மீத்தொடர் பெருக்கம்

மீத்தொடர் பெருக்கம் (Superfactorial) கணிதத்தில், குறிப்பாக எண் கோட்பாட்டில், மிகை முழு எண் $n$இன் மீத்தொடர் பெருக்கம் $n$ என்பது 1 முதல் $n$வரையிலான தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கற்பலனாகும்.

குறிப்பிலா பல தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கற்பலனான ஜோர்டன்-போல்யா எண்களின் சிறப்புவகையாக மீத்தொடர்பெருக்கம் அமைகிறது.

வரையறை

$n$ ஆவது மீத்தொடர் பெருக்கம் ${\mathit {sf}}(n)$ ஆனது, கீழ்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$${\begin{aligned}{\mathit {sf}}(n)&=1!\cdot 2!\cdot \cdots n!=\prod _{i=1}^{n}i!=n!\cdot {\mathit {sf}}(n-1)\\&=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot \cdots n=\prod _{i=1}^{n}i^{n+1-i}.\\\end{aligned}}$$

வெற்று பெருக்கத்தின் வழக்கமான மரபைப் பின்பற்றி, 0 இன் மீத்தொடர் பெருக்கம் 1 ஆகும்.

${\mathit {sf}}(0)=1$ ஆகும்.

இதிலிருந்து மீத்தொடர் பெருக்க வரிசை தொடங்குகிறது:

எ.கா: 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, .....

பண்புகள்

காமா சார்புகள் மூலம் தொடர்பெருக்கங்களைத் தொடர்ச்சியாக இடையீட்டுக்கணிப்பது போல, மீத்தொடர் பெருக்கத்தையும் பார்ன்ஸ் ஜி-சார்பின் மூலம் தொடர்ச்சியாக இடையீட்டுக்கணிக்க முடியும்.

பகா எண்களின் மட்டைப் பொறுத்த தொடர்பெருக்கங்களின் செயற்பாட்டை விளக்கும் வில்சனின் தேற்றத்திற்கு ஒத்த கூற்றாக கீழுள்ள முடிவைக் கொள்ளலாம்:

$p$ ஒரு ஒற்றைப் பகா எண் எனில்,

$${\mathit {sf}}(p-1)\equiv (p-1)!!{\pmod {p}},$$

($!!$ என்பது இரட்டைத் தொடர்பெருக்கத்துக்கான குறியீடாகும்.)

ஒவ்வொரு முழு எண்$k$க்கும், எண் ${\mathit {sf}}(4k)/(2k)!$ என்பது ஒரு வர்க்க எண் ஆகும்.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Superfactorial", MathWorld.