விகிதமுறு சார்பு

கணிதத்தில், விகிதமுறு சார்பு (rational function) என்பது, பகுதியாகவும் தொகுதியாகவும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்ட இயற்கணிதப் பின்னத்தால் வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும். பகுதி, தொகுதியாக அமையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கெழுக்கள் விகிதமுறு எண்களாகத்தான் இருக்க வேண்டும் என்பதில்லை; அவை ஏதாவதுவொரு களத்தின் (K) உறுப்புகளாக இருக்கலாம். எனவே விகிதமுறு சார்பானது ஒரு களம் K இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சார்பாகும். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மாறிகள் அமையும் களமானது (L), K ஐ உள்ளடக்கிய களமாக இருக்க வேண்டும். பகுதிகளாக அமையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பூச்சியமற்றதாக இருக்குமாறுள்ள மாறிகளின் மதிப்புகளைக் கொண்ட கணமானது இச்சார்பின் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களமாகவும், இணையாட்களம் L ஆகவும் அமையும்.

வரையறை

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$ என்ற வடிவில் எழுதக்கூடியதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, $f(x)$ ஒரு விகிதமுறு சார்பாகும்.

இதில் $P\,$, $Q\,$ $x\,$ மாறியில் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்; $Q\,$ பூச்சியமற்ற பல்லுறுப்புக்கோவை; $Q(x)\,$ பூச்சியமற்றதாக இருக்குமாறுள்ள $x\,$ இன் மதிப்புகள் $f\,$ இன் ஆட்களம்.

மாறிலியாக இல்லாத ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையானது $\textstyle P$, $\textstyle Q$ இரண்டின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாக ($\textstyle R$) இருக்குமானால், $\textstyle P$, $\textstyle Q$ இரண்டையும் $\textstyle R$ ஆல் வகுத்து பின்வரும் விகிதமுறு சார்பு $f_{1}(x)$ ஐப் பெறலாம்:

$\textstyle P=P_{1}R,$ $\textstyle Q=Q_{1}R$

$f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},$

$f_{1}(x)$ இன் ஆட்களம், $f(x)$ இன் ஆட்களத்தை விடப்பெரியது. $f(x).$ சார்பின் ஆட்களத்தில், $f_{1}(x)$ சார்பானது $f(x)$ க்குச் சமமானதாக இருக்கும்.

பல்லுறுப்புக்கோவை பின்னங்களின் சமானப் பகுதியாக விகிதமுறு சார்பைக் கொள்ளலாம்.

$\textstyle P=P_{1}R,$ $\textstyle Q=Q_{1}R$

${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P_{1}R}{Q_{1}R}}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$

${\frac {P(x)}{Q(x)}},$ ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}$ இரண்டும் சமானமானவையாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

விகிதமுறு சார்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

மூன்றாம் படி விகிதமுறு சார்பு: $y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$

இரண்டாம் படி விகிதமுறு சார்பு: $y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

• $f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}.$

இந்த விகிதமுறு சார்பு $x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}$ இல் வரையறுக்கப்படவில்லை. x , முடிவிலியை அணுகும்போது இச்சார்பு ${\frac {x}{2}}$ க்கு ஈற்றணுகாக (asymptotic) அமையும்.

• $f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}$

இந்த விகிதமுறு சார்பு எல்லா மெய்யெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டது; ஆனால் அனைத்து சிக்கலெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டதல்ல. x இன் மதிப்பு $-1$ இன் வர்க்கமூலமாக இருந்தால், (i அல்லது -i)

$f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}}$. எனவே x =±i மதிப்பிற்கு இச்சார்பு வரையறுக்கப்படவில்லை.

• மாறிலிச் சார்புகள் விகிதமுறு சார்புகளாகும். அனைத்து மாறிலிகளும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும் என்பதால் மாறிலிச் சார்புகள் விகிதமுறு சார்புகளாக இருக்கும்.

f(x) = π, ஒரு மாறிலிச் சார்பு. x இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் f(x) இன் மதிப்பு விகிதமுறாத மதிப்பாக இருப்பினும் இது ஒரு விகிதமுறு சார்பேயாகும்

• ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சார்பும் ஒரு விகிதமுறு சார்பு.

$f(x)=P(x)$ என்பது $Q(x)=1$ ஆகக் கொண்ட விகிதமுறு சார்பு.

மேற்கோள்கள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Rational function", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

வெளியிணைப்புகள்

• Dynamic visualization of rational functions with JSXGraph