இசுடர்லிங் சுழல் எண்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் ஸ்டர்லிங் எண் என்பது இரண்டு வகையாகப் புழங்குகிறது. அவைகளில் ஒரு n-கணத்தை k சுழல்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண் அல்லது இசுடர்லிங் சுழல் எண் எனப் பெயர் பெறும்.அதாவது எத்தனை n-வரிசைமாற்றங்கள் k சுழல்களாலானவை என்ற எண்தான் இது. இதற்குக் குறியீடு s(n,k) என்றோ அல்லது \begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix} என்றோ பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதை n-cycle-k என்றோ n-சுழல்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, \begin{bmatrix}
4\\
3
\end{bmatrix} = 6

ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் மூன்றுசுழற்பிரிவுகள்:

a/b/cd; a/c/bd; a/d/bc; b/c/ad; b/d/ac; c/d/ab

இவ்வெண்களின் முதல் சில மதிப்புகளின் அட்டவணையை ஸ்டர்லிங் எண்கள் என்ற கட்டுரையில் பார்க்கவும்.

மீள்வரு தொடர்பு[தொகு]

n > 0 என்றால்,

\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix} =  (n-1) \begin{bmatrix}
n - 1\\
k
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
n - 1\\
k - 1
\end{bmatrix}


n பொருள்களை k சுழல்கள் உள்ள திரிபுகளாகச்செய்யும் செயலில், முதல் பட்சமாக x_0 என்ற ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளை ஒற்றை உறுப்புச்சுழலாக வைத்திருக்கலாம். இப்பட்சம் \begin{bmatrix}
n-1\\
k-1
\end{bmatrix} வழிகளில் ஏற்படக்கூடியது.

இரண்டாவது பட்சமாக x_0 மற்ற ஏதாவதொரு சுழலில் ஓருறுப்பாக இருக்கவேண்டும். மற்ற சுழல்களின் எண்ணிக்கை \begin{bmatrix}
n-1\\
k
\end{bmatrix}. இவைகளில் x_0 ஓருறுப்பாக இருக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணிப்பதற்கு முதலில் நாம் குறிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டியது, ஒரு r-சுழலில் ஒரு புது உறுப்பை r வழிகளில் சேர்க்கலாம் என்பதுதான். k சுழல்களில் எதுவும் இந்த x_0 ஐ ஏற்றுக்கொள்ளலாம்.இச்சுழல்களின் நீளங்கள் r_1, r_2, ... , r_k ஆக வெவ்வேறாக இருந்தாலும் r_1 + r_2 + ... + r_k = n-1 என்பது நிச்சயம். அதனால் x_0\begin{bmatrix}
n-1\\
k
\end{bmatrix} சுழல்களில் ஏதாவதொரு சுழலில் சேர்ப்பதற்கு (n-1) வழிகள் உள்ளன.

இவ்விரண்டு பட்சங்களின் உருவகம் தான் மீள்வரு தொடர்பு (Recurrence Relation)


ஏறுமுகக் காரணியத்துடன் உறவு[தொகு]

n > 0 ஆக இருக்குமானால்,
(*): x(x + 1)(x + 2) ... (x + n - 1) = \sum_{k} \begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix} x^k.

இதனுடைய நிறுவல் உய்த்தறிதல் (Induction) முறையில் செய்யப்படுகிறது. முதலில் ஒரு குறியீடு.

[x]^k = x(x+1)(x+2) ... (x+k-1)
[x]^1 = x
[x]^2 = x(x+1) = \begin{bmatrix}
2\\
2
\end{bmatrix} x^2  +  \begin{bmatrix}
2\\
1
\end{bmatrix} x

இவை உய்த்தறிதல் முறையின் முதல் படிகள். k-ஆம் படியிலிருந்து k+1- ஆம் படிக்குச்செல்வதற்கு, நாம்

(x+n-1) x^k = x^{k+1} + (n-1) x^k

யை பயன்படுத்தவேண்டியிருக்கும்.

இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவு[தொகு]

(*) இல் x ஐ (-x) ஆக மாற்றினால், கிடைப்பது:

n > 0 ஆக இருக்குமானால்,
(*): x(x - 1)(x - 2) ... (x - n + 1) = \sum_{k} \begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix} (-1)^{n-k} x^k

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

ஸ்டர்லிங் உட்கண எண்

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=இசுடர்லிங்_சுழல்_எண்&oldid=1396618" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது