தன்விருப்பு எண்கள்

கணிதத்தில் விளையாட்டு அல்லது களிப்பிற்கான கணித வகையில் (களிக்கணித வகையில்), எண் கணிதத்துறையில் தன்விருப்பு எண்கள் (narcissistic number) என்றும், ஆம்சிட்ராங்கு எண்கள் (Armstrong numbers) என்றும் வேறுபல பெயர்களாலும்; கூறப்படும் எண்கள் கீழ்க்காணும் பண்பு பெற்றிருக்க வேண்டும்:

• ஓர் எண், n இலக்கம் (இடம்) கொண்ட எண் என்று கொண்டால், அதன்படி அதில் ஒவ்வொரு இடத்திலும் (இலக்கத்திலும்) உள்ள எண்ணை n மடியாக உயர்த்தி, அவ்வெண்களைக் கூட்டினால் தொடங்கிய எண்ணே கிடைத்தால் அது தன்விருப்பு எண்.

ஓர் எடுத்துக்காட்டால் விளக்கினால் புரிந்துகொள்வது எளிதாகும். பத்தின் அடிப்படையிலான ஓர் எண்ணை (பதின்ம எண்ணை, அல்லது பத்தடிமான எண்ணை) எடுத்துக்கொள்வோம்: எடுத்துக்காட்டாக 153. இது மூன்று இலக்க எண். எனவே அதில் உள்ள ஒவ்வொரு இலக்கத்தையும் மூன்றின் மடியாக்கிக் கூட்ட வேண்டும். அதாவது 153 = 1³ + 5³ + 3³. எனவே 153 என்பது ஒரு தன்விருப்பு எண் அல்லது ஆம்சிட்ராங்கு எண். இப்படி பதின்ம எண் அமைப்பு முறையில் மூன்று இலக்க எண்கள் மொத்தம் நான்கே நான்கு எண்கள்தாம் தன்விருப்பு எண்களாக உள்ளன: 153, 370, 371, 407. எந்த இரண்டு இலக்க எண்ணும் இப்பண்பு கொண்டிருக்கவில்லை.

தன்விருப்பு அல்லது ஆம்சிட்ராங்கு எண்களை, எண் அமைப்பு முறையில் பதின்ம முறையையும் தாண்டி, பொது அடிமான எண் அமைப்பு முறையில் வரையறை செய்தல் கூடும். பதின்ம முறையில் (பத்தடிமான முறையில்), b = 10 என்பது அடி எண் என்றால், பொதுமையான முறையில் ஓர் இயல் எண் n ஐ

n = d_kb^k-1 + d_k-1b^k-2 + ... + d₂b + d₁,

என்று குறிக்கலாம்; இதில் அடி-b இடங்கள் (இலக்கங்கள்), d_i என்பது 0 ≤ d_i ≤ b-1. என்னும் வரையறைக்கு உட்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக பதின்ம முறையில் 17 (பதினேழு) என்பது பதின்ம முறையில் தன்விருப்பு எண் அன்று (இல்லை), ஏனெனில்  1² + 7²  = 50 ஆகும். ஆனால் இதே 17 என்னும் பத்தடிமான எண்ணை, மூன்று அடிமான எண்ணாக மாற்றி எழுதினால் 122 என்று எழுத வேண்டும் (17₁₀  = 122₃ = 1x3² + 2x3¹ + 2x3⁰). இப்பொழுது இந்த மூன்றடிமான எண்ணில், மூன்று இடங்கள் (இலக்கங்கள்) இருப்பதால், ஒவ்வொரு எண்ணையும் 3-ஆம் மடிக்கு உயர்த்த வேண்டும் ஆகவே 17 = 1³ + 2³ + 2³. ஆகவே 17 என்னும் பதின்ம எண் மூன்றடிமான எண் முறையில் தன்விருப்பு எண் அல்லது ஆம்சிட்ராங்கு எண் ஆகும். பதின்ம முறையில் எந்த இரண்டு இலக்க எண்ணும் தன்விருப்பு எண்கள் அல்லது ஆம்சிட்ராங்கு எண் அன்று!

ஓர் எண் எத்தனை இலக்க எண்ணோ, அதே எண் மடியாகத்தான் உயர்த்த வேண்டும் என்னும் கட்டுப்பட்டைத் தளர்த்தினால், அதாவது "m" என்பது இலக்க என்ணிக்கையாகிய "k" என்பதில் இருந்து மாறுபட்டதாகக் கொள்ளக்கூடும் எனில்

n = d_k^m + d_k-1^m + ... + d₂^m + d₁^m,

அந்த n என்னும் எண்ணை செம்பொருத்த இடவெண் மாறிலி ( perfect digital invariant அல்லது PDI) என்பர். எடுத்துக்காட்டாக, பதின்ம அல்லது பத்தடிமான எண் 4150 என்பது நான்கு இடவெண்கள் (இலக்கங்கள்) கொண்டுளது, ஆனால் இந்த இடவெண்கள் ஒவ்வொன்றின் ஐந்தாம் மடியையும் கூட்டினால் அதே 4150 கிட்டுகின்றது:

4150 = 4⁵ + 1⁵ + 5⁵ + 0⁵,

எனவே இது ஒரு செம்பொருத்த இடவெண் மாறிலி (செ.இ.மா), ஆனால் தன்விருப்பு எண் அல்லது ஆம்சிட்ராங்கு எண் அன்று (இல்லை).

கணித அறிஞர் சி.எச். ஃகார்டி (G.H. Hardy, தன் "A Mathematician's Apology" என்னும் நூலில் இப்படி எழுதினார்:

There are just four numbers, after unity, which are the sums of the cubes of their digits:

(வெறும் நான்கு எண்கள் மட்டுமே, ஒன்று என்பதைத் தவிர, அவற்றில் இலக்கங்களின் மூன்றாம் மடிகளைக் கூட்டினால் அதே எண்கள் கிட்டும் எண்கள்)

$153=1^{3}+5^{3}+3^{3}$

$370=3^{3}+7^{3}+0^{3}$

$371=3^{3}+7^{3}+1^{3}$

$407=4^{3}+0^{3}+7^{3}$.

These are odd facts, very suitable for puzzle columns and likely to amuse amateurs, but there is nothing in them which appeals to the mathematician.

(இவை தனித்து நிற்கும் உண்மைகள், புதிர்க்கணக்குகளுப் பத்திகளுக்கு பயன்படும், ஆர்வலர்களுக்கு களிப்பூட்டும், ஆனால் கணித அறிஞருக்கு அதில் ஈர்ப்புதருவன ஏதும் இல்லை)

தன்விருப்பு எண்கள் பிறவேறு எண் அடிமானங்களில்

பதின்ம அல்லது பத்தடிமான எண்களில் தன்விருப்பு எண்களாக இருப்பவற்றின் வரிசையின் தொடக்கம்: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474 ... (OEIS-இல் வரிசை A005188)

மூன்று அடிமானம் ( "base 3") தன்விருப்பு எண்கள் வரிசையின் தொடக்கம்: 0, 1, 2, 12, 122

நான்கு அடிமான எண்களின் தன்விருப்பு எண்கள் வரிசயின் தொடக்கம்: 0, 1, 2, 3, 313

ஒரு குறிப்பிட்ட அடியெண் அல்லது அடிமான எண்ணில் இருக்கும் தன்விருப்பு எண்களின் எண்ணிக்கை ஓர் அளவுக்குட்பட்டதே, ஏனெனில் "b" அடிமான எண்ணில் உள்ள "k" இடவெண் (இலக்க) எண்களின் "k" -ஆவது மடிகளின் உச்ச வரம்பான கூட்டல்

$k(b-1)^{k}\,,$

என்னும் வரைக்குள் அடங்கும், இதில் "k" என்பது போதுமான அளவு பெரிய எண்ணாக இருந்தால்

$k(b-1)^{k}<b^{k-1}\,,$

எனவே எந்த b அடிமான தன்விருப்பு எண்ணும் k அளவவோ அதனைவிடக் கூடுதலான எண்ணிக்கையிலோ இலக்கங்கள் கொண்டிருக்க முடியாது. "b" யை 10 உக்கு ஈடாகக் கொண்டால், யாவற்றினும் மிகப்பெரிய பதின்ம தன்விருப்பு எண் 10⁶⁰. என்பதினும் சிறியதாக இருத்தல் வேண்டும்.

பதின்ம எண்களை எடுத்துக்கொண்டால், மொத்தம் 88 தன்விருப்பு எண்கள் மட்டுமே உள்ளன, அவற்றுள் யாவற்றினும் மிகப்பெரிய தன்விருப்ப எண் 39 இலக்கம் (இடவெண்) கொண்ட மிகப்பெரிய எண்:

115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

தனிவிருப்ப எண்களுக்கு உயர் எண்ணிக்கை எல்லை இருப்பது போல செம்பொருத்த இடவெண் மாறிலி எண்களுக்கு, ஒரு குறிப்பிட்ட அடிமானத்தின் உள்ள எண்களில், அறியப்பட்ட எல்லைகள் ஏதும் உள்ளதா இல்லையா என்று தெரியவில்லை

தொடர்புடைய கருத்துகள்

தன்விருப்பு (அல்லது தன்விரும்பி) எண்கள் என்பதன் பொருளைச் சற்று விரிவுபடுத்தி, ஓர் எண்ணில் உள்ள இலக்கங்களை ஏதேனும் கணித செய்முறைகளால் மாற்றி அதே எண்ணைப் திரும்பப்பெற்றால் அபப்டியான எண்களும் ஒரு வகையான தன்விருப்பு அல்லது தன்விரும்பி எண்கள் என்று கொள்ளலாம். இந்த விரிவாகப் பொருளின் படி கிடைக்கும் சில எண்கள்:

• மாறா அடிமான எண்கள் (Constant base numbers) : $n=m^{d_{k}}+m^{d_{k-1}}+\dots +m^{d_{2}}+m^{d_{1}}$ for some m.
• இலக்கத்துக்கு இலக்கம் மாறா செம்பொருத்த எண்கள் (Perfect digit-to-digit invariants) (OEIS-இல் வரிசை A046253)

: $n=d_{k}^{d_{k}}+d_{k-1}^{d_{k-1}}+\dots +d_{2}^{d_{2}}+d_{1}^{d_{1}}\,,{\text{ e.g. }}3435=3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}\,.$

• ஏறுவரிசை மடிகள் எண்கள்(Ascending power numbers)(OEIS-இல் வரிசை A032799)

: $n=d_{k}^{1}+d_{k-1}^{2}+\dots +d_{2}^{k-1}+d_{1}^{k}\,,{\text{ e.g. }}135=1^{1}+3^{2}+5^{3}\,.$

• பிரீடுமன் எண்கள் (Friedman numbers) (OEIS-இல் வரிசை A036057)

.

• கூட்டல்-பெருக்கல் எண்கள் (Sum-product numbers) (OEIS-இல் வரிசை A038369)

: $n=\left(\sum _{i=1}^{k}{d_{i}}\right)\left(\prod _{i=1}^{k}{d_{i}}\right)\,,{\text{ e.g. }}144=(1+4+4)\times (1\times 4\times 4)\,.$

• டியூடினி எண்கள் (Dudeney numbers) (OEIS-இல் வரிசை A061209)

:$n=\left(\sum _{i=1}^{k}{d_{i}}\right)^{3}\,,{\text{ e.g. }}512=(5+1+2)^{3}\,.$

• தொடர்பெருக்கியான் எண்கள் (Factorions) (OEIS-இல் வரிசை A014080)

:$n=\sum _{i=1}^{k}{d_{i}}!\,,{\text{ e.g. }}145=1!+4!+5!\,.$

இவற்றில் d_i என்பது ஏதோ ஓர் அடிமானத்தில் n இன் இலக்க எண்.

வெளியிணைப்புகள்

• பத்ரி சேசாத்திரியின் கணித வலைப்பதிவு செப்டம்பர் 10, 11, 2011 பதிவுகள்; செப்டம்பர் 11, 2011 பதிவில் இமயவல்லி என்னும் 8 ஆம் வகுப்பு மாணவி. எப்படி 3 இலக்க ஆம்சிட்ராங்கு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்கலாம் என்று சூனியர் மேத்தமெட்டீசியன் என்னும் இதழில் விளக்கியுள்ளதைப் பற்றி பத்ரி சேசாத்திரி குறிப்பிட்டு எழுதியுள்ளார்.
• Digital Invariants
• Armstrong Numbers பரணிடப்பட்டது 2017-12-28 at the வந்தவழி இயந்திரம்
• Armstrong numbers between 1-999 calculator