughes & Shallit 1983)) விளக்கியுள்ளனர். எடுத்துக்காட்டாக, சரியாக 12 வகுஎண்கள் கொண்ட முழுஎண்கள் கீழ்வரும் வடிவிலமைகின்றன:

p¹¹, p×q⁵, p²×q³, p×q×r². இதில் p, q, r மூன்றும் வெவ்வேறான பகா எண்கள்.

இவை ஒவ்வொன்றும் முறையே 12, 2×6, 3×4, and 2×2×3 ஆகிய பெருக்கல் பிரிவினைகளுக்கு ஒத்தவையாக உள்ளன.

பொதுவாக,

முழுஎண் k இன் பெருக்கல் பிரிவினைகள்

$k=\prod t_{i}$ எனில்

இவற்றுக்கு ஒத்ததாக k வகுஎண்கள் கொண்ட முழுஎண்கள், கீழுள்ள வடிவமைப்புள்ள வகைப்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கும்:

$\prod p_{i}^{t_{i}-1}.$ இதில் p_i ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறான பகா எண்கள்.

இவ்வாறு ஒரு முழு எண்ணின் பெருக்கல் பிரிவினைகள், அந்த எண்ணளவு வகுஎண்கள் கொண்ட முழுஎண்களின் வகைப்பாடுகளை ஒத்தமைவதற்குக் காரணம், வகுஎண் சார்பின் பெருக்கல் பண்பாகும்.

பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கையின் வரம்புகள்

ஒரு முழுஎண்ணின் பெருக்கல் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை குறித்த முடிவுகளைக் கணிதவியலாளர்கள் ஓப்பென்கெயிம் ((Oppenheim 1926)) மற்றும் மெக்மெகன் (McMahon 1923) இருவரும் கண்டறிந்துள்ளனர். n இன் பெருக்கல் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை a_n எனில், அதன் டிரிழ்ச்லெட் தொடரின் பிறப்பாக்கிச் சார்பு ƒ(s) இன் உருவகிப்பு:

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\prod _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{1-k^{-s}}}.$

a_n இன் தொடர்வரிசையின் துவக்க எண்கள்:

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 5, ... (OEIS-இல் வரிசை A001055)

.

ஓப்பென்ஹெயிமால் கண்டறியப்பட்ட a_n இன் மேல்வரம்பு:

$a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-2+o(1)},$

ஆனால் பின்னாளில் இது தவறான மதிப்பு என்றறிந்து ((Canfield, Erdős & Pomerance 1983)) கீழ்வரும் சரியான மதிப்பு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது:

$a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-1+o(1)}.$

x ≤ n ≤ x+N இடைவெளியில் சராசரிப்படுத்தப்பட்ட a_n இன் சராசரி மதிப்பு:

${\bar {a}}=\exp \left({\frac {4{\sqrt {\log N}}}{{\sqrt {2e}}\log \log N}}{\bigl (}1+o(1){\bigr )}\right),$

மேற்கோள்கள்

• Andrews, G. (1976), The Theory of Partitions, Addison-Wesley, chapter 12.
• Canfield, E. R.; Erdős, Paul; Pomerance, Carl (1983), "On a problem of Oppenheim concerning "factorisatio numerorum"", Journal of Number Theory, 17 (1): 1–28, doi:10.1016/0022-314X(83)90002-1.
• Hughes, John F.; Shallit, Jeffrey (1983), "On the number of multiplicative partitions", American Mathematical Monthly, 90 (7): 468–471, doi:10.2307/2975729, JSTOR 2975729.
• Knopfmacher, A.; Mays, M. (2006), "Ordered and Unordered Factorizations of Integers", Mathematica Journal, 10: 72–89. As cited by MathWorld.
• Luca, Florian; Mukhopadhyay, Anirban; Srinivas, Kotyada (2008), On the Oppenheim's "factorisatio numerorum" function, arXiv:0807.0986.
• MacMahon, P. A. (1923), "Dirichlet series and the theory of partitions", Proceedings of the London Mathematical Society, 22: 404–411, doi:10.1112/plms/s2-22.1.404.
• Oppenheim, A. (1926), "On an arithmetic function", Journal of the London Mathematical Society, 1 (4): 205–211, doi:10.1112/jlms/s1-1.4.205.

மேலதிக வாசிப்புக்கு

• Knopfmacher, A.; Mays, M. E. (2005), "A survey of factorization counting functions" (PDF), International Journal of Number Theory, 1 (4): 563–581, doi:10.1142/S1793042105000315

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Unordered Factorization", MathWorld.