சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு சதுர அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை (characteristic polynomial) என்பது, அணி ஒப்புமையின் கீழ் மாற்றமடையாததும், ஐகென் மதிப்புகளை மூலங்களாகக் கொண்டதுமானதொரு பல்லுறுப்புக்கோவையாகும். இப்பல்லுறுப்புக்கோவை, அச் சதுர அணியின் அணிக்கோவையையும் சுவட்டையும் அதன் கெழுக்களில் கொண்டிருக்கும். ஒரு முடிவுறு-பரிமாணத் திசையன் வெளியின் உள்ளமைவியத்தின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையானது, அந்த உள்ளமைவியத்தின் அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும் (அடுக்களம் எதுவாக வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம்). சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்துவதன் மூலம் கிடைக்கும் சமன்பாடு சிறப்பியல்பு சமன்பாடு (characteristic equation) என அழைக்கப்படுகிறது.

நிறப்பிரிகை கோட்டுரு கோட்பாட்டில், ஒரு கோட்டுருவின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது அக்கோட்டுருவின் அண்டை அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.

உந்துதல்

நேரியல் இயற்கணிதத்தில், ஐகென் மதிப்புகள் முக்கிய பங்குவகிக்கின்றன. ஒரு உருமாற்றத்தால் திசையில் மாற்றமில்லாது அளவில் மட்டும் மாற்றமடையும் திசையனானது "ஐகென் திசையன்" என அழைக்கப்படுகிறது. அத்திசையனின் அளவில் ஏற்படும் மாற்றமானது ஐகென் மதிப்பு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த உருமாற்றமானது $A$ என்ற சதுர அணியாலும், ஐகென்திசையன்யானது $\mathbf {v}$ எனவும், அதற்குரிய ஐகென்மதிப்பானது $\lambda$ எனவும் குறிக்கப்பட்டால் கீழ்வரும் சமன்பாடு நிறைவு செய்யப்படும்:

$$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,$$

அல்லது சமானமாக,

$$(\lambda I-A)\mathbf {v} =\mathbf {0}$$

($I$ முற்றொருமை அணி, and $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$)

பூச்சியத் திசையன் இச்சமன்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் என்றாலும் $\lambda ,$ இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் பூச்சியத் திசையனானது ஐகென் திசையனாகக் கொள்ளப்படுவதில்லை.

$(\lambda I-A),$ ஒரு வழு அணியாகும். எனவே அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்கும்:

$$\det(\lambda I-A)=0$$

அதாவது, A இன் ஐகென் மதிப்புகள்

$$\det(xI-A)$$

இன் மூலங்களாக இருக்கும். A, ஒரு n×n அணியாக இருந்தால், இப்பல்லுறுப்புக்கோவையானது x மாறியிலமைந்த n படிகொண்ட தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை. மேலும் இதுவே A அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையுமாகும்.

முறையான வரையறை

$A.$ என்பது ஒரு $n\times n$ அணி எனில்:

• அதன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறியீடு: $p_{A}(t).$
• வரையறை:

$$p_{A}(t)=\det(tI-A)$$

($I$ என்பது $n\times n$ முற்றொருமை அணி).

சிலர் சிறப்பியல்பு பல்லுறுக்கோவையை பின்வருமாறும் தருகின்றனர்:

$\det(A-tI).$

முதல் வரையறைப்படியான சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையானது இரண்டாவது வரையறைப்படியானதிலிருந்து $(-1)^{n},$ என்ற குறியளவில் மட்டுமே மாறுபடுகிறது. இந்த வரையறை வேறுபாட்டால், மூலங்கள் $A$ அணியின் ஐகென் மதிப்புகளாக இருக்கும் என்பது போன்ற பண்புகளில் எந்தவொரு வேறுபாடும் இருக்காது. எனினும் முதல் வரையறைப்படி, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை எப்பொழுதும் தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்; மாற்று வரையறையில் $n$ இரட்டையெண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே தலையொற்றையாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1:

$$A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$$

என்ற அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைக் காண்பதற்குக் கீழ்வரும் அணியின் அணிக்கோவையைக் காணவேண்டும்:

$$tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}$$

அந்த அணிக்கோவையினை விரிக்க, $A$ அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கிறது:

$(t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,$

எடுத்துக்காட்டு 2 (மீவளையக் கோணம் φ இன் மீவளைச் சார்பு):

அணி:

$$A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.$$

சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை:

$$\det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).$$

பண்புகள்

• $n\times n$ வரிசை அணி $A$ இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை $p_{A}(t),$ ஒரு தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை.
• $n\times n$ வரிசை அணி $A$ இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை $p_{A}(t),$ இன் படி $n.$.
• $A$ இன் ஐகென்மதிப்புகள் $p_{A}(t)$ இன் மூலங்களாகும்.
• சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் $A$ இன் உறுப்புகளாலமைந்த பல்லுறுப்பு விரிவுகளாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின்

• • மாறிலி உறுப்பு ($t^{0}$ இன் கெழு) = $\det(-A)=(-1)^{n}\det(A),$
  • $t^{n}$ இன் கெழு = 1
  • $t^{n-1}$ இன் கெழு = tr(−A) = −tr(A), (tr(A) = $A$ இன் சுவடு) (இது முதல் வகை வரையறையின்படி)
  • மாற்று வரையறையின்படி முறையே $\det(A),$ (−1)^{n – 1} tr(A) )

$2\times 2$ வரிசை $A$ அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை:

$$t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).$$

• இரு ஒத்த அணிகளின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒன்றாக இருக்கும். ஆனால் மறுதலை உண்மையில்லை ஒரே பல்லுறுப்புக்கோவையைச் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கொண்ட அணிகள் ஒத்த அணிகளாக இருக்காது.

• $A,$ அதன் இடமாற்று அணி இரண்டிற்கும் ஒரே சிறப்பியல்பு பல்லுறுக்கோவை.

மேற்கோள்கள்

• T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) Basic Linear Algebra, p 149, Springer பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3-540-76122-5 .
• John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) Linear Algebra 2nd edition, p 246, Addison-Wesley பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-201-11949-8 .
• Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", American Mathematical Monthly, 111 (9): 761–778, arXiv:math/0203276, doi:10.2307/4145188, JSTOR 4145188, MR 2104048
• Werner Greub (1974) Linear Algebra 4th edition, pp 120–5, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-90110-8 .
• Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, p 274, Worth Publishers பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-87901-121-1 .
• Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications 3rd edition, p 246, Brooks/Cole பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-15-551005-3 .