திசையன் வெளியின் அடுக்களம்

கணிதத்தில் ஒரு திசையன் வெளி V இல், ஒரு உட்கணம் B நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருந்து, அதனுடைய அளாவல் முழுவெளியாகவும் இருக்குமானால், அவ்வுட்கணம் V இன் அடுக்களம் (Basis) எனப்படும். இவ்வடுக்களம் B இன் எண் அளவை என்னவோ அதே எண் அளவை தான் மற்ற எல்லா அடுக்களத்திலும் இருக்கும். இந்த பொது எண்ணளவைக்கு திசையன் வெளி V இன் பரிமாணம் (Dimension) என்று பெயர். இதை dimV என்ற குறியீட்டால் குறிப்பது கணித மரபு.

இவ்வுட்கணம் B முடிவுள்ளதானால் V முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ளது என்றும், B முடிவற்றதாக இருந்தால், V முடிவிலிப்பரிமாணமுள்ளது என்றும் சொல்லப்படும்.

நாம் இக்கட்டுரையில் முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகளைப்பற்றியே பேசுவோம்.

எடுத்துக்காட்டுகள் [தொகு]

1. $V = V_3$ . B = {i, j, k} என்று கொள்வோம். இங்கு i = (1,0,0), j = (0,1,0) மற்றும் k = (0,0,1)

அடுக்களத்திற்குள்ள இரண்டு இலக்கணங்களையும் B நிறைவேற்றுவதால், B ஒரு அடுக்களமாகும். $V_3$ க்கு இந்த அடுக்களத்தை இயற்கை அடுக்களம் என்று சொல்வர்.

2. V = $\mathcal{P}_n$ : மெய்யெண் மதிப்புள்ள, படித்தரம் n க்குமேல்போகாத, எல்லா பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடங்கிய திசையன் வெளி.இதனில் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் $B = \{1, x, x^2, ... x^n\}$ இலுள்ள உறுப்புகளின் முடிவுள்ள நேரியல் சேர்வு. மற்றும் B ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். ஃ B ஒரு அடுக்களமாகிறது.

dim $\mathcal{P}_n = n + 1$ .

அடிப்படை உண்மைகள் [தொகு]

V ஒரு திசையன் வெளி எனக்கொள்வோம்.

சூனியத்திசையனை ஒர் உறுப்பாகக்கொண்ட எந்தக்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதுதான்.

ஒரு அளாவும் உட்கணத்தில் உள்ளதைவிட அதிகமான எண்ணிக்கையில் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருக்கமுடியாது. அ-து,

$[\{v_1, v_2, ..., v_n\}] = V$ ஆகவும், $\{w_1, w_2, ... , w_m\}$ நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருக்குமானால், $m \leq n.$

Vஇல் n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு அடுக்களம் இருக்குமானால், n ஐவிட அதிக உறுப்புகள் கொண்ட எந்த உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளது.அதனால் எல்லா உட்கணங்களும் n உறுப்புகள் கொண்டதே.

n-பரிமாணமுள்ள ஒவ்வொரு Vஇலும்,

(1):n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருந்தாகவேண்டும்;

(2): n+1 உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதே.

(3): n உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணமும் ஒரு அடுக்களம்.

$B = \{v_1, v_2, ..., v_n\},$ மற்றும் $[B] = V$ ஆக இருக்குமானால், கீழேயுள்ள இரண்டும் சமானம்:

(a): $B$ நேரியல் சார்பற்றது.

(b): $V$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $v$ க்கும், $v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n$ என்ற கோவை தனிப்பட்டது (= இரண்டற்றது, unique).

ஆயத்திசையன் [தொகு]

இதனால் B ஒரு அடுக்களம் என்ற கருத்துக்கு ஒரு மாற்று வரையறை இப்படிக்கொடுக்கலாம்:

$B \subset V; [B] = V;$ மற்றும், $V$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $v$ க்கும் $B$ இனுடைய உறுப்புகளின் மூலம் கோவைப்படுத்தும் $v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n$ என்ற கோவை தனிப்பட்டது .

ஒரு அடுக்களம் $B$ இலுள்ள உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தினால், அ-து, $B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$ , என்று உறுதிப்படுத்திய பிறகு, $V$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $v$ க்கும், $B$ இன் உறுப்புகளின் மூலம் $v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n$ என்ற கோவையும் உறுதிப்படுத்தப்படுவதால், ஆயவரிசை $(\alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_n)$ ம் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. இந்த ஆயவரிசைக்கு $v$ இன் ஆயத்திசையன் (co-ordinate vector) எனப்பெயர். வேறு ஒரு அடுக்களத்தைக்கொண்டும் v க்கு இன்னொரு ஆயத்திசையன் உண்டுபண்ணலாம். அதனால் அவசியமுள்ளபோது, 'B யைப்பொருத்த ஆயத்திசையன்' என்று விவரமாகச்சொல்லவேண்டி வரும். ஆய்த்திசையன்களை நிரல்திசையனாகச்சொல்வதில் ஒரு வசதி இருக்கிறது.

எ.கா.: முப்பரிமாண வெளி $V_3$ ஐ எடுத்துக்கொள்வோம்.

B = $\{(1,1,0), (1,0,1) (0,1,1),\}$ எனக்கொள்க. $B$ ஒரு வரிசைப்படுத்திய அடுக்களம்.

$v$ = (2,3,-1) எனக்கொண்டால், $v$ = 3(1,1,0) -1(1,0,1) +0(0,1,1)

அதனால், (2,3,-1) இன் B-ஐப்பொருத்த ஆயத்திசையன் $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$v = (2,3,-1)$ என்பதே ஒரு ஆயத்திசையன்தான். இயற்கை அடுக்களத்தைப்பொருத்து அதனுடைய ஆயத்திசையன் $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ . ஏனென்றால்

(2,3,-1) = 2(1,0,0) + 3(0,1,0) -1(0,0,1).

அடுக்கள ஆக்கச்செயல்முறை [தொகு]

கொடுக்கப்பட்ட ஒரு n-பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளி V இல், $A = \{v_1, v_2, ... , v_k\}$ ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணமானால், $k\leqslant n$ ஆகத்தான் இருக்கவேண்டும்.

$k = n$ என்ற பட்சத்தில், $A$ யே ஒரு அடுக்களமாகிவிடுகிறது.

$k < n$ என்ற பட்சத்தில், $[A] \neq V$ . அதனால், $V$ இல் $[A]$ க்கு வெளியில் ஏதாவதொரு உறுப்பு இருக்கவேண்டும். அதை $v_{k+1}$ என்று அழைப்போம். இப்பொழுது $\{v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}\}$ ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். $k+1 = n$ என்ற பட்சத்தில், நாம் வேண்டிய அடுக்களம் இதுதான். $k+1 \neq n$ என்ற பட்சத்தில், இதே செயல்முறையை திரும்பவும் செய்.

நேரியல் கோப்பு ஆக்கச்செயல்முறை [தொகு]

$U, V$ ஒரே அளவெண்களங்களையுடைய இரு திசையன்வெளிகள் எனக்கொள்வோம். $U$ வின் ஒரு அடுக்களமாக $B = \{u_1, u_2, ... , u_n\}$ ஐக்கொள்க. இப்பொழுது $T(u_i)$ ஐ ( $i= 1,2, ..., n) V$ இல் எந்தத் திசையன்களாகவும் கொண்டு $T$ யை ஒரு நேரியல் கோப்பாக்க முடியும். நாம் செய்யவேண்டியதெல்லாம் ஒரேஒரு வரையறைதான். அ-து,