ஒற்றை, இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிபீடியாவில் இருந்து.

கணிதத்தில், வரிசைமாற்றங்கள் ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றங்கள், (Odd permutations) இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் (Even permutations) என இருவகைப்படும்.ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றமும் அது எத்தனை இடமாற்றங்களின் சேர்வையாக இருக்கிறது என்பதைப் பொருத்து அது ஒற்றைப்படையாகவோ இரட்டைப்படையாகவோ வகைப்படுத்தப்படும். எடுத்துக்காட்டாக

$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 & 4 & 5\\ 2& 4 & 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} = (3) (1245)= (15)(14)(12)=$ மூன்று இடமாற்றங்களின் சேர்வை

இதனால் இது ஒரு ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றம்.

மாறாக,

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix} = (14)(235) = (2)(14)(35) =$ இரண்டு இடமாற்றங்களின் சேர்வை

இதனால் இது ஒரு இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றம்.

[தொகு] வரிசைமாற்றத்தின் குறி

ஒரு வரிசைமாற்றம் $A$ -இன் குறி (Sign, Signature)என்பது +1 ஆகவோ -1 ஆகவோ வரையறுக்கப்படும். ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமயிருந்தால் அதன் குறி -1. இரட்டைப்படையாயிருந்தால், +1. இதற்குக் குறியீடு: $s g n (A)$ அல்லது $ε(A).$

$\chi: S_n \rightarrow \{+1, -1\}$

$A \mapsto sgn(A)$

தேற்றம்: சமச்சீர்குலம் $S n$ க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற்குலம் $C 2 = { + 1, - 1}$ க்கும் இடையில் $χ$ என்ற மேற்சொன்ன கோப்பு, ஒரு காப்பமைவியம் (homomorphism).

[தொகு] மாறிசைக்குலம்

இதனால் இக்காப்பமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) $S n$ இன் உட்குலமாகும். இந்த உட்குலத்திற்கு $n$ பொருள்களின் மாறிசைக்குலம் (Alternating Group on n objects) எனப் பெயர். இதற்குக் குறியீடு: $A n$ . இதனுடைய கிரமம்: $n! / 2.$ இவ்வுட்குலத்தில் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் மட்டுமே உள்ளன; $n$ -கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் இதனில் அடக்கம்.

[தொகு] எடுத்துக்காட்டு

$S 4$ இல் 24 உறுப்புகள் உள்ளன. $A 4$ இன் 12 உறுப்புகள் (அ-து, 4-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம்) பின்வருமாறு:

e

;

(1)(234);(1)(243);

(2)(341);(2)(314);(3)(124);(3)(142);(4)(123);(4)(132

(12)(34);(13)(24);(14)(23)

.

[தொகு] விளைவுகள்

இரட்டைப்படை நீளமுள்ள சுழல் ஓர் ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றம்.

ஒற்றைப்படை நீளமுள்ள சுழல் ஓர் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றம்.

ஒரு வரிசைமாற்றம் அதனுடைய வெட்டில்லாத சுழல் வடிவத்தில் இரட்டைப்படை நீளமுள்ள சுழல்கள் ஓர் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் இருந்தால், இருந்தால்தான், அது ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமாக இருக்கும்.

எ.கா.: $S 16 :$

$\sigma = (1\quad 3\quad 5)(7\quad 2\quad 4)(10\quad 6)(8\quad 11\quad 16\quad 15\quad 9) (14)(12 \quad 13)$

இதனில் 2 இரட்டைப்படை நீளமுள்ள சுழல்கள் இருப்பதால், $σ$ ஓர் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றம்.

[தொகு] இவற்றையும் பார்க்கவும்

மாறிசைக் குலம்

ஒற்றை, இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிபீடியாவில் இருந்து.

பொருளடக்கம்

[தொகு] வரிசைமாற்றத்தின் குறி

[தொகு] மாறிசைக்குலம்

[தொகு] எடுத்துக்காட்டு

[தொகு] விளைவுகள்

[தொகு] இவற்றையும் பார்க்கவும்

பார்வைகள்

சொந்தப் பயன்பாட்டுக் கருவிகள்

வழிசெலுத்தல்

தேடுக

கருவிப் பெட்டி

ஏனைய மொழிகள்