ஈருறுப்புப் பரவல்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
Probability mass function
Probability mass function for the binomial distribution
Cumulative distribution function
Cumulative distribution function for the binomial distribution
Colors match the image above
குறியீடு  : B(n, p)
பண்பளவைகள்: nN0 — number of trials
p ∈ [0,1] — success probability in each trial
தாங்கி: k ∈ { 0, …, n }
pmf: \textstyle {n\choose k}\, p^k (1-p)^{n-k}
cdf: I_{1-p}(n - \lfloor k \rfloor, 1 + \lfloor k \rfloor)
சராசரி: np
இடைநிலையளவு: np⌋ or ⌈np
முகடு: ⌊(n + 1)p⌋ or ⌊(n + 1)p⌋ − 1
variance: np(1 − p)
கோணல்: \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}
தட்டையளவு: \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}
சிதறம்(என்ட்ரோப்பி):  \frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right)
mgf: (1-p + pe^t)^n \!
cf: (1-p + pe^{it})^n \!

நிகழ்தகவுத் தேற்றத்தில் மற்றும் புள்ளியியலில், ஈருறுப்பு பரவல் என்பது ஒவ்வொன்றும் நிகழ்தகவு p ன் வெற்றிவாய்ப்பைக் கொடுக்கும் n சார்பற்ற ஆம்/இல்லை தொடரில் வெற்றிவாய்ப்பு சோதனைகள் எண்ணின் தனி நிலை ஈருறுப்பு பரவல் ஆகும். இப்படிப்பட்ட ஒரு வெற்றி/தோல்வி சோதனை ஒரு பெர்னௌலி சோதனை அல்லது பெர்னௌலி முயற்சி எனவும் கூறப்படுகிறது. உண்மையில், n = 1 ஆக உள்ளபோது, ஈருறுப்பு பரவல் ஒரு பெர்னௌலி பரவல் ஆக இருக்கிறது . ஈருறுப்பு பரவல், புள்ளியியலில் முக்கியமான பிரபலமான ஈருறுப்பு சோதனைக்கு அடிப்படையாகும். ஒரு ஈருறுப்பு பரவலை, ஒரு ஈருறுப்பு முகடு (பைமோடல்) உடன் சேர்த்து குழப்பிக்கொள்ளக்கூடாது.

N. அளவு மக்கள்தொகையிலிருந்து n மாதிரி அளவின் வெற்றிவாய்ப்பினை உதாரணமாகக் காட்ட அது அடிக்கடிப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மாதிரிகள் சார்பற்றவையாக இல்லாததால் (இந்த மாதிரியானது ஈடுபடுத்த முடியாதது), முடிவான பரவல் ஈருறுப்பு பரவலாக இல்லாமல் ஒரு அதிவடிவ பரவல் ஆக இருக்கிறது. இருப்பினும், n, ஐ விட மிக அதிகமானதாக உள்ள N க்கு ஈருறுப்பு பரவல், ஒரு சிறந்த தோராயமாக உள்ளது. மேலும் அது பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

ஒரு எளிய உதாரணம்: ஒரு தரமான பகடையை பத்து முறை உருட்டிவிட்டு, "ஆறு" எத்தனை முறை விழுகிறது என்பதை எண்ணிக்கொள்க. சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், n = 10 மற்றும்p = 1/6 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

மற்றுமொரு உதாரணம், ஒரு நாணயத்தை மூன்று முறை சுண்டிவிட்டு எத்தனை முறை "தலை" விழுகிறது என எண்ணுதல். சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், n = 3 மற்றும் p = 1/2 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

விளக்கக்குறிப்பு[தொகு]

நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு[தொகு]

பொதுவாக, சமவாய்ப்புள்ள மாறி K, n மற்றும் p அளவுருக்களைக் கொண்ட ஈருறுப்பு பரவலைத் தழுவுமானால், அதை K ~ B(n , p) என எழுதுகிறோம். n நிகழ்வில் மிகச்சரியாக k வெற்றிபெரும் நிகழ்தகவு, நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பால் கிடைக்கிறது:

 \Pr(K = k) = f(k;n,p)
 \Pr(K = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}

k = 0, 1, 2, ..., n என்னும் போதும்

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

ஈருறுப்பு குணகம் எனில், (எனவே பரவல் இப்பெயர் பெற்றுள்ளது) "n தேர்ந்தெடு k ", C (n , k ), n C k . , அல்லது n C k . எனவும் குறிக்கப்படுகிறதோ அங்கு.சூத்திரத்தை கீழ்வருமாறு புரிந்துகொள்ளலாம்: நமக்கு k வெற்றிவாய்ப்பும் (p k ) மற்றும்nk தோல்விவாய்ப்பும் (1 − p )nk தேவை. இருப்பினும், k வெற்றிவாய்ப்பு n நிகழ்வில் எங்குவேண்டுமானாலும் ஏற்படலாம், மற்றும் n தொடர்நிகழ்வில்k வெற்றிவாய்ப்பு C(n , k ) வெவ்வேறான வழிகளில் உள்ளன.

ஈருறுப்பு பரவல் நிகழ்தகவின் குறிப்பு அட்டவணைகளை தயாரிக்கும்போது, பொதுவாக அட்டவணை n /2 மதிப்புகள் வரை நிரப்பப்படுகிறது. k > n /2 ஆக இருப்பதால், நிகழ்தகவு அதன் நிரப்பியால் கணக்கிடப்படக்கூடும்

f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p).\,\!

எனவே, வேறு ஒரு k மற்றும் வேறு ஒரு p ஐ தேடவேண்டும் (பொதுவாக ஈருறுப்பு சமச்சீர் உடையதல்ல). இருப்பினும், அதன் இயல்பு தன்னிச்சையானதாக இல்லை. பின்வரும் சமன்பாட்டுக்கு இணக்கமான m எனும் ஒரு முழு எப்போதும் உள்ளது

(n+1)p-1

k ன் ஒரு சார்பாக, ƒ (k ; n , p ) எனும் கோவை, (n + 1)p ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும்போது மட்டுமின்றி, k < m க்கு அதிகரிக்கும் ஒருபாங்காகவும் k > m க்கு குறையும் ஒருபாங்காகவும் அமைகிறது. இந்நிகழ்வில், m = (n + 1)க்கு p மற்றும்m − 1 ஆகிய இரண்டு பெரும அளவுகள் உள்ளன. m என்பது பெர்னௌலி நிகழ்வின் மிகை நிகழ் (நிகழ்வதற்கான அதிக வாய்ப்பு) வெளியீடுகளாக உள்ளன. அதன் நிகழ்தகவு ஓரளவு குறைவாக இருக்கும் என்பதைக் கவனியுங்கள்.

சேர்ப்பு பரவல் சார்பு[தொகு]

சேர்ப்பு பரவல் சார்பு பின்வருமாறு குறிக்கப்படலாம்:

F(x;n,p) = \Pr(X \le x) = \sum_{i=0}^{\lfloor x \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}.

\scriptstyle \lfloor x\rfloor\,\scriptstyle \lfloor x\rfloor\, என்பது x க்குக் கீழே உள்ள "தரை" என்னும் பட்சத்தில், அதாவது x க்கு சமமான அல்லது குறைவான மிகப் பெரிய முழு எண்.

கீழ்க்கண்டவாறு அது சீராக்கப்பட்ட முடிவுறா பீட்டா சார்பு வடிவத்தில் கூட குறிக்கப்படலாம்:

 \begin{align} F(k;n,p) & = \Pr(X \le k) = I_{1-p}(n-k, k+1) \\ & = (n-k) {n \choose k} \int_0^{1-p} t^{n-k-1} (1-t)^k \, dt. \end{align}

knp க்கு, பரவ சார்பின் கீழ் முனையின் மேல் எல்லைகள் காணப்படலாம். குறிப்பாக, ஹோயஃப்டிங்கின் அசமன்பாடு எல்லையைக் கொடுக்கிறது

 F(k;n,p) \leq \exp\left(-2 \frac{(np-k)^2}{n}\right), \!

மேலும் செர்னாஃப்பின் அசமன்பாடு எல்லையைக் காண பயன்படுத்தப்படலாம்.

 F(k;n,p) \leq \exp\left(-\frac{1}{2\,p} \frac{(np-k)^2}{n}\right). \!

அதுமட்டுமின்றி, p = 1/2 ஆக இருக்கும்போது, எல்லா k3n/8 [1] களும் தொடரும் கோவைக்குப் பொருந்துவதால், இவ்வெல்லைகள் ஓரளவு இறுக்கமாக உள்ளன.

 F(k;n,1/2) \geq \frac{1}{15} \exp\left(- \frac{16 (n/2 - k)^2}{n}\right). \!

சராசரி மற்றும் மாறுபாடு[தொகு]

X ~ B (n , p) எனில் (அதாவது X ஒரு சமவாய்ப்பு மாறியின் ஈருறுப்பு பரவல்), X இன் எதிர்பார்க்கும் மதிப்பு

 \operatorname{E}[X] = np

மற்றும் மாறுபாடு

 \operatorname{Var}[X] = np(1 - p).

இவ்வுண்மை பின்வருமாறு சுலபமாக நிரூபிக்கப்படுகிறது. ஒரு பெர்னௌலி நிகழ்வினை முதலில் எடுத்துக்கொள்வதாக வைத்துக்கொள்வோம். இரண்டு முடிவுகளுக்கான வாய்ப்புகள் உள்ளன: 1 மற்றும் 0, முதலாவதாக p நிகழ்தகவும் இரண்டாவதாக 1 − p நிகழ்தகவும். இந்நிகழ்வில் எதிர்பார்க்கும் மதிப்பு μ = 1 · p + 0 · (1−p) = pக்குச் சமமாக இருக்கும். இவ்வாறே இந்நிகழ்வின் மாறுபாடு கணக்கிடப்படுகிறது: σ2 = (1−p)2·p + (0−p)2·(1−p) = p(1 − p).

பொதுவான ஈருறுப்பு பரவல் n சார்பற்ற பெர்னௌலி நிகழ்வுகளின் கூடுதல் ஆகும். இதுபோன்ற பரவலின் சராசரியும் மாறுபாடும், தனிப்பட்ட நிகழ்வுகளின் சராசரிகள், மாறுபாடுகளின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

 \mu_n = \sum_{k=1}^n \mu = np, \qquad \sigma^2_n = \sum_{k=1}^n \sigma^2 = np(1 - p).

முகடு மற்றும் இடைநிலை அளவு[தொகு]

பொதுவாக B (n , p) எனும் ஈருறுப்பு பரவலின் முகடு, ⌊ ⌋ is the தரை சார்பு(ஃப்ளோர் ஃபங்ஷன்) ஆக இருக்கும்போது, ⌊(n + 1)p ⌋க்குச் சமமாகும். இருப்பினும் (n + 1)p ஒரு முழுவாகவும் p 0,1 ஆக இரண்டுமில்லாமலும் இருப்பின், பரவலுக்கு இரண்டு முகடுகள் உள்ளன: (n + 1)p மற்றும் (n + 1)p − 1. p 0 அல்லது 1 க்குச் சமமானால், முகடு 0 மற்றும் n முறையே அமையும். இவைகள் கீழ்க்கண்டவாறு தொகுக்கப்படலாம்:

 \text{mode} = \begin{cases} \lfloor (n+1)\,p\rfloor & \text{if }(n+1)p\text{ is 0 or a noninteger}, \\ (n+1)\,p\ \text{ and }\ (n+1)\,p - 1 &\text{if }(n+1)p\in\{1,\dots,n\}, \\ n & \text{if }(n+1)p = n + 1. \end{cases}

பொதுவாக, ஈருறுப்பு பரவலின் இடைநிலை அளவு காண சூத்திரம் ஒன்று இல்லை, மேலும் அது ஒரேமாதிரியும் அமையாது. எனினும் பல தனிப்பட்ட முடிவுகள் ஏற்படுத்தப்பட்டுள்ளன:

  • np ஒரு முழு எனில், சராசரி, இடைநிலையளவு, மற்றும் முகடு ஆகியவை ஒன்றாக அமைகிறது.[2]
  • எந்தவொரு இடைநிலையளவு m ம் ⌊np ⌋ ≤ m ≤ ⌈ np ⌉. இடைவெளிக்குள் அமையவேண்டும்.[3]
  • ஒரு இடைநிலையளவு m சராசரி|mnp| ≤ min{ ln2, max{p, 1−p} லிருந்து மிகத் தொலைவில் அமைய முடியாது.[4]
  • இடைநிலையளவு ஒன்றுதான், மேலும் அது p ≤ 1 − ln2 அல்லது p ≥ ln2 அல்லது இருப்பினும் m = முழுமை(np) சமமாக அமையும்

|mnp | ≤ min{{0}p, 1−p }, (p = ½ மற்றும் n ஒற்றை எண் என இருப்பதைத் தவிர) [3][4]

  • p = ½ மற்றும் n ஒற்றை எண், ½(n −1) ≤ m ≤ ½(n +1) இடைவெளியில் m ன் எந்த எண்ணும் ஈருறுப்பு பரவலின் இடைநிலை அளவாகும். p = ½ and n என்பது இரட்டை எண் எனில், m = n /2 என்பது மட்டுமே இடைநிலை அளவாகும்.

இரண்டு ஈருறுப்புகளின் இணைமாறுபாடு[தொகு]

இரண்டு சமவாய்ப்புள்ள மாறிகள் X மற்றும் Y ஈருறுப்பு பரவலாக இருந்து ஒரே சமயத்தில் கணக்கில் கொள்ளப்பட்டால், அவற்றின் இணைமாறுபாட்டை காணுதல் பயனுள்ளதாகும். இணைமாறுபாடு வரையறையைப் பயன்படுத்த, நிகழ்வு ஒன்று நம்மிடம் உள்ளது.

\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{E}(X \cdot Y) - \mu_X \mu_Y

X மற்றும் Y ஒன்று ஆக இருக்கும்போது முதல் உறுப்பு பூஜ்ஜியம் அல்லாததாகும். மேலும் μ X மற்றும் μ Y இரண்டு நிகழ்தகவுகளுக்குச் சமமாகும். இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் நிகழும்போது, p B நிகழ்தகவாக வரையறுக்கப்பட்டு, இது கொடுக்கிறது

\operatorname{Cov}(X, Y) = p_B - p_X p_Y, \,

மற்றும் n க்கு இப்பேற்பட்ட நிகழ்வுகள் மீண்டும் சார்பற்ற தன்மையால்

\operatorname{Cov}(X, Y)_n = n ( p_B - p_X p_Y ). \,

X மற்றும் Y ஒரே மாறியாக இருந்தால், மேலே கொடுக்கப்பட்ட இணைமாறுபாட்டிற்கான சூத்திரம் பொருந்தும்.

சராசரி மற்றும் இணைமாறுபாட்டின் இயற்கணித கணக்கீடுகள்[தொகு]

முதல்நிலை அடிகோள்களிலிருந்து இவ்வளவுகளைக் காண்கிறோம். குறிப்பிட்ட சில கணக்குகள் இவ்விரு வகைபாடுகளில் உள்ளன. ஈருறுப்பு நிகழ்தகவு நிறைச் சார்புகளை முழுவதும் சார்ந்திருக்கும்படி நாம் கணக்குகளையும் உறுப்புக்களையும் மாற்றியமைக்கிறோம் எப்போதும் "ஒன்று" ஆக உள்ள (pmf) தோன்றுகிறது

 \sum_{k=0}^n \operatorname{Pr}(X=k) = \sum_{k=0}^n {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} = 1.

ஒரு தனி நிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் எதிர்நோக்கும் மதிப்பு வரையறையை ஈருறுப்பு பரவலுக்குப் பயன்படுத்துகிறோம்.

\operatorname{E}(X) = \sum_k x_k \cdot \operatorname{Pr}(x_k) = \sum_{k=0}^n k \cdot \operatorname{Pr}(X=k) = \sum_{k=0}^n k \cdot {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}.

முதல் காரணி, k, பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், தொடரின் (அடுக்குக்குறி k = 0) முதல் உறுப்பின் மதிப்பு 0. இவ்வாறாக அதை கணக்கில் கொள்ளாமல் விட்டுவிடலாம், அதாவது நாம் கீழ் எல்லையை k = 1 என மாற்றலாம்.

\operatorname{E}(X) = \sum_{k=1}^n k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k} = \sum_{k=1}^n k \cdot \frac{n\cdot(n-1)!}{k\cdot(k-1)!(n-k)!} \cdot p \cdot p^{k-1}(1-p)^{n-k}.

நாம் ஃபேக்டோரியல்களிலிருந்து n மற்றும் k ன் காரணிகளை பிரித்துள்ளோம். மேலும் p ன் ஒரு அடுக்கு கூறுபோடப்பட்டுள்ளது. அடுக்குக்குறியீடுகளை மறுவரையறை செய்ய தயார்படுத்துகிறோம்.

\operatorname{E}(X) = np \cdot \sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1}(1-p)^{n-k}

m = n − 1 மற்றும் s = k − 1 ஐ மாற்றுப் பெயரிடுகிறோம். இதனால் கணக்கின் மதிப்பு மாறுவதில்லை. ஆனால் இப்போது எளிதில் அடையாளங்காண முடிகிறது.

\operatorname{E}(X) = np \cdot \sum_{s=0}^m \frac{m!}{s!(m-s)!} p^s(1-p)^{m-s} = np \cdot \sum_{s=0}^m {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s}.

அடுத்து வரும் கணக்கு pmf எனும் முழுமையான ஈருறுப்பைப் பற்றியதாகும் (உள்ளபடி, ஆரம்பத்தில் உள்ள கணக்கில் இருப்பதைவிட ஒரு படி குறைவானது). ஆகவே

\operatorname{E}(X) = np \cdot 1 = np.

[5]

மாறுபாடு[தொகு]

மாறுபாடு --க்குச் சமம் எனக் காட்டமுடியும் (பார்: மாறுபாடு கணக்கிட சூத்திரம்):

\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2.

இச்சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும்போது X 2ன் எதிர்நோக்கும் மதிப்பும் தெரிந்திருக்கவேண்டும் என்பது புலனாகிறது:

\operatorname{E}(X^2) = \sum_{k=0}^n k^2 \cdot \operatorname{Pr}(X=k) = \sum_{k=0}^n k^2 \cdot {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}.

சராசரியைக் காண நாம் மேற்கொண்ட அனுபவத்தை பயன்படுத்திக்கொள்ளலாம். k ன் ஒரு காரணியை எவ்வாறு காண்பது என நமக்குத்தெரியும். இது முடிந்த அளவுக்கு நமக்கு கிடைக்கிறது

\operatorname{E}(X^2) = np \cdot \sum_{s=0}^m k \cdot {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s} = np \cdot \sum_{s=0}^m (s+1) \cdot {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s}

(மீண்டும், m = n − 1 and s = k − 1 உடன்). கணக்கினை இரண்டு தனித்தனிக் கணக்குகளாகப் பிரித்து ஒவ்வொன்றையும் தனிக்கணக்காகப் பார்க்கிறோம்

\operatorname{E}(X^2) = np \cdot \bigg( \sum_{s=0}^m s \cdot {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s} + \sum_{s=0}^m 1 \cdot {m\choose s} p^s(1-p)^{m-s} \bigg).

முதல் கணக்கு, சராசரி (மேலே) கணக்கிட்ட கணக்கோடு அமைப்பில் ஒப்புமை உடையது. அது mp ன் கூடுதலை கொடுக்கிறது. இரண்டாவது கணக்கு ஒன்று.

\operatorname{E}(X^2) = np \cdot ( mp + 1) = np((n-1)p + 1) = np(np - p + 1).

இம்முடிவினை கோவையில் மாறுபாடு காண பயன்படுத்தும்போது, சராசரியுடன் (E(X ) = np ), நமக்குக் கிடைக்கிறது

\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2 = np(np - p + 1) - (np)^2 = np(1-p).

வீழும் ஃபேக்டோரியல்களைப் பயன்படுத்தி E(X 2)ஐ காண[தொகு]

நம்மிடம் இருப்பது

\operatorname{E}(X^2) = \sum_{k=0}^n k^2 \cdot \operatorname{Pr}(X=k) = \sum_{k=0}^n k^2 \cdot {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}.

ஆனால்

k^2= k(k - 1) + k.\,

எனவே

 \begin{align} \operatorname{E}(X^2) &amp; = \sum_{k=0}^n (k(k - 1)+ k) \cdot {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \\ &amp; = \sum_{k=0}^n k ( k - 1 ) {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} + \sum_{k=0}^n k {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \\ &amp; = \sum_{k=2}^n k ( k - 1 ) {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} + \sum_{k=1}^n k {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \\ &amp; = \sum_{k=2}^n n ( n - 1 ) {n -2\choose k - 2}p^k(1-p)^{n-k} + \sum_{k=1}^n n {n - 1 \choose k - 1} p^k (1-p)^{n-k} \\ &amp; = \sum_{k=0}^{n-2} n ( n - 1 ) {n -2\choose k}p^{k+2}(1-p)^{(n-2)-k} + \sum_{k=0}^{n-1} n {n - 1 \choose k} p^{k+1} (1-p)^{(n-1)-k} \\ &amp; = n(n-1)p^2 \underbrace{\sum_{k=0}^{n-2} {n - 2 \choose k} p^k (1 - p)^{(n-2)-k}}_{= 1} + np \underbrace{ \sum_{k=0}^{n-1} {n - 1 \choose k} p^k (1-p)^{(n-1)-k}}_{=1} \\ &amp; = n(n-1)p^2 + np \\ &amp; = n^2p^2 - np^2 + np. \end{align}

ஆகவே

\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2 = (n^2p^2 - np^2 + np) - n^2p^2 = np(1 - p).

மற்ற பரவல்களோடு உள்ள தொடர்பு[தொகு]

ஈருறுப்பு பரவல் கணக்குகள்[தொகு]

X ~ B(n , p ) மற்றும் Y ~ B(m , p) தனித்தனி ஈருறுப்பு மாறிகளானால், மீண்டும் X + Y ஒரு ஈருறுப்பு மாறி; அதன் பரவல்

X+Y \sim B(n+m, p).\,

பெர்னௌலி பரவல்[தொகு]

பெர்னௌலி பரவல்என்பது n = 1 என உள்ள ஈருறுப்பு பரவலின் சிறப்புத் தன்மை ஆகும். குறியீடாக, X ~ B(1, p) என்பது X ~ பெர்ன்(p )ன் பொருளுடையதுதான்.

இயல்நிலை தோராயம்[தொகு]

n = 6 மற்றும் p = 0.5 எனும் மதிப்புக்கு ஈருருப்பு PDF மற்றும் இயல்பு தோராயம்

n பெரிய அளவில் இருப்பின், பரவலின் ஒரேதளத்தில் அமையாத் தன்மை மிகப் பெரிய அளவில் இல்லை. இதில், பொருத்தமான தொடர் திருத்தம் பயன்படுத்தப்பட்டால், B(n , p)க்கு ஒரு சிறந்த தோராயம் இயல்நிலைப் பரவல் வாயிலாக கிடைக்கிறது.

 \mathcal{N}(np,\, np(1-p)).

பொதுவாக n அதிகரிக்கும்போது தோராயம் சிறப்பெய்துகிறது, மேலும் p ஆனது 0 அல்லது 1.[6] க்கு அருகில் உள்ளபோது தன்மை கூடுகிறது. n போதுமான அளவு பெரிய அளவில் உள்ளதா மற்றும் கடை நிலையான பூஜ்ஜியம் அல்லது ஒன்றிலிருந்து p மிகவும் விலகியுள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்க, பல கட்டைவிரல் விதிகள் பயன்படுத்தப்படலாம்.

  • np மற்றும் n (1 − p) 5 ஐ விட பெரியதாய் இருக்கவேண்டும் என்பது ஒரு விதி. எனினும், கொடுக்கப்படும் விவரங்களுக்கேற்பவும் மேலும் எந்த அளவு சிறந்த தோராயம் தேவைப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தும் குறிப்பிடும் எண் மாறுபடுகிறது.
  • மற்றொரு கட்டைவிரல் விதி n>5 இயல்நிலை தோராயம் போதுமானதாக இருப்பின்[6] என்பதற்கானது.
\left|\frac{1/\sqrt{n}}{\sqrt{(1-p)/p}-\sqrt{p/(1-p)}}\right|
  • அதன் சராசரியின் 3 திட்ட விலக்கத்திற்குள் உள்ள ஒவ்வொன்றும் வாய்ப்புள்ள மதிப்புகளின் வீச்சிற்குள் இருந்தால் மட்டுமே மேற்குறிப்பிட்ட இயல்நிலைத் தோராயம் பொருத்தமானது என்பதற்கு பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் மற்றொரு விதி பொருந்தும், அதாவது
\mu \pm 3 \sigma = np \pm 3 \sqrt{np(1-p)} \in [0,n]. \,
  • பொதுவாக தோராயம் அதிகரிக்கும்போது, மாறுதல் செய்யும் இடங்கள் தோன்றுகின்றன என்பதைக் காட்ட முடியும்.
np \pm \sqrt{np(1-p)}

தொடர் திருத்தம் செய்வதற்கான ஒரு உதாரணம் வருமாறு: ஒருவர் X எனும் ஈருறுப்பு சமவாய்ப்பு மாறியின் Pr(X ≤ 8)ஐ கணக்கிட விரும்பினால். Y ல் இயல்நிலை தோராயத்தால் கொடுக்கப்பட்ட பரவல் இருந்தால், பின்பு Pr(Y ≤ 8.5) ஆல் . Pr(X ≤ 8) தோராயப்படுத்தப்படுகிறது. 0.5 ஐ சேர்த்தல் தொடர் திருத்தம்; திருத்தப்படாத இயல்நிலை தோராயம் மிகச் சரியான முடிவைவிட குறை தன்மையுள்ள முடிவைக் கொடுக்கிறது.

டி மாய்வர்-லேப்லஸ் தேற்றம் எனப்படும் இத்தோராயம், அதிக நேரத்தை மிச்சப்படுத்துவது (மிகப்பெரிய n உள்ளவற்றில் மிகச்சரியாகக் கணக்கிடுதல் கடினம்); வரலாற்றுரீதியாக, 1738ல் ஆப்ரஹாம் டி மாய்வரின் புத்தகமான தெ டாக்ட்ரின் ஆஃப் சான்சஸ் ல் இயல்நிலை பரவலில் முதன்முதலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டது. B(n , p ) என்பது p அளவுருவோடு சீராக பரவலிடப்பட்ட பெர்னௌலி மாறிகள்ன் n சார்பற்றவைகளின் கூடுதல் எனும் காரணத்தால், தற்காலத்தில், அது மைய எல்லை தேற்றம் விளைவாகத் தோன்றியது என அறியலாம்.

உதாரணத்திற்கு, அதிக மக்கள்தொகையிலிருந்து n மக்கள் மாதிரியை நீங்கள் எடுத்துக்கொண்டு, அவர்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட கருத்தோடு ஒத்துப்போகிறார்களா என அவர்களைக் கேட்டல். ஒத்துப்போகின்ற மக்கள் விகிதம் நிச்சயம் மாதிரியைச் சார்ந்தமையும். நீங்கள் n மக்கள் குழுக்களை திரும்பத்திரும்பவும், உண்மையில் சமவாய்ப்புள்ளதாகவும், மாதிரிகளாக எடுத்துக்கொண்டால், விகிதங்களானவை, p மக்கள்தொகையோடு ஒத்துப்போகின்ற உண்மையான விகிதத்திற்குச் சமமான சராசரி மற்றும் திட்ட விலக்கம் σ = (p (1 − p )/n )1/2 என உள்ள தோராய இயல்நிலை பரவலை நோக்கிச் செல்லும். அதிக அளவிலான மாதிரி அளவுகள் n சிறந்தவை, ஏனெனில் எதிர்நோக்கும் மதிப்பின் விகிதமான திட்டவிலக்கம், தெரியாத அளவுரு p ன் மிகச்சரியான மதிப்பீட்டைக் கொடுத்து, குறைவுபடுகிறது.

பாய்ஸான் தோராயம்[தொகு]

ஈருறுப்பு பரவல், np பெருக்குத்தொகை நிலையாக இருந்து நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை அளவிலியை நோக்கிச் செல்லும்போது, பாய்ஸான் தோராயம் நோக்கி குவிகிறது. ஆகையால், λ = np எனும் அளவுருவுள்ள பாய்ஸான் பரவல், n போதிய அளவு பெரிதாகவும் p போதிய அளவு சிறியதாகவும் இருப்பின் ஈருறுப்பு பரவலின் B(n , p)க்கு ஒரு தோராய அளவாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். கட்டைவிரல் விதிகள் இரண்டின்படி, n ≥ 20 மற்றும் p ≤ 0.05, அல்லது n ≥ 100 அல்லது np ≤ 10.[7] என்றிருந்தால், இத்தோராயம் சிறந்தது.

எல்லைகள்[தொகு]

  • n ∞ ஐ நெருங்கும்போது மற்றும் p 0 ஐ நெருங்கும்போது np , λ > 0ல் நிலையாக உள்ளபோது அல்லது, குறந்தபட்சம் np λ > 0ஐ நெருங்கும்போது, ஈருறுப்பு(n , p) பரவல், எதிர்நோக்கும் மதிப்பு λ உடன் பாய்ஸான் பரவலை நெருங்குகிறது.
  • p நிலயாக இருந்து, n ∞ ஐ நெருங்கும்போது, பரவல்
{X-np \over \sqrt{np(1-p)\ }}
எதிர்நோக்கும் மதிப்பு 0 மற்றும் மாறுபாடு 1 உடன் இயல்நிலை பரவலை நெருங்குகிறது (இது ஒரு மைய எல்லை தேற்றம்படியான வகை).

ஈருறுப்பு சமவாய்ப்பு மாறிகளை உருவாக்குதல்[தொகு]

மேற்குறிப்புகள்[தொகு]

  1. மடௌஸெக், ஜே, வொண்ட்ரக்,ஜே: தெ ப்ராபப்பிலிஸ்டிக் மெதட் (விரிவுறைக் குறிப்புகள்) [1].
  2. Neumann, P. (1966). "Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung" (in German). Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden 19: 29–33. 
  3. 3.0 3.1 Kaas, R.; Buhrman, J.M. (1980). "Mean, Median and Mode in Binomial Distributions". Statistica Neerlandica 34 (1): 13–18. 
  4. பிழை காட்டு: செல்லாத <ref> குறிச்சொல்; Hamza என்னும் பெயரில் உள்ள ref குறிச்சொல்லுக்கு உரையேதும் வழங்கப்படவில்லை
  5. Morse, Philip (1969). Thermal Physics. New York: W. A. Benjamin. ISBN 0805372024. 
  6. 6.0 6.1 Box, Hunter and Hunter. Statistics for experimenters. Wiley. p. 53. 
  7. NIST/SEMATECH, '6.3.3.1. கௌண்ட்ஸ் கண்ட்ரோல் சார்ட்ஸ்', e-ஹேண்ட்புக் ஆஃப் ஸ்டேடிஸ்டிகல் மெதட்ஸ் , <http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc331.htm> [accessed 25 October 2006]

புற இணைப்புகள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=ஈருறுப்புப்_பரவல்&oldid=1591397" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது