சுற்றுக்கூம்புவெட்டு

முக்கோண வடிவவியலில் சுற்றுக்கூம்புவெட்டு (circumconic) என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளின் வழியாகச் செல்லும் கூம்பு வெட்டு ஆகும். அதேபோல உட்கூம்புவெட்டு (inconic) என்பது முக்கோணத்தின் உட்புறமாக வரையப்பட்ட கூம்புவெட்டு ஆகும்.

• A, B, C ஒரே கோட்டிலமையாத மூன்று வேறுபட்ட புள்ளிகள்.
• ΔABC முக்கோணத்தின் உச்சிகள் A, B, C.
• A முக்கோணத்தின் உச்சி மட்டுமல்லாது A இல் அமையும் முக்கோணத்தின் உச்சிக்கோணம் BAC ஐயும் குறிக்கும். இதேபோல B , C இரண்டும் முறையே முக்கோணத்தின் உச்சிக்கோணங்கள் ABC BCA ஐக் குறிக்கின்றன.
• a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, ΔABC முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்கள்.

முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகளில், ஒரு பொதுச் சுற்றுக்கூம்புவெட்டானது X = x : y : z என்ற முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள் கொண்ட புள்ளி X இன் இயங்குவரையாகும்.

மேலும் அக்கூம்புவெட்டு கீழ்வரும் சமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும்:

$uyz+vzx+wxy=0$ (u : v : w ஏதேனுமொரு புள்ளி)

சுற்றுக்கூம்புவெட்டின் மீதமையும் A, B, C தவிர பிற புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றின் சமகோண இணையியங்களும் கீழ்க்காணும் கோட்டின் மீதமையும்.

$ux+vy+wz$ = 0.

இக்கோடானது ΔABC இன் சுற்றுவட்டத்தை வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை

• சுற்றுக்கூம்புவெட்டு நீள்வட்டமாக இருக்கும்பொழுது 0 ஆகவும்;
• சுற்றுக்கூம்புவெட்டு பரவளையமாக இருக்கும்பொழுது 1 ஆகவும்;
• சுற்றுக்கூம்புவெட்டு அதிபரவளையமாக இருக்கும்பொழுது 2 ஆகவும் இருக்கும்.

ΔABC இன் பொது உட்கூம்புவெட்டின் சமன்பாடு:

$u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0$.

மையங்களும் தொடுகோடுகளும்

சுற்றுக்கூம்புவெட்டு

பொதுச் சுற்றுக்கூம்புவெட்டின் மையப்புள்ளி:

$u(-au+bv+cw):v(au-bv+cw):w(au+bv-cw)$.

சுற்றுக்கூம்புவெட்டுக்கு முக்கோணத்தின் உச்சிகள் A, B, C இல் தொடுகோடாக அமையும் கோடுகள்:

$wv+vz$ = 0,

$uz+wx$ = 0,

$vx+uy$ = 0.

உட்கூம்புவெட்டு

பொது உட்கூம்புவெட்டின் மையப்புள்ளி:

$cy+bz:az+cx:bx+ay$.

ΔABC இன் பக்கக்கோடுகள் உட்கூம்புவெட்டின் தொடுகோடுகளாக அமையும். அவற்றின் சமன்பாடுகள்:

$x=0,y=0,z=0$.

பிற பண்புகள்

சுற்றுக்கூம்புவெட்டு

• வட்டமல்லாத ஒவ்வொரு சுற்றுக்கூம்புவெட்டும் ΔABC இன் சுற்றுவட்டத்தை A, B, C அல்லாத வேறொரு புள்ளியில் சந்திக்கும். ”நான்காம் வெட்டும் புள்ளி” என அழைக்கப்படும் இப்புள்ளியின் முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள்:

$(cx-az)(ay-bx):(ay-bx)(bz-cy):(bz-cy)(cx-az)$

• பொது சுற்றுக்கூம்புவெட்டின் மீதமைந்த புள்ளி P = p : q : r எனில், P இல் சுற்றுக்கூம்புவெட்டிற்குத் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு:

$(vr+wq)x+(wp+ur)y+(uq+vp)z=0.$

• $u^{2}a^{2}+v^{2}b^{2}+w^{2}c^{2}-2vwbc-2wuca-2uvab=0$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது சுற்றுக்கூம்புவெட்டு ஒரு பரவளையமாகும்.
• $ucosA+vcosB+wcosC=0$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது சுற்றுக்கூம்புவெட்டு ஒரு செவ்வக அதிபரவளையமாகும்.

உட்கூம்புவெட்டு

• $ubc+vca+wab=0$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது உட்கூம்புவெட்டு ஒரு பரவளையமாகும். இது முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தினைத் தொட்டவாறும் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீட்சியைத் தொட்டவாறும் அமையும்.
• $p_{1}:q_{1}:r_{1}$, $p_{2}:q_{2}:r_{2}$ இரண்டும் வேறுபட்ட புள்ளிகள்;

$X=(p_{1}+p_{2}t):(q_{1}+q_{2}t):(r_{1}+r_{2}t)$எனில்:

t இன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கு X இன் இயங்குவரை ஒரு கோடாகும்.

• $X^{2}=(p_{1}+p_{2}t)^{2}:(q_{1}+q_{2}t)^{2}:(r_{1}+r_{2}t)^{2}$ என வரையறுக்கப்பட்டால், X² இன் இயங்குவரை ஒரு உட்கூம்புவெட்டாக, ஒரு நீள்வட்டமாக இருக்கும். அந்நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு:

$L^{4}x^{2}+M^{4}y^{2}+N^{4}z^{2}-2M^{2}N^{2}yz-2N^{2}L^{2}zx-2L^{2}M^{2}xy=0.$

இதில்:

L = q₁r₂ − r₁q₂,

M = r₁p₂ − p₁r₂,

N = p₁q₂ − q₁p₂.

• முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளியானது அம்முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தினுள் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்தப் புள்ளி மூலமுக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டத்தின் மையப்புள்ளியாக இருக்க முடியும். நடுப்புள்ளி முக்கோணத்துக்குள் அமையும் புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட உள்நீள்வட்டம் தனித்துவமானது. அதாவது அத்தகைய உள்நீள்வட்டம் ஒன்றேயொன்றுதான் இருக்கும்.
• முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தியை மையமாகக் கொண்ட உள்நீள்வட்டம் ”நடுப்புள்ளி நீள்வட்டம்” என அழைக்கப்படும். ஒரு முக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டங்களிலேயே அதிகவளவு பரப்பளவு கொண்ட இந்த நீள்வட்டம் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் அழைக்கப்படுகிறது.

$(\alpha ,\beta ,\gamma )$ உள்நீள்வட்ட மையத்தின் ஈர்ப்புமைய ஆயதொலைவுகள் எனில்:

${\frac {\text{Area of inellipse}}{\text{Area of triangle}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},$

• உள்நீள்வட்டமானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகளையும் அந்தந்த புள்ளிகளுக்கான முக்கோணத்தின் எதிர் உச்சிகளையும் இணைக்கும் கோடுகள் ஒருபுள்ளியில் சந்திக்கின்றன.

நாற்கரங்களில்

ஒரு நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் மீது அந்நாற்கரத்தின் உள்நீள்வட்டங்களின் மையங்கள் அமைகின்றன.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• சுற்றுக்கூம்புவெட்டுகள்
  • முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளின் வழியே செல்லும் சுற்றுவட்டம்
  • ஸ்டெயினர் சுற்றுநீள்வட்டம்-முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள் மற்றும் நடுக்கோட்டுச்சந்தி வழியாகச் செல்லும் தனித்த சுற்றுநீள்வட்டம்
  • கீபெர்ட் அதிபரவளையம்-முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள் மற்றும் நடுக்கோட்டுச்சந்தி, செங்கோட்டுச்சந்தி வழியாகச் செல்லும் தனித்த சுற்றுஅதிபரவளையம்
  • ஜெராபெக் அதிபரவளையம் -முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மேல் மையப்புள்ளி கொண்டதும், முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள், செங்கோட்டுச்சந்தி மற்றும் சில குறிப்பிடத்தக்க மையங்களின் வழியாகச் செல்வதுமான செவ்வக அதிபரவளையம்.
  • ஃப்யூயர்பக் அதிபரவளையம்-முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மேல் மையப்புள்ளி கொண்டதும், முக்கோணத்தின் செங்கோட்டுச்சந்தி, நாகெல் புள்ளி, மற்றும் பிற குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிகள் வழியாகச் செல்வதுமான செவ்வக அதிபரவளையம்.
• உட்கூம்புவெட்டுகள்
  • முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களையும் உட்புறமாகத் தொடுகின்ற உள்வட்டம்
  • ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம்-முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களையும் அவற்றின் நடுப்புள்ளிகளில் தொடுகின்ற தனித்த நீள்வட்டம்.
  • மாண்டார்ட் நீள்வட்டம், முக்கோணத்தின் வெளிவட்டங்கள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும் புள்ளிகளில் அப்பக்கங்களைத் தொடுகின்ற தனித்த நீள்வட்டம்.
  • கீபெர்ட் பரவளையம்

வெளியிணைப்புகள்

• Circumconic at MathWorld
• Inconic at MathWorld