ஒற்றை, இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில், வரிசைமாற்றங்கள் ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றங்கள், (Odd permutations) இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் (Even permutations) என இருவகைப்படும்.ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றமும் அது எத்தனை இடமாற்றங்களின் சேர்வையாக இருக்கிறது என்பதைப் பொருத்து அது ஒற்றைப்படையாகவோ இரட்டைப்படையாகவோ வகைப்படுத்தப்படும். எடுத்துக்காட்டாக

\begin{pmatrix}
1 &2 &3 & 4 & 5\\
2& 4 & 3 & 5 & 1
\end{pmatrix} = (3) (1245)= (15)(14)(12)= மூன்று இடமாற்றங்களின் சேர்வை

இதனால் இது ஒரு ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றம்.

மாறாக,

\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
4 & 2 & 5 & 1 & 3
\end{pmatrix} =  (14)(235)  = (2)(14)(35) = இரண்டு இடமாற்றங்களின் சேர்வை

இதனால் இது ஒரு இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றம்.


வரிசைமாற்றத்தின் குறி[தொகு]

ஒரு வரிசைமாற்றம் A-இன் குறி (Sign, Signature)என்பது +1 ஆகவோ -1 ஆகவோ வரையறுக்கப்படும். ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமயிருந்தால் அதன் குறி -1. இரட்டைப்படையாயிருந்தால், +1. இதற்குக் குறியீடு: sgn(A) அல்லது \epsilon (A).

\chi: S_n \rightarrow \{+1, -1\}
A \mapsto  sgn(A)

தேற்றம்: சமச்சீர்குலம் S_n க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற்குலம் C_2 = \{+1, -1\} க்கும் இடையில் \chi என்ற மேற்சொன்ன கோப்பு, ஒரு காப்பமைவியம் (homomorphism).

மாறிசைக்குலம்[தொகு]

இதனால் இக்காப்பமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) S_n இன் உட்குலமாகும். இந்த உட்குலத்திற்கு  n பொருள்களின் மாறிசைக்குலம் (Alternating Group on n objects) எனப் பெயர். இதற்குக் குறியீடு: A_n . இதனுடைய கிரமம்: n!/2. இவ்வுட்குலத்தில் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் மட்டுமே உள்ளன; n-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் இதனில் அடக்கம்.

எடுத்துக்காட்டு[தொகு]

S_4 இல் 24 உறுப்புகள் உள்ளன. A_4 இன் 12 உறுப்புகள் (அ-து, 4-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம்) பின்வருமாறு:

e ; (1)(234); (1)(243);
(2)(341);  (2) (314);  (3)(124) ; (3)(142);  (4)(123); (4)(132
(12)(34);  (13)(24);  (14)(23).

விளைவுகள்[தொகு]

  • இரட்டைப்படை நீளமுள்ள சுழல் ஓர் ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றம்.
  • ஒற்றைப்படை நீளமுள்ள சுழல் ஓர் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றம்.
  • ஒரு வரிசைமாற்றம் அதனுடைய வெட்டில்லாத சுழல் வடிவத்தில் இரட்டைப்படை நீளமுள்ள சுழல்கள் ஓர் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் இருந்தால், இருந்தால்தான், அது ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமாக இருக்கும்.

எ.கா.: S_{16}:

\sigma  = (1\quad 3\quad 5)(7\quad 2\quad 4)(10\quad  6)(8\quad  11\quad  16\quad  15\quad  9) (14)(12 \quad 13)

இதனில் 2 இரட்டைப்படை நீளமுள்ள சுழல்கள் இருப்பதால், \sigma ஓர் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றம்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]