மெனலாசின் தேற்றம்

மெனலாசின் தேற்றம் (Menelaus's theorem) என்பது யூக்ளீடிய வடிவவியலில் முக்கோணங்கள் பற்றியதொரு கூற்றாகும். இத்தேற்றம், பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாரும் வானவியலாளருமான மெனலாசின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.

ABC முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் BC, AC, AB மூன்றையும் ஒரு குறுக்கு வெட்டிக்கோடானது முறையே D, E, F (A, B, C புள்ளிகளிலிருந்து வேறுபட்டவை) புள்ளிகளில் சந்தித்தால் இத்தேற்றத்தின் மெலிவுக் கூற்று:

{\frac {|AF|}{|FB|}}\times {\frac {|BD|}{|DC|}}\times {\frac {|CE|}{|EA|}}=1,

இக்கூற்றில் |AB| என்பது AB கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தை மட்டும் குறிக்கின்ற நேர்ம மதிப்பு.

கோட்டுத்துண்டுகளின் திசையிடப்பட்ட நீளங்களைப் பயன்படுத்தி, இத்தேற்றத்தின் கூற்றை வலுப்படுத்தலாம். கோட்டின் ஒரு நிலையான திசைப்போக்கில், A இன் அமைவு B க்கு இடமாக அல்லது வலமாக இருப்பதைப் பொறுத்து AB இன் மதிப்பு நேர்மம் அல்லது எதிர்ம்மாகக் கொல்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, A , B இரண்டிற்கும் இடையே F இருந்தால் AF/FB இன் மதிப்பு நேர்மமாகவும் அவ்வாறில்லாவிட்டால் எதிர்மமாகவும் கொள்ளப்படுகிறது.

இத்தேற்றம், சேவாவின் தேற்றத்தைப் போல உள்ளது. இரண்டு தேற்றங்களிலுமுள்ள சமன்பாடுகள் இரண்டும் குறியளவில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. இரு தேற்றங்களும் ஒன்றுக்கொன்று வீழ்ப்பு இருமமாக அமைகின்றன.^[1]

மெனலாசின் தேற்றத்தின் திசையிடப்பட்ட வடிவம்:

{\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1.

AF\times BD\times CE=-FB\times DC\times EA.

^[2]

காரணிகளை மாற்றுவகையில் எடுத்துக்கொண்டு சிலர் தேற்றத்தினைப் பின்வருமாறு கொள்கின்றனர்^[3]:

{\frac {FA}{FB}}\times {\frac {DB}{DC}}\times {\frac {EC}{EA}}=1,

முதலில் கண்ட முறைப்படி இதிலுள்ள ஒவ்வொரு காரணியும் எதிர்மமாக இருந்தாலும் தேற்றத்தின் கூற்றின் மதிப்பில் மாற்றம் இருக்காது.

மெனலாசின் தேற்றத்தின் வலிவுக் கூற்றுக்கு மறுதலையும் உண்மையாக இருக்கும்:

{\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1,

என்ற முடிவை நிறைவுசெய்யும் வகையில் BC, AC, AB ஆகிய மூன்றின் மீது முறையே அமையும் புள்ளிகள் D, E, F எனில் D, E, F மூன்றும் ஒருகோடமை புள்ளிகளாக இருக்கும். (தேற்றத்தின் மெலிவுக் கூற்றின் மறுதலை உண்மையாக இருக்கத் தேவையில்லை)

இத்தேற்றம் உண்மையில் யாரால் கண்டறியப்பட்டது என்பது உறுதிப்படுத்தப்படவில்லை. இதன் பயன்பாடு மெனலாசின் நூலில் (Spherics) காணப்பட்டது. அந்நூலில் அவர் இதேற்றத்தின் கோளத்துக்கான கூற்றை நிறுவுவதற்கு இதனைத் துணைக்கோட்பாடாகப் பயன்படுத்தியிருக்கிறார்.^[4]

தொலெமி தனது ஆல்மகெசுட் நூலில் கோள வானியலின் பல கணக்குகளில் மெனலாசின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியுள்ளார்.^[5] இசுலாமியப் பொற்காலத்தில் பல இசுலாமிய அறிஞர்கள் அவர்களது ஆய்வுகளில் மெலாசின் தேற்றத்தை "வெட்டுக்கோடுகளின் கூற்று" எனக் குறிப்பிட்டுள்ளனர். முழு நாற்கோணத்தை அவர்கள் "வெட்டுக்கோடுகளாலான வடிவம்" என்றே குறிப்பிடுகின்றனர்.^[5]

மேற்கோள்கள்

↑ Benitez, Julio (2007). "A Unified Proof of Ceva and Menelaus' Theorems Using Projective Geometry". Journal for Geometry and Graphics 11 (1): 39-44. https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg11/j11h1beni.pdf.
↑ Russell, p. 6.
↑ Johnson, Roger A. (2007) [1927], Advanced Euclidean Geometry, Dover, p. 147, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-486-46237-0
↑ Smith, D.E. (1958). History of Mathematics. Vol. II. Courier Dover Publications. p. 607. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-20430-8.
↑ ^5.0 ^5.1 Rashed, Roshdi (1996). Encyclopedia of the history of Arabic science. Vol. 2. London: Routledge. p. 483. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-415-02063-8.

Russell, John Wellesley (1905). "Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem"". Pure Geometry. Clarendon Press.

வெளியிணைப்புகள்

Alternate proof of Menelaus's theorem, from PlanetMath
Menelaus From Ceva
Ceva and Menelaus Meet on the Roads
Menelaus and Ceva at MathPages
Demo of Menelaus's theorem by Jay Warendorff. The Wolfram Demonstrations Project.
Weisstein, Eric W., "Menelaus' Theorem", MathWorld.

[1] Benitez, Julio (2007). "A Unified Proof of Ceva and Menelaus' Theorems Using Projective Geometry". Journal for Geometry and Graphics 11 (1): 39-44. https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg11/j11h1beni.pdf.

[2] Russell, p. 6.

[3] Johnson, Roger A. (2007) [1927], Advanced Euclidean Geometry, Dover, p. 147, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-486-46237-0

[4] Smith, D.E. (1958). History of Mathematics. Vol. II. Courier Dover Publications. p. 607. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-20430-8.

[rashed-5] 5.0 ^5.1 Rashed, Roshdi (1996). Encyclopedia of the history of Arabic science. Vol. 2. London: Routledge. p. 483. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-415-02063-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]