மாறிசைக்குலம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
குலம் (கணிதம்)
Rubik's cube.svg
குலக் கோட்பாடு

ஒரு n குறியீடுகளின் மாறிசைக்குலம் (Alternating Group on n objects) என்பது கணிதத்தில், குறிப்பாக, குலக்கோட்பாட்டில், சமச்சீர் குலம் Sn இன் ஒரு முக்கியமான உட்குலம். அது முடிவுறு கணம் {1, 2, ... , n} இனுடைய இரட்டை வரிசைமாற்றங்களின் குலமாகும்.

வரிசைமாற்றத்தின் குறி[தொகு]

ஒரு வரிசைமாற்றம் A-இன் குறி (Sign, Signature)என்பது +1 ஆகவோ -1 ஆகவோ வரையறுக்கப்படும். ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமாயிருந்தால் அதன் குறி -1. இரட்டைப்படையாயிருந்தால், +1. இதற்குக் குறியீடு: sgn(A) அல்லது \epsilon (A). இப்பொழுது சமச்சீர் குலம் S_n க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற் குலம் C_2 = \{+1, -1\} க்கும் இடையில் \chi என்ற ஒரு சீலக்கோப்பு (Character Map) உண்டாக்கலாம். அதாவது,

\chi: S_n \rightarrow \{+1, -1\}
A \mapsto  sgn(A)

இது ஒரு காப்பமைவியம் (homomorphism). இக்காப்பமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) தான்  n பொருள்களின் மாறிசைக்குலம் . இதற்குக் குறியீடு: A_n . இதனுடைய கிரமம்: n!/2. இவ்வுட்குலத்தில் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் மட்டுமே உள்ளன; n-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் இதனில் அடக்கம்.

எடுத்துக்காட்டு[தொகு]

S_4 இல் 24 உறுப்புகள் உள்ளன. A_4 இன் 12 உறுப்புகள் (அ-து, 4-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம்) பின்வருமாறு:

e ; (1)(234); (1)(243);
(2)(341);  (2) (314);  (3)(124) ; (3)(142);  (4)(123); (4)(132)
(12)(34);  (13)(24);  (14)(23).

அடித்தளப்பண்புகள்[தொகு]

n ≤ 3 என்றால், என்றால்தான், A_n ஒரு பரிமாற்றுக் குலம் ஆகும்

அதே போல், n = 3 or n \geq 5என்றால், என்றால் தான், A_n ஒரு எளிமைக் குலம் (Simple Group).

குறிப்பிடத்தக்க விஷயம்: A_5தான் பரிமாற்றாக் குலங்களில் மீச்சிறு எளிமைக்குலம். அதன் கிரமம் 60. இது இருபதுமுகிக் குலம் என்றும் சொல்லப்படும். நான்முகிக் குலம் என்று சொல்லப்படும் A_4 இல் {(12)(34);  (13)(24);  (14)(23) மற்றும் I} ஒரு இயல்நிலை உட்குலம் (normal subgroup) உள்ளபடியால் அது எளிமைக் குலமாகாது.

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=மாறிசைக்குலம்&oldid=1409487" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது