ஆர்க்கிமிடீஸ்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
(ஆக்கிமிடீஸ் இலிருந்து வழிமாற்றப்பட்டது)
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
ஆர்க்கிமிடீஸ்
(கிரேக்கம்: Ἀρχιμήδης)
Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg
ஆர்க்கிமிடீஸ் ஆழ்ந்த சிந்தனையில் - ஃபெட்டீ (1620)
பிறப்பு கி.மு.287
பிறப்பிடம் சைரக்யூஸ், சிசிலி
மாக்னா க்ரெசியா
இறப்பு கி.மு.212 (ஏறத்தாழ 75 வயது)
இறப்பிடம் சைரக்யூஸ்
வாழிடம் சைரக்யூஸ், சிசிலி
துறை கணிதம்
இயற்பியல்
பொறியியல்
வானவியல்
கண்டுபிடிப்புகளை கண்டுபிடித்தல்
அறியப்படுவது ஆர்கிமிடிஸ் கொள்கை
ஆர்கிமிடிஸ் திருகு
பாய்ம நிலையியல் (hydrostatics)
நெம்புகோல்
நுண்ணளவியல் (infinitesimals)

ஆர்க்கிமிடீஸ் ஆப் சைரக்யூஸ் ஒரு கிரேக்க கணித, இயற்பியல், வானியல் வல்லுநர். மேலும் அவர் ஒரு பொறியியலாளர் மற்றும் கண்டுபிடிப்பாளராவர்.[1] அவரது வாழ்க்கை பற்றிய சில விவரங்கள் மட்டுமே தெரிந்திருந்தாலும் அவர் பழங்கால முன்னணி விஞ்ஞானிகளில் ஒருவராக கருதப்படுகிறார். இயற்பியலில் அவரது கைதேர்ந்த இடங்கள் பாய்ம நிலையியல் (hydrostatics), நிலையியல் (statics) மற்றும் நெம்புகோல் கொள்கை விளக்கம் ஆகியவை ஆகும். அவர் முற்றுகை இயந்திரங்கள்(siege engines) மற்றும் அவருடைய பெயரை தாங்கியுள்ள திருகு விசையியக்க குழாய் உள்ளிட்ட புத்தாக்க இயந்திரங்களை வடிவமைத்த பெருமை பெற்றவர். நவீன சோதனைகள் ஆர்க்கிமிடீஸ் கண்ணாடிகளை வரிசையாக வைத்து கடலில் உள்ள கப்பல்களை எரித்தார் என்ற கூற்றின் சாத்தியத்தை நிரூபித்துள்ளன.

ஆர்க்கிமிடீஸ் பழங்காலத்தின் மிகச்சிறந்த கணித மேதையாக கருதப்படுகிறார்.[2][3] அவரது சில குறிப்பிடத்தக்க செயல்கள் கீழ்வருமாறு: மெதட் ஆப் எக்ஜாஷன் என்னும் கணித வழியைப் பயன்படுத்தி ஒரு சாய் மாலை வட்டத்தின்(parabola) வில்லின்கீழுள்ள பரப்பளவை ஒரு முடிவிலா தொடரின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்தி கண்டுபிடித்தார். மேலும் இதே மெதட் ஆப் எக்ஜாஷன் முறையைப் பயன்படுத்தி 'பை'யினிர்க்கு ஒரு குறிப்பிடத்தக்க அளவில் மிக துல்லிய தோராய மதிப்பு வழங்கினார். அவரது பெயர்கொண்ட சுருளை அவர் கண்டுபிடித்து விவரித்தார். பரப்புகளை சுழற்றுவதால் உண்டாகும் கொள்ளளவிற்கு ஒரு சூத்திரம் கொடுத்தார். மேலும் மிகப்பெரிய எண்களை எழுதுவதற்கு ஒரு வியத்தகு முறையை வடிவமைத்தார்.

ஆர்க்கிமிடீஸ் சைரக்யூஸ் முற்றுகையின் போது ,அவர் பாதிக்கப்படக்கூடாது என்ற உத்தரவு இருந்தபோதிலும், ஒரு ரோம படைவீரரால் கொல்லப்பட்டார். சிசெரோ ஒரு கோளத்தை உள்ளடக்கிய உருளை அமைப்பை கொண்ட ஆர்க்கிமிடீஸின் கல்லறையை பார்வையிடுதலை விவரிக்கிறார். ஆர்க்கிமிடீஸ் அத்தகைய கோளம், உருளையின் மூன்றில் இரண்டு பங்கு கொள்ளளவையும் பரப்பளவையும் ( அடிவட்டங்கள் உட்பட ) பெற்றிருக்கும் என்று நிரூபித்துள்ளார். அதையே தன் சிறந்த கணித வேலையாக அவர் கருதினார்.

அவரது கண்டுபிடிப்புகள் போலல்லாமல், ஆர்கிமிடிஸின் கணிதவேலைப்பாடுகள் பழங்காலத்தில் சிறிதே அறியப்பட்டிருந்தன. அலெக்சாண்ட்ரியாவின் கணிதவியலாளர்கள் அவரது கணித வேலைப்பாடுகளை படித்து மேற்கோளிட்டனர். அனால் கி.பி. 530இல் தான் மிளிடஸின் இசிடோர் என்பவர் அவரது கணித வேலைப்பாடுகளின் ஒரு விரிவான தொகுப்பை உருவாக்கினார். ஆறாம் நூற்றாண்டில் ஆர்க்கிமிடீஸின் வெலைப்பாடுகள் குறித்த யுடோசியஸின் கருத்துகள் நிறைய மக்களுக்கு அவரது படைப்புகளை அறிமுகப்படுத்தின. மறுமலர்ச்சி கால விஞ்ஞானிகளுக்கு அப்போதுவரை மீந்திருந்த ஆர்க்கிமிடீஸின் வேலைப்பாடுகள் மிகவும் பயனுள்ளதாகவும் எழுச்சிமிக்கனவாகவும் இருந்தன.1906இல் ஆர்க்கிமிடீஸின் அழிக்கப்பட்ட சுவடுகளிலிருந்து கண்டெடுக்கப்பட்ட வேலைப்பாடுகள் அவரது கணிதத்தின் ஒரு புது பரிமாணத்தை வெளிக்கொண்டுவந்தன.

சுயசரிதம்[தொகு]

ஆர்சென்ஹோல்ட் ஆய்வு மையத்தில் இருக்கும் ஆர்கிமிடிசின் வெண்கல சிற்பம்

ஆர்க்கிமிடீஸ் கி.மு.287இல் சைரகுசின் சிசிலி நகரில் பிறந்தார். ஆர்க்கிமிடீஸ் பிறந்த தேதி , அவர் 75 ஆண்டுகள் வாழ்ந்தார் என்ற பைசான்டின் கிரேக்க வரலாற்று அறிஞர் ஜான் ஜெட்ஸஸின் கூற்றிலிருந்து சொல்லப்படுகிறது.[4] சான்ட் ரெக்கானர் என்னும் தனது வேலைப்பாட்டில் தனது தந்தையின் பெயரை பிடியஸ் என ஆர்க்கிமிடீஸ் குறிப்பிடுகிறார். ப்ளூடார்ச், ஆர்க்கிமிடீஸ் அரசர் இரண்டாம் ஹியரோவுடன் தொடர்பானவர் என்று குறிப்பிடுகிறார். ஆர்க்கிமிடீஸின் சுயசரிதை ஒன்றை அவரது நண்பர் ஹெரக்லிடஸ் எழுதியிருக்கிறார்.[5] ஆனால் அது தொலைந்துவிட்டதாதலால் அவரது வாழ்க்கை பற்றிய தகவல்கள் தெரியவில்லை.

ஆர்க்கிமிடீஸ் கி.மு.212இல் இரண்டாம் புனிக் போரின்போது இறந்தார். ப்ளுடார்ச்சின் கூற்றுப்படி சைரகுஸ் கைப்பற்றப்பட்டபோது ஆர்க்கிமிடீஸ் ஒரு கணித வரைபடம் வரைந்துகொண்டிருந்தார். ஒரு ரோமானிய வீரர் ஆர்க்கிமிடீசை தளபதி மார்செல்லசை வந்து பார்க்க ஆணையிட்டார் . ஆனால் ஆர்க்கிமிடீசோ தான் வேலையை முடிக்கவேண்டும் என்று கூறியதால் படைவீரர் கோபமுற்று கத்தியினால் ஆர்க்கிமிடீசை கொன்றுவிட்டார். ஆனால் தளபதியோ ஆர்க்கிமிடீசை ஒரு மதிப்பற்ற அறிவியல் சொத்தாக கருதியதால், இச்செயலினால் மிகுந்த கோபமுற்றார்.[6]

கண்டுபிடிப்புகள்[தொகு]

ஆர்கிமிடிஸ் கொள்கை[தொகு]

ஆர்க்கிமிடீசு தத்துவ சோதனை
 "மூல கட்டுரை":ஆர்க்கிமிடீசு தத்துவம்

ஆர்க்கிமிடீஸ் பற்றி மிகவும் பரவலாக அறியப்படும் நிகழ்ச்சி அவர் ஓர் ஒழுங்கற்ற வடிவம் கொண்ட ஒரு பொருளின் கொள்ளளவை தீர்மானிப்பதற்கான முறையை கண்டுபிடித்ததாகும். விட்ரூவியஸ் கூற்றுப்படி, அரசர் இரண்டாம் ஹியரோ கோவிலொன்றுக்கு தங்க கிரிடமொன்று செய்யச்சொல்லி தூய தங்கம் வழங்கியிருந்தார். ஆனால் கொல்லன் சிறிதளவு வெள்ளி கலந்திருப்பானோ என்று சந்தேகப்பட்டு ஆர்க்கிமிடீஸிடம் அதை கண்டுபிடிக்கச்சொன்னார். இதன்பிறகு ஆர்க்கிமிடீஸ் ஒருநாள் குளிக்கும்போது குளியல் தொட்டியில் தண்ணீரின் உயரம் தான் உள்ளே இறங்கும்போது உயருவதைக் கண்டார். இதை வைத்து அரசரின் கேள்விக்கு விடை கண்டுவிடலாமே என்று உணர்ந்து யுரேகா (கண்டுபிடித்துவிட்டேன்) என்று கத்திக்கொண்டு வீதியில் ஓடினார்.

இந்த தங்க கிரீட கதை ஆர்க்கிமிடீஸின் அறியப்பட்ட படைப்புகளில் சொல்லப்படவில்லை. மேலும், அது விவரிக்கப்பட்ட முறைப்படி நடைமுறையில் தண்ணீரின் உயரமாற்றத்தை அவ்வளவு துல்லியமாக அளவிட முடியாது என்ற கேள்வியும் உள்ளது.[7] பதிலாக , ஆர்க்கிமிடீஸ் 'ஆன் பிலோடிங் பாடீஸ்' என்னும் தனது புத்தகத்தில் குறிப்பிட்ட ஆர்க்கிமிடீஸ் கொள்கை மூலம் இச்செயலை செய்திருக்கலாம் என்று கருதப்படுகிறது. இந்த கொள்கை படி ஒரு பொருள் ஒரு திரவத்தினுள் மூழ்கியிருக்கும்போது எந்த அளவு திரவத்தை பெயர்த்துள்ளதோ அதன் எடைக்கு சமமாக ஒரு மிதப்பு விசையை எதிர்கொள்ளும்.[8] இந்த கொள்கையை பயன்படுத்தி, ஒரு தராசில் ஒரே எடைகொண்ட தூய தங்கத்தை ஒருபுறமும் கிரிடத்தை மறுபுறமும் வைத்து அதை நீரில் மூழ்கடித்தால் தராசு தூய தங்கத்தின் பக்கம் சாய்ந்தால் அது வெள்ளி கலக்கப்பட்ட கிரிடமென்று நிரூபணமாகிவிடும். கலிலியோ ஆர்க்கிமிடீஸ் இம்முறையைத்தான் பயன்படுத்தியிருப்பார் என்றார்."[9]

ஆர்கிமிடிஸ் திருகு[தொகு]

ஆர்க்கிமிடீசு திருகு

ஆர்கிமிடிஸின் பொறியியல் வேலைப்பாடுகளில் ஒரு பெரும் பகுதி அவரது சொந்த நகர் சைரக்யூஸின் தேவைகளை பூர்த்தி செய்வதற்காக எழுந்ததாகும். கிரேக்க எழுத்தாளர் அத்தேனயஸ் , இரண்டாம் ஹியரோ என்னும் அரசர் ஆர்கிமிடிசை வைத்து சைரகுசியா என்னும் பெரிய கப்பலை கட்டியதை விவரிக்கிறார். அக்கப்பல் சொகுசு கப்பலாக மட்டுமில்லாமல் ஒரு போர்க்கப்பலாகவும் செயல்படும் திறமை கொண்டது. பழங்காலத்தின் மிகப்பெரிய கப்பலாக சைரகுசியா கருதப்படுகிறது. அத்தேனயஸ் சொல்வதுபடி அது 600 பேர்களை தாங்கிச்செல்லும் திறன்கொண்டது. மேலும் அதில் தோட்டம், உடற்பயிற்சி நிலையம் , கோவில் போன்றவையும் இருந்தன. இந்த அளவு பெரிய கப்பலில் மேலோடு ( கப்பலின் உடற்பகுதி ) மூலம் தண்ணீர் கணிசமான அளவு கசியும் என்பதால் ஆர்கிமிடிஸ் திருகு உருவாக்கப்பட்டது என்று கருதப்படுகிறது. இந்த இயந்திரம் ஒரு உருளைக்குள்ளே சுழலும் திருகு வடிவ தகடு கொண்டதாகும். அது கையால் திருகப்பட்டது. இந்த ஆர்கிமிடிஸ் திருகு இன்றும் திரவங்கள் மற்றும் நிலக்கரி போன்றவற்றை பம்ப் செய்ய பயன்படுத்தப்படுகிறது. விட்ரூவியஸ் குறிப்பிடும் ரோம காலத்து ஆர்க்கிமிடிய திருகு பாபிலோனின் தொங்குதோட்டத்தில் பயன்படுத்திய திருகு பம்பின் முன்னேற்றமாக இருக்கலாம். உலகின் முதல் திருகு உந்தி ( screw propeller ) கொண்ட நீராவிக் கப்பல் "எஸ் எஸ் ஆர்க்கிமிடீஸ்" 1839இல் உருவாக்கப்பட்டது.

ஆர்க்கிமிடீஸின் க்ளா[தொகு]

ஆர்க்கிமிடீஸின் க்ளா என்பது ஆர்க்கிமிடீஸ் சைரகுசை பாதுகாக்க உருவாக்கிய ஒரு ஆயுதமாகும். இது ஒரு கிரேன் போன்ற அமைப்பிலிருந்து ஒரு கொக்கி தொங்குவதாக அமைந்திருக்கும். இது எதிரி கப்பல்களை தூக்கி கடலில் மூழ்கடிக்க பயன்படுத்தப்படும். 2005இல் "சூபர்வெபன்ஸ் ஆப் தி என்சியன்ட் வேர்ல்ட்" என்னும் தொலைகாட்சி நிகழ்ச்சி இதன் ஒரு செயல்படக்கூடிய மாதிரியை தயாரித்தது. அதை செயல்படுத்திப்பார்த்து இது போன்ற இயந்திரம் சாத்தியமே என்று தீர்ப்பிட்டது.

ஆர்கிமிடிசின் வெப்ப கதிர்[தொகு]

ஆர்கிமிடீசு வெப்பக் கதிர்

2 ஆம் நூற்றாண்டு எழுத்தாளர் லூசியன், சைரக்யூஸ் முற்றுகையின் போது ஆர்கிமிடிஸ் வரிசையாக கண்ணாடிகளை வைத்து அதை சூரிய ஒளியை ரோமானிய கப்பல்கள் மீது குவித்து அக்கப்பல்களை தீப்பிடிக்க வைத்தார் என்று கூறுகிறார்.

அனால் இந்த "ஆர்கிமிடிஸ் வெப்ப கதிர்" ஆயுதத்தின் நம்பகதன்மை பற்றி மறுமலர்ச்சி காலத்திலிருந்து இன்றுவரை விவாதிக்கப்படுகிறது. கார்டீசியன் முறையை உலகிற்களித்த ரேனே டெஸ்கார்டிஸ் இது சாத்தியமில்லை என்றிருக்கிறார். நவீன ஆராய்ச்சியாளர்களோ ஆர்க்கிமிடீஸிற்கு கிடைக்கக்கூடிய பொருட்களை வைத்தே இது சாத்தியமா என்று ஆராய்கிறார்கள். இது மிகவும் பளபளப்பான வெண்கல அல்லது செப்பு கேடயங்களை கண்ணாடிகளாக செயல்படுத்தி ஒரு பெரிய வரிசையாக வைத்து கப்பல் மீது சூரிய ஒளியை குவித்து சாத்தியமாக்கியிருக்கலாம் என்று கருதப்படுகிறது.

'ஆர்க்கிமிடீஸ் வெப்ப கதிர்' பற்றிய ஒரு சோதனை கிரேக்க விஞ்ஞானி லொவானிஸ் சக்கார் 1973 இல் நடத்தினார். இச்சோதனை ஏதென்ஸிற்கு வெளியே உள்ள கடற்படை தளத்தில் நடந்தது. இச்சோதனையில் 70 செப்பு பூசப்பட்ட கண்ணாடிகள் ( 1.5/1 மீட்டர் அளவிலான ) பயன்படுத்தப்பட்டன. இந்த கண்ணாடிகள் சுமார் 160 அடி (50 மீ) தூரத்திலுள்ள ஒரு ரோமானிய போர்க்கப்பலின் ஒட்டு பலகையின்மீது துல்லியமாக குவித்து காட்டப்பட்டபோது அது நொடிகளில் பற்றிக்கொண்டது. பயன்படுத்திய கப்பலில் கீல் மேற்பூச்சு (tar coating) செய்யப்பட்டிருந்தது சீக்கிர பற்றிக்கொள்ளுதலுக்கு நன்கு வழிவகுத்திருக்கலாம். ஆனால் கீல் மேற்பூச்சு அக்கால கப்பல்களில் சதாரணமானதாகும்.

அக்டோபர் 2005இல் மாசூசெட்ஸ் தொழில்நுட்ப கல்வி நிறுவன மாணவர் குழு ஒன்று 127 ஒரு அடி (30 மீ) சதுர கண்ணாடி ஓடுகள் கொண்டு சுமார் 100 அடி (30 மீ) தூரத்தில் உள்ள ஒரு மர கப்பலின்மீது சூரிய ஒளியை குவித்தார்கள். கப்பலில் தீப்பிடித்தது என்றாலும் அது வானம் மேகமூட்டமின்றி இருந்து மேலும் கப்பல் ஒரு பத்து நிமிடங்கள் நகராமல் இருந்த பிறகே இது சாத்தியமாயிற்று. இந்த எம்ஐடி குழு இச்சோதனையை சான் பிரான்சிஸ்கோவில் ஒரு மர மீன்பிடி படகு பயன்படுத்தி, மித்பஸ்டர்ஸ் என்னும் தொலைக்காட்சி நிகழ்ச்சிக்கு செய்துகாட்டினர்.

மித்பஸ்டர்ஸ் ஜனவரி 2006 இல் சான் பிரான்சிஸ்கோ சோதனையின் விளைவை ஒளிபரப்பிய போது, இச்சோதனைக்கு தோல்வியே தீர்ப்பாக வழங்கப்பட்டது. இது ஏனெனில் தீப்பிடிக்க எடுத்த நேரத்தையும் , தேவையான வானிலையையும் கருத்தில் எடுத்துக்கொண்டதனால். மேலும், சைரக்யூஸ் கிழக்கு நோக்கி கடலை எதிர்கொள்கிறது என்பதனால் ரோமானிய கப்பல்கள் காலை நேரத்தில் தாக்குதல் நடத்தியிருக்கவேண்டும். ஏனெனில் அப்போதுதான் திறமையாக சூரிய ஒளியை குவித்திருக்கமுடியும் என்பதும் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது. மித்பஸ்டர்ஸ், தீப்பிடித்த அம்புகள் அல்லது மரையாணிகள் போன்றவற்றை கவண் ( catapult ) முதலியவை கொண்டு எறிதல் போன்ற வழக்கமான ஆயுதமுறையே அருகிலுள்ள கப்பலை இதை விட வெகுவிரைவில் தீப்பிடிக்க வைத்துவிடும் என்பதையும் சுட்டிக்காட்டியது.

டிசம்பர் 2010 இல், மித்பஸ்டர்ஸ் மீண்டும் ஜனாதிபதி சவால் என்ற தலைப்பில் பாரக் ஒபாமாவிற்கு முக்கியத்துவம் தந்த ஒரு அத்தியாயத்தில் இந்த அர்கிமிடிஸ் வெப்ப கதிர் சோதனையை கண்டது. பல சோதனைகள் நடத்தப்பட்டன, 500 பள்ளி மாணவர்கள் கண்ணாடிகளை 400 அடி ( 120 மீட்டர் ) தூரத்திலிருக்கும் ஒரு ரோமானிய மாதிரி கப்பல் மீது குவித்துகாட்டியது உட்பட. ஆனால் இவ்வனைத்து சோதனைகளும் தோல்வியையே தழுவின. ஒரு சோதனையில் கூட கப்பல் தீப்பிடிக்க தேவையான 210 டிகிரி செல்சியஸ் (410 டிகிரி பாரன்ஹீட்) வெப்பநிலையை அடையவில்லை.

பிற கண்டுபிடிப்புகள்[தொகு]

ஆர்க்கிமிடீஸ் நெம்புகோலை கண்டுபிடிக்கவில்லை என்றபோதிலும் அதன் கொள்கையை தனது "ஆன் தி இக்விலிபிரியம் ஆப் பிலேன்ஸ்" என்ற புத்தகத்தில் அளித்திருக்கிறார். இதன் முன்பே ஆர்கைடஸ் என்பவர் நெம்புகோல் கொள்கையை கூறியிருக்கிறார். அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின் பாப்பஸின் கூற்றுப்படி அர்கிமிடிஸ் ,"எனக்கு நிற்க ஒரு இடம் கொப்பீர்களானால் , நான் இந்த பூமியை நகர்த்திக்காட்டுவேன்" என்றிருக்கிறார். ஆர்க்கிமிடீஸ் "ப்ளாக் அன்ட் டாக்கில்" கப்பி அமைப்புகளை வடிவமைத்த விதத்தை ப்ளூடார்ச் விவரிக்கிறார். இந்த கப்பி அமைப்பின் மூலம் மாலுமிகள் நெம்புகோல் கொள்கையை பயன்படுத்தி மிக கனமான பொருட்களையும் தூக்கலாம். ஆர்க்கிமிடீஸ் மேலும், கவணின் சக்தி மற்றும் துல்லியத்தை மேம்படுத்தியதற்கும் பாராட்டப்பட்டுள்ளார். மேலும் முதல் ப்யூநிக் போரின்போது இவர் ஓடோமீட்டர் கண்டுபிடித்தார். இந்த ஓடோமீட்டரானது ஒரு மைல் சென்ற பிறகு ஒரு பந்தை ஒரு குடுவையில் போடுமாறு வடிவமைக்கப்பட்டதாகும்.

சிசரோ (கி.பி.106-43) ஆர்கிமிடிஸ் பற்றி தன் 'டி ரி பப்ளிகா'வில் குறிப்பிடுகிறார். கி.மு.212இல் சைரகூசை கைப்பற்றியபிறகு தளபதி மார்செல்லஸ் ஆர்கிமிடிஸின் இரு இயந்திர அமைப்புகளை தன்னோடு கொண்டு சென்றார். இவை அவரால் வானியலில் பயன்படுத்தப்பட்டன. இவை சூரியன், சந்திரன் மற்றும் ஐந்து கோள்களின் நகர்தலை காண்பித்தன. மார்செல்லஸ் இயந்திர அமைப்பில் ஒன்றை தன்னோடும் மற்றொன்றை ரோமின் 'டெம்பிள் ஆப் விர்ட்யூ'விற்கும் தந்தார். மார்செலஸின் அமைப்பை சிசரோவின் கூற்று படி, காலஸ் , லூசியஸ் பிலஸிடம் கீழ்வருமாறு கூறுகிறார்.

Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione. — When Gallus moved the globe, it happened that the Moon followed the Sun by as many turns on that bronze contrivance as in the sky itself, from which also in the sky the Sun's globe became to have that same eclipse, and the Moon came then to that position which was its shadow on the Earth, when the Sun was in line.[10][11]

இது ஒரு கோளரங்கத்தின் விளக்கமாகும். அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின் பாப்பஸ் , ஆர்கிமிடிஸ் 'ஆன் ஸ்பியர் மேகிங்' (இப்போது தொலைந்துவிட்ட) என்னும் தலைப்பில் எழுதிய நூலில் இந்த இயந்திர அமைப்புகளை எப்படி உருவாக்குவது என்று விளக்கியிருக்கிறார் என்கிறார். நவீன ஆராய்ச்சி இதே போன்று வடிவமைக்கப்பட்ட 'ஆண்டிகைதேரா இயந்திர அமைப்பின்' மேல் நடக்கிறது. இந்த வகையான இயந்திர அமைப்பு அமைக்க 'டிப்பரென்டியல் கியரிங்' என்னும் நுட்பமான அறிவு தேவை.

கணிதம்[தொகு]

ஆர்க்கிமிடீஸ் இன்பிநிடெசிமல்களை இக்கால தொகையீடு ( integral calculus ) போன்ற முறையில் பயன்படுத்தினார். 'மறுத்தல் மூலம் நிரூபித்தல்' (proof by contradiction) முறையை பயன்படுத்தி கேள்விகளுக்கு அவர் எந்த துல்லிய தேவையையும் பூர்த்தி செய்து பதிலளிக்கும் ஆற்றல் மிக்கவர். இந்த நுட்பத்திற்கு பெயர் 'மெதட் ஆப் எச்ஹாசன் '.

பிதாகரஸ் தத்துவம் பயன்படுத்தி பையின் மதிப்பை கண்டுபிடித்தல்

இந்நுட்பத்தை பயன்படுத்தி அவர் π யின் தோராயமான மதிப்பை கண்டுபிடித்தார். இதை மெசர்மெண்ட் ஆப் சர்கிள் என்னும் நூலில் ஒரு வட்டத்திற்கு வெளியே ஒரு அதைவிட பெரிய சீர் பல்கோணம் (regular polygon) ஒன்று வரைந்து வட்டதிற்குள்ளே அதைவிட சிறிய சீர் பல்கோணம் ஒன்று வரைந்து ஒவ்வொரு முறையும் பல்கோணங்களின் பக்கங்களை இரட்டிக்க செய்து , பக்கத்தின் நீளத்தை அளவிட்டு அவர் கணித்தார் .

பர்பில் பரப்பின் பரப்பளவு நீள பரப்பை விட 4/3 மடங்காகும்

பக்கங்களின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்க அதிகரிக்க அதை தோராயமாக ஒரு வட்டம்போல் கருதலாம். நான்கு முறை பக்கங்களை இரட்டிக்க செய்த பிறகு , பல்கோணங்கள் 96 பக்கங்களை கொண்டுள்ளபோது, ஆர்கிமிடிஸ் π யின் மதிப்பு 22/7(தோராயமாக 3.1429) மற்றும் 223/71(தோராயமாக 3.1408) ஆகியவற்றின் இடையே இருக்கும் என்று கணித்தார் . புள்ளிக்குப்பின் ( decimal point ) நான்கு இடங்களுக்கு தோராயமாக அதன் உண்மையான மதிப்பு 3.1416 என்பதற்கு இது மிகவும் அருகில் உள்ளதை கவனிப்பீர். மேலும் அவர் ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவு அதன் ஆரத்தை (radius)மறுபடி அதனாலேயே பெருக்கி மீண்டும் π யால் பெருக்கினால் கிடைக்கும் என்பதை நிரூபித்துள்ளார். "ஆன் தெ ஸ்பியர் அண்ட் சிலிண்டர்" என்னும் நூலில் , எந்த அளவையும் ( magnitude ) தேவையான அளவு அதனோடு கூட்டினால் கொடுக்கப்பட்ட எந்த அளவையும் அது தாண்டிவிடும் என்பதை குறிப்பிட்டிருக்கிறார். இது "ஆர்கிமிடியன் ப்ராபெர்டீ ஆப் ரியல் நம்பர்ஸ்" என்று வழங்கப்படுகிறது.

மெசர்மெண்ட் ஆப் சர்கிள்' என்னும் நூலில் ஆர்கிமிடிஸ் மூன்றின் வர்க்கமூலத்தின் மதிப்பை 265/153(தோராயமாக 1.7320261) மற்றும் 1351/780(தோராயமாக 1.7320512) ஆகியவற்றிற்கு இடைய அமைவதாக கணித்தார். இது அதன் உண்மையான மதிப்பான 1.7320508இற்கு ஒத்துப்போவதை காண்க. ஆனால் இதை அவர் எப்படி கண்டுகொண்டார் என்று அவர் குறிப்பிடவில்லை. `

'ஆன் தி குவாடிரேசர் ஆப் பாரபோலா' என்ற தனது படைப்பில் ஒரு சாய் மாலை வட்டத்திற்கும் ஒரு நேர்கோட்டிற்கும் நடுவில் உள்ள பரப்பளவு வலதுபுறம் காண்பிக்கப்பட்டுள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பளவின் 4/3 மடங்காகும் என்று நிரூபித்திருக்கிறார். இந்த வினாவிற்கான விடையை பொதுவான விகிதமாக 1/4ஐ கொண்ட கீழ்வரும் 'முடிவிலா பெருக்கு தொடர்'ஆக வெளிப்படுத்தினார்.

\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;

இந்த தொடரின் முதல் எண்ணை முக்கோணத்தின் பரப்பளவாக எடுத்துக்கொண்டால் அடுத்த எண்ணை இம்முக்கோனத்தின் மற்ற இரண்டு பக்கங்களை கொண்டு உருவாக்கப்பட்ட இதே போன்ற இரண்டு முக்கோணங்களின் பரப்பளவின் கூட்டாகும். இதே போல் அடுத்த எண்களையும் அர்த்தம் கொள்ளலாம்.

மிஞ்சியிருக்கும் படைப்புகள்[தொகு]

  • "ஆன் தெ ஈக்விளிபிரியம் ஆப் ப்ளேன்ஸ்" (இரண்டு தொகுதிகள்)

இரண்டாவது புத்தகம் பத்து ப்ரோபோசிசன்களை கொண்டிருக்கும்போது, முதல் புத்தகம், ஏழு அனுமானங்களும் (postulate) பதினைந்து ப்ரோபோசிசன்களும் கொண்டுள்ளது. இந்த புத்தகத்தில் ஆர்கிமிடிஸ் நெம்புகோல் தத்துவத்தை விளக்குகிறார். ஆர்க்கிமிடீஸ் முக்கோணங்கள், இணைகரங்கள்(parallelogram) மற்றும் சாய்மாலை (parabola) உட்பட பல்வேறு வடிவியல் வடிவங்களின் புவியீர்ப்பு மையங்கள் மற்றும் பரப்பளவு ஆகியவற்றை தீர்மானிக்க பயன்படுத்தப்பட்ட கொள்கைகளை இதில் பயன்படுத்துகிறார்.[12]

  • "ஆன் தெ மேசர்மென்ட் ஆப் சர்கிள்"

இது மூன்று ப்ரொபோசிசன்கள் கொண்ட ஒரு குறுகிய வேலைப்படாகும். ஆர்கிமிடிஸ் π யின் மதிப்பு 22/7(தோராயமாக 3.1429) மற்றும் 223/71(தோராயமாக 3.1408) ஆகியவற்றின் இடையே இருக்கும் என்று இதில் கணித்திருக்கிறார்.

  • "ஆன் ஸ்பைரல்ஸ்"

28 ப்ரொபோசிசன்கள் கொண்ட இந்த வேலைப்பாடும் முன்னே உள்ள வேலைப்பாட்டைப் போல டொசிதியஸிற்கு கூறும் வகையில் எழுதப்பட்டுள்ளது. இதில் ஆர்கிமிடிசின் சுருள் விவரிக்கப்படுகிறது. இச்சுருளானது ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்து சீரான வேகத்தில் வெளியே செல்லும் புள்ளியின் வரை பாதையாகும் . அப்புள்ளியானது ஒரு சீரான கோண திசைவேகத்தில் சுழலும் ஒரு வரியின் மீது இச்செயலைச் செய்யும். 'போலார் கோவார்டினேட்ஸ்' மூலம் இதை கீழ்வருமாறு விவரிக்கலாம்.`

\, r=a+b\theta

இது ஒரு இயந்திர வளைவின் (mechanical curve) ஆரம்ப கால உதாரணமாகும்.

உருளைக்குள் அடங்கிய கோளம்
  • "ஆன் தி ஸ்பியர் அண்ட் சிலிண்டர்" (இரண்டு தொகுதிகள்)

டொசிதியஸிற்கு எழுதியது போல உள்ள இக்கட்டுரையில் ஆர்கிமிடிஸ் தானே மிக பெருமைப்படுகிற நிரூபித்தலை எழுதியுள்ளார். ஒரே ஆரமும் உயரமும் கொண்ட உருளையினுள் உள்ள கோளத்தின் பரப்பளவும் கொள்ளளவும் உருளையின் 2/3 மடங்காகும் என்பதை இதில் நிரூபித்துள்ளார்.

  • "ஆன் கோனாய்ட்ஸ் அண்ட் ஸ்பியராய்ட்ஸ்"

டொசிதியசிற்கு கூறும் வகையில் உள்ள இந்த வேலைப்பாட்டில் 32 ப்ரொபோசிசன்கள் உள்ளன. இதில் கூம்புகள், கோளங்கள் மற்றும் பாரபோலாய்டுகள் ஆகியவையின் பரப்பளவையும் கொள்ளளவையும் ஆர்கிமிடிஸ் கணக்கிடுகிறார்.

  • "ஆன் பிலோடிங் பாடீஸ்" (இரண்டு தொகுதிகள்)

இதன் முதல் பகுதியில் ஆர்கிமிடிஸ், திரவங்களின் சமநிலை விதியை கூறுகிறார். மேலும் தண்ணீர் ஒரு புவி ஈர்ப்பு மையத்தை சுற்றி ஒரு கோள வடிவத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் என்பதை நிரூபித்திருக்கிறார்.

இதன் இரண்டாம் பகுதியில் பாரபோலாய்ட்களின் பாகங்களின் (sections) சமநிலை நிலைகளை (equilibrium points) கணக்கிட்டுள்ளார். இது கப்பல் வடிவத்தை ஒத்திருப்பதைக் காண்க. இவரது பாகங்கள் சிலவற்றின் கீழ் தளம் நீர்க்கடியேயும் அனால் கப்பலின் தரை நீர்க்கு மேலேயும் மிதக்கும் விதமாக இருந்தது. ஆர்கிமிடிஸ் கொள்கை பின்வருமாறு இதில் கூறப்பட்டுள்ளது :

Any body wholly or partially immersed in a fluid experiences an upthrust equal to, but opposite in sense to, the weight of the fluid displaced.

அதாவது ஒரு பொருள் ஒரு திரவத்தினுள் மூழ்கியிருக்கும்போது எந்த அளவு திரவத்தை பெயர்த்துள்ளதோ அதன் எடைக்கு சமமாக ஒரு மிதப்பு விசையை எதிர்கொள்ளும்.

  • "தி குவாட்ரேசர் ஆப் பாரபோலா"

இதில் 24 ப்ரொபோசிசன்கள் உள்ளன. ஆர்க்கிமிடீஸ் ஒரு பாரபோலா மற்றும் ஒரு நேர்கோட்டிற்கு இடையே உள்ள பரப்பளவு ஒரே அடியையும் உயரத்தையும் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவைவிட 4/3 மடங்காகும் என்பதை இரண்டு முறைகள் மூலம் நிரூபிக்கிறார்.

ஸ்டோமக்கியான்
  • "(ஒ)ஸ்டோமக்கியான்"

இது ஒரு டான்க்ராம் போன்ற திருகு வெட்டுப் புதிராகும்.இதை விவரிக்கும் படிமம் ஆர்க்கிமிடீஸ் பாளிம்ப்செஸ்ட்டில் (பாளிம்ப்செஸ்ட் என்பது ஆங்கிலத்தில் செதுக்கிய எழுத்துக்கள் தாங்கிய ஒரு பொருளை அவ்வெழுத்துக்களை அழித்து மீண்டும் அதே போல் பயன்படுத்திய பொருளை குறிக்கும்) முழுமையாக உள்ளது.இதில் ஆர்கிமிடிஸ் ஒரு சதுரமாக சேர்க்கக்கூடிய 14 துண்டுகளின் பரப்பளவை கணக்கிட்டுள்ளார். 2003 ஆம் ஆண்டில், ஸ்டான்போர்ட் பல்கலைக்கழகத்தின் முனைவர் ரெவியல் நெட்ஸ் வெளியிட்ட ஆய்வு ஆர்க்கிமிடீஸ் இத்துண்டுகளை ஒரு சதுர வடிவத்தில் எத்தனை வித்தியாசமான முறைகளில் சேர்க்கலாம் என்பதை கணக்கிட முயற்சித்தார் என்று கூறுகிறது. முனைவர் நெட்ஸ் துண்டுகளை ஒரு சதுரமாக 17,152 வழிகளில் சேர்க்கலாம் என்று கணக்கிட்டுள்ளார்.[13] சுழற்சி மற்றும் பிரதிபலிப்பு மூலம் ஒரே தோற்றத்தை கொடுக்கும் விதங்களை நீக்கிவிடின் எண்ணிக்கை 536 என குறைகிறது.[14] இப்புதிர் சேர்வியலில் ஒரு பழமையான கணக்காக திகழ்கிறது.` இப்புதிர் ஆர்கிமிடிசின் லோகுலஸ் என்றும் ஆர்கிமிடிசின் பெட்டி என்றும் கூட அழைக்கப்படுகிறது.[15]

  • "ஆர்கிமிடிஸின் கால்நடை கணக்கு"

இந்த வேலைப்பாடு 1773 ல் ஜெர்மனியில் உல்பென்புட்டெலில் உள்ள ஹெர்ஸாக் ஆகஸ்ட் நூலகத்தில் 44 வரிகளிலான ஒரு கவிதை கொண்ட கிரேக்க கையெழுத்துப்படியில் `கோட்ஹோல்ட் எப்ரைம் லெஸ்சிங்கால்' கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இது எரடோஸ்தநிஸ் மற்றும் அலெக்சாண்ட்ரியாவின் கணிதவியலாளர்களுக்கு ஒரு கேள்வியாக தொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆர்க்கிமிடீஸ் இரு டையோபாண்டை சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதன் மூலம் சூரியனின் கூட்டத்தில் உள்ள கால்நடைகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடும்படி அவர்களுக்கு ஒரு சவால் விட்டார். இதில் இன்னும் கடினமான கணக்காக சில பதில்களை சதுர எண்ணாக தேவைப்படுகிற வினாவும் இருக்கிறது. 1880 ஆம் ஆண்டில் இந்த கணக்கிற்கு முதன்முதலில் எ.அம்தார் என்பவரால் விடை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.[16] பதில் ஒரு மிக பெரிய எண்ணிக்கை ஆகும் .[17]

  • "தி சாண்ட் ரெக்கானர்"

இந்த ஆய்வு கட்டுரையில், ஆர்கிமிடிஸ் பிரபஞ்சத்தின் உள்ளே பொருந்தக்கூடிய மணல் துகள்களின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுகிறார். இந்த புத்தகம் அரிஸ்டாச்சஸ் ஆஃப் சாமோஸ் கூறிய சூரியமைய கொள்கையை குறிப்பிடுகிறது.அதே போல் பூமியின் அளவு மற்றும் பல்வேறு வான்பொருட்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் பற்றிய சமகால கருத்துக்கள் இங்கே முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. மிரியடின் மடிகளை அடிப்படையாக கொண்ட தான் உருவாக்கிய எண் முறையைப் பயன்படுத்தி பிரபஞ்சத்தை நிரப்ப தேவைப்படும் மணல் துகள்களின் எண்ணிக்கை 8×1063( நவீன குறிமுறையில்) என்று அவர் கூறுகிறார். இந்த வேலைப்பாடுதான் மிஞ்சியிருக்கும் ஆர்கிமிடிசின் வேலைப்பாடுகளில் ஆர்கிமிடிசின் வானவியல் அறிவைக் காட்டுகிறது.[18]

  • "தி மெதட் ஆப் மெக்கானிக்கல் தியரம்ஸ்"

இந்த ஆய்வு கட்டுரை 1906 இல் ஆர்க்கிமிடீஸ் பாளிம்ப்செஸ்ட் கண்டுபிடிக்கும் வரை இழந்ததாக கருதப்பட்டது. இந்த வேலைபாட்டில் ஆர்க்கிமிடீஸ் நுண்ணளவுகளை பயன்படுத்துகிறார். மேலும் ஒரு உருவத்தை எண்ணற்ற நுண்ணளவுகளாக உடைத்து எப்படி அதன் பரப்பளவை அல்லது கொள்ளளவை கணக்கிடுவது என்று காண்பிக்கிறார். மேலும் மெதட் ஆப் எக்ஸ்சாசனையும் இதில் பயன்படுத்துகிறார். கால்நடை கணக்கு போலவே , இதுவும் அலெக்சாண்ட்ரியாவின் எரடோஸ்தநிஸிற்கு ஒரு கடிதம் வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது.

ஆர்க்கிமிடீஸ் பாளிம்ப்செஸ்ட்[தொகு]

ஆர்க்கிமிடீஸ் வேலைப்பாடுகள் கொண்ட மிகப் பழமையான ஆவணம் ஆர்க்கிமிடீஸ் பாளிம்ப்செஸ்ட் ஆகும். 1906 இல், டேனிய (danish) பேராசிரியர் ஜோஹான் லுட்விக் ஹெய்பெர்க், கான்ஸ்டான்டினோபிளை பார்வையிடும்போது ஒரு 174 பக்க பிரார்த்தனைகள் கொண்டுள்ள ஆட்டுத்தோலை கண்டார். அது ஒரு பாளிம்ப்செஸ்ட் என்று அவர் கண்டறிந்தார். இந்த பாளிம்ப்செஸ்ட்டில் உள்ள பழைய படைப்புகளை ஆர்க்கிமிடீஸின் முன்னர் அறியப்படாத கட்டுரைகளின் 10 ஆம் நூற்றாண்டு நகல்கள் என்று அறிஞர்கள் அடையாளம் கண்டுள்ளனர்.

ஆர்க்கிமிடீஸ் பாளிம்ப்செஸ்ட்டில் உள்ள கட்டுரைகள் பின்வருமாறு: ஆன் தெ ஈக்விளிபிரியம் ஆப் ப்ளேன்ஸ், ஆன் ஸ்பைரல்ஸ், ஆன் தி மெசர்மென்ட் ஆப் எ சர்கிள், ஆன் தி ஸ்பியர் அண்ட் தி சிலிண்டர், ஆன் பிலோடிங் பாடீஸ், தெ மெதட் ஆப் மெகானிகல் தியரம்ஸ் மற்றும் ஸ்டோமக்கியான்.

மரபுரிமைப் பேறு[தொகு]

ஃபீல்ட்ஸ் மெடல்
  • அவரது நினைவாக ஆர்கிமிடிஸ் (29.7 ° வடக்கு , 4.0 ° மேற்கு) என்ற ஒரு பள்ளம் சந்திரனில் உள்ளது. அத்துடன் ஒரு சந்திர மலைத்தொடர், மாண்டெஸ் ஆர்கிமிடிஸ் (25.3 ° வடக்கு, 4.6 ° மேற்கு) என்பதும் உள்ளது.
  • உடுக்கோள் (asteroid) 3600 ஆர்க்கிமிடீஸ் அவர் நினைவாக பெயரிடப்பட்டுள்ளது.
  • கணிதத்தில் மிக சிறந்த சாதனைக்காக வழங்கப்படும் ஃபீல்ட்ஸ் மெடல் அவரது ஓவியத்தைக் கொண்டுள்ளது. மேலும் அவரது பிடித்தமான 'கோளம் மற்றும் உருளை' நிரூபித்தலை விளக்கும் ஒரு செதுக்கலையும் கொண்டது.
  • ஆர்க்கிமிடீஸ் கிழக்கு ஜெர்மனி (1973), கிரீஸ் (1983), இத்தாலி (1983), நிகரகுவா (1971), சான் மரீனோ (1982), மற்றும் ஸ்பெயின் (1963) நாடுகள் வெளியிட்ட அஞ்சல் தலைகளில் தோன்றியுள்ளார்.
  • யுரேகா! என்பது கலிபோர்னியா மாநிலத்தின் குறிக்கோள்-அதாவது தாரகமந்திரமாக உள்ளது.
  • அமெரிக்க மாநிலம் ஒரேகானில் அனைவரும் மருத்துவ வசதியை அனுகமுடியவேண்டும் என்பதை நோக்கமாக கொண்ட இயக்கத்திற்கு 'ஆர்கிமிடிஸ் இயக்கம்' என்று பெயர் உள்ளது.. இது முன்னாள் ஒரேகான் ஆளுநர் ஜான் கிட்சாபரால் தலைமை தாங்கப்படுகிறது.

இவையையும் பார்க்க[தொகு]

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. "Archimedes (c.287 - c.212 BC)". BBC History. பார்த்த நாள் 2012-06-07.
  2. Calinger, Ronald (1999). A Contextual History of Mathematics. Prentice-Hall. p. 150. ISBN 0-02-318285-7. "Shortly after Euclid, compiler of the definitive textbook, came Archimedes of Syracuse (ca. 287 212 BC), the most original and profound mathematician of antiquity." 
  3. "Archimedes of Syracuse". The MacTutor History of Mathematics archive (January 1999). பார்த்த நாள் 2008-06-09.
  4. Heath, T. L., Works of Archimedes, 1897
  5. O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.. "Archimedes of Syracuse". University of St Andrews. மூல முகவரியிலிருந்து 6 February 2007 அன்று பரணிடப்பட்டது. பார்த்த நாள் 2007-01-02.
  6. Rorres, Chris. "Death of Archimedes: Sources". Courant Institute of Mathematical Sciences. மூல முகவரியிலிருந்து 10 December 2006 அன்று பரணிடப்பட்டது. பார்த்த நாள் 2007-01-02.
  7. Rorres, Chris. "The Golden Crown". Drexel University. மூல முகவரியிலிருந்து 11 March 2009 அன்று பரணிடப்பட்டது. பார்த்த நாள் 2009-03-24.
  8. Carroll, Bradley W. "Archimedes' Principle". Weber State University. மூல முகவரியிலிருந்து 8 August 2007 அன்று பரணிடப்பட்டது. பார்த்த நாள் 2007-07-23.
  9. Rorres, Chris. "The Golden Crown: Galileo's Balance". Drexel University. மூல முகவரியிலிருந்து 24 February 2009 அன்று பரணிடப்பட்டது. பார்த்த நாள் 2009-03-24.
  10. Cicero. "De re publica 1.xiv §21". thelatinlibrary.com. பார்த்த நாள் 2007-07-23.
  11. Cicero. "De re publica Complete e-text in English from Gutenberg.org". Project Gutenberg. மூல முகவரியிலிருந்து 29 September 2007 அன்று பரணிடப்பட்டது. பார்த்த நாள் 2007-09-18.
  12. Heath, T.L.. "The Works of Archimedes (1897). The unabridged work in PDF form (19 MB)". Archive.org. மூல முகவரியிலிருந்து 6 October 2007 அன்று பரணிடப்பட்டது. பார்த்த நாள் 2007-10-14.
  13. Kolata, Gina (December 14, 2003). "In Archimedes' Puzzle, a New Eureka Moment". த நியூயார்க் டைம்ஸ். http://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D00E6DD133CF937A25751C1A9659C8B63&sec=&spon=&pagewanted=all. பார்த்த நாள்: 2007-07-23. 
  14. Ed Pegg Jr. (November 17, 2003). "The Loculus of Archimedes, Solved". Mathematical Association of America. மூல முகவரியிலிருந்து 19 May 2008 அன்று பரணிடப்பட்டது. பார்த்த நாள் 2008-05-18.
  15. "Graeco Roman Puzzles". Gianni A. Sarcone and Marie J. Waeber. மூல முகவரியிலிருந்து 14 May 2008 அன்று பரணிடப்பட்டது. பார்த்த நாள் 2008-05-09.
  16. Krumbiegel, B. and Amthor, A. Das Problema Bovinum des Archimedes, Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift Für Mathematik und Physik 25 (1880) pp. 121–136, 153–171.
  17. Calkins, Keith G. "Archimedes' Problema Bovinum". Andrews University. மூல முகவரியிலிருந்து 2007-10-12 அன்று பரணிடப்பட்டது. பார்த்த நாள் 2007-09-14.
  18. "English translation of The Sand Reckoner". University of Waterloo. மூல முகவரியிலிருந்து 11 August 2007 அன்று பரணிடப்பட்டது. பார்த்த நாள் 2007-07-23.

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=ஆர்க்கிமிடீஸ்&oldid=1667916" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது