மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
மீப்பெரு முழுஎண் சார்பின் வரைபடம்

கணிதத்தில் மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு (greatest integer function) என்பது மெய்யெண்களின் மீது வரையறுக்கப்பட்டதொரு சார்பு. இச்சார்பின் கீழ் ஒரு மெய்யெண்ணின் சார்பலன் அம்மெய்யெண்ணை விட சிறிய முழுஎண்களுக்குள் மிகப்பெரிய முழுஎண்ணாகும்[1]. கீழ்மட்டச் சார்பு (floor function) எனவும் இச்சார்பு அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு \lfloor x\rfloor.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  • \lfloor \frac {12}{5}\rfloor = \lfloor 2.4\rfloor = 2
  • \lfloor 2\rfloor = 2
  • \lfloor -2\rfloor = -2
  • \lfloor -2.7\rfloor = -3

குறியீடு[தொகு]

கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ் இருபடி நேர்எதிர்மை -குறித்த தனது மூன்றாவது நிறுவலில் (1808) மீப்பெரு முழுஎண் சார்புக்கு சதுர அடைப்புக் குறியீட்டைப் ([x]) பயன்படுத்தினார்[2] கென்னத் இ. ஐவர்சன் 1962 ஆம் ஆண்டு மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு மற்றும் மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு ஆகிய இரு சார்புகளையும், மற்றும் அவற்றின் குறியீடுகளாக முறையே\lfloor x\rfloor, \lceil x \rceil ஆகிய இரண்டையும் அறிமுகப்படுத்தும்வரை இக்குறியீடே பயன்படுத்தப்பட்டு வந்தது[3][4][5]. தற்போது இருவிதமான குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.[6]

வரையறையும் பண்புகளும்[தொகு]

மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

 \lfloor x \rfloor=\max\, \{m\in\mathbb{Z}\mid m\le x\} \,

ஓரலகு நீளமுள்ள பாதி திறந்த இடைவெளியில் ஒரேயொரு முழுஎண் மட்டுமே இருக்கும் என்பதால், x என்ற மெய்யெண்ணுக்கு,

x-1<m\le x \le n <x+1.\;

என்றவாறு m , n என இரு தனித்த முழுஎண்கள் அமைகின்றன. இதனைப் பயன்படுத்தி மீப்பெரு முழுஎண் சார்பின் வரையறையைப் பின்வருமாறும் கூறலாம்:

\lfloor x \rfloor = m\,

மீச்சிறு முழுஎண் சார்புடன் தொடர்பு[தொகு]

  • \lfloor x \rfloor \le \lceil x \rceil \,

x முழு எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இதில் சமக்குறி உண்மையாகும். அதாவது:

\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = \begin{cases}
0&\mbox{ if } x\in \mathbb{Z}\\
1&\mbox{ if } x\not\in \mathbb{Z}
\end{cases}\,
  •  
\begin{align}
\lfloor x \rfloor +\lceil -x \rceil &= 0 \\
-\lfloor x \rfloor &= \lceil  -x \rceil \\
-\lceil  x \rceil  &= \lfloor -x \rfloor
\end{align}
\,
  • \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \begin{cases}
0&\mbox{ if } x\in \mathbb{Z}\\
-1&\mbox{ if } x\not\in \mathbb{Z},
\end{cases} \,
  • \lceil x \rceil + \lceil -x \rceil = \begin{cases}
0&\mbox{ if } x\in \mathbb{Z}\\
1&\mbox{ if } x\not\in \mathbb{Z}.
\end{cases} \,

தொடர்ச்சி[தொகு]

மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு தொடர்ச்சியான சார்பல்ல; எனினும் அது மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும் துண்டுவாரி மாறிலிச் சார்பாகவும் அமையும். கட்டுரையின் தொடக்கத்தில் தரப்பட்டுள்ள வரைபடத்திலிருந்து இவ் விவரத்தைக் காணலாம்.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
  2. Lemmermeyer, pp. 10, 23.
  3. e.g. Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim use Gauss's notation, Graham, Knuth & Patashnik, and Crandall & Pomerance use Iverson's.
  4. Iverson, p. 12.
  5. Higham, p. 25.
  6. See the Wolfram MathWorld article.

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]