இயற்கணித வடிவவியல்

இயற்கணித வடிவவியல் (Algebraic Geometry) தற்காலக்கணித உலகில் ஒரு சிறந்த இடத்தை வகிக்கிறது. இது வடிவியலிலுள்ள எண்ணக் கருத்துக்களையும் இயற்கணித வழிமுறைகளையும், குறிப்பாக இருபதாம் நூற்றாண்டின் கணித மறுமலர்ச்சியில் மலர்ந்த ஒரு பிரிவான பரிமாற்று இயற்கணிதத்தின் எண்ணக் கருத்துக்களையும் வழிமுறைகளையும் ஒன்றுபடுத்தி ஒரு தனிப்பட்ட பாதையை வகுத்துக்கொண்டது. பல மாறிலிகள் கொண்ட பல்லுறுப்புச் சமன்பாடுகளை விடுவிப்பதோடு முடிந்துவிடுகிறது இயற்கணிதத்தின் வேலை. ஆனால் அங்குதான் தொடங்குகிறது இயற்கணித வடிவவியல். இங்கு பேசப்படும் பொருள்கள் இயற்கணித வெரைட்டிகள் என்று கூறப்படுகின்றன. இவை பல்லுறுப்புச் சமன்பாடுகளால் ஒரு விதமாக வரையறுக்கப்பட்ட கணங்கள். இடவியல், சிக்கலெண் பகுவியல், எண் கோட்பாடு இம்மூன்றுடனும் கருத்தளவில் ஆழமான இணைப்புகள் கொண்ட துறை இயற்கணித வடிவவியல். இதனில் பற்பல வளைவரைகளின் சார்பு நிலைகளும் பற்பல சமன்பாடுகளினால் வரையறுக்கப்படும் வளைவரைகளுக்குள் உள்ள தொடர்புகளும் அடிப்படைக் கேள்விகளாக அமைகின்றன.

அராபியக் கணிதத்தில் தான் இயற்கணித வடிவவியல் முதன்முதலில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது என்று சொல்வதற்கு இடமுண்டு. ஒமார் காயம்(1048 - 1131) ஒரு வட்டமும் ஒரு பரவளைவும் சந்திக்கும் நிலைகளைப் பயன்படுத்தி முப்படியங்களை எப்படிப் படிய வைக்கலாம் என்பதற்கு ஒரு வழியை முன்மொழிந்தார். முக்கோணவியலையும் சார்புகள் மூலம் தோராயக்கணிப்பையும் பயன்படுத்தி வடிவவியல் முறைகளில் இயற்கணிதச் சமன்பாடுகளை விடுவிப்பது போன்ற ஒரு வழி அவ்வழி.

இயற்கணிதவடிவவியலை நோக்கி எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது படி டெகார்த்தே(1596 - 1650) தொடங்கி வைத்த இயற்கணித வளைவரைகள்.

19வது நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் இத்தாலியக்கணிதவியலர்கள் சில ஆய்வுகளைத்தொடங்கிவைத்தனர். குறிப்பாக பெஜௌ தேற்றம்: $m,n$ தரமுள்ள இரண்டு plane projective இயற்கணித வளைவரைகளுக்கு, மடங்கெண்களையும் கணக்கிட்டால், $mn$ வெட்டுப்புள்ளிகள் இருக்கும் என்று சொல்கிறது. இவையெல்லாம் பிற்கால இயற்கணித வடிவவியலுக்கு விதைகளாயின.

1930க்குப்பிறகு, அமெரிக்க ஐக்கிய நாடுகளில் ஜாரிஸ்கி, மம்ஃப்மொர்ட் ஆகியவர்களும், பிரான்ஸிலிருந்து வைல், சாம்யூல், செவாலி, ஸேர், ஆகியவர்களும் பரிமாற்றுக்களங்களில் இயற்கணித வெரைட்டிகளை ஆய்வு செய்தனர். நுண்புல இயற்கணிதத்திலிருந்து வளையக்கோட்பாட்டை வெகுவாகப் பயன்படுத்தினர்.

ஸேர், கிரோதெண்டிக் ஆகியவர்களுடைய பிரம்மாண்டமான ஆய்வு முடிவுகளால் sheaves, schemes என்ற புதிய கருத்துக்களும் கோட்பாடுகளும் இயற்கணித வடிவவியலுக்கு அடிப்படைக் கரணங்கள் ஆயின. இந்திய வானில் இயற்கணித வடிவவியலை அறிமுகப்படுத்தி சாதனைகள் புரிந்தவர்கள் எம். எஸ், நரசிம்மன், சி. எஸ். சேஷாத்ரி முதலியோர்.