முழுக்கோப்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
(முழுச் சார்பு இலிருந்து வழிமாற்றப்பட்டது)
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
முழுக்கோப்பு; உள்ளிடுகோப்பல்ல
உள்ளிடுகோப்பு; முழுக்கோப்பல்ல
இருவழிக்கோப்பு.

f : X\rightarrow Y என்ற ஒரு கோப்பில் / சார்பில் ஒவ்வொரு  y \in Y க்கும் f(x) = y ஆக இருக்கும்படி குறைந்த பட்சம் ஒரு x \in X ஆவது இருக்குமானால் அக்கோப்பு/சார்பு முழுக்கோப்பு (Surjection) அல்லது முழுக்கோப்புடைய சார்பு (Surjective function) எனப்படும். வேறு விதமாகச்சொன்னால் ஒவ்வொரு y \in Y க்கும் X இல் ஒரு முன்னுரு உள்ளது.

ஒரு முழுக்கோப்பு உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்துவிட்டால், அது இருவழிக்கோப்பு எனப்படும்.

துல்லியமான வரையறை[தொகு]

f என்பது X இலிருந்து Y க்குப்போகும் ஒரு கோப்பு/சார்பு எனக்கொள்வோம். f ஒரு முழுக்கோப்பு எனப்படுவதற்கு இலக்கணம்:

\forall y \in Y,\, \exist x \in X,\ \backepsilon f(x)=y

உலகவழக்கில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு[தொகு]

சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். பயணிகளுக்கு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம்.(பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)

ஒவ்வொரு அறையும் நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வோரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது முழுக்கோப்பு (surjective map; surjection; onto map).

ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது உள்ளிடுகோப்பு (injective map; injection; one-one map).

பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது இருவழிக்கோப்பு (bijective map; bijection; one-one onto map). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.

கணித எடுத்துக்காட்டுகளும் மாற்றுக்காட்டுகளும்[தொகு]

மெய்யெண் சார்புகள்:

  • f : \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}
f(x) = x^2
இது முழுக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால்,எடுத்துக்காட்டாக, f(x) = -4 க்குச்சரியான x கிடையாது., ஆனால் நாம் வரையறையை மாற்றி எழுதலாம். அதாவது, இணையாட்களத்தை \mathbf{R}^{+} ஆகக்கொண்டால், அது முழுக்கோப்பாகும்.
  • f : \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}
f(x) = 2x - 1
இது ஒரு முழுக்கோப்பு. ஏனென்றால் எந்த மெய்யெண் y க்கும் y = 2x - 1 என்ற சமன்பாட்டைத்தீர்வு செய்து, x = (y + 1)/2 என்று கண்டுபிடிக்கமுடியும். இதனால் \mathbf{R} இலுள்ள எல்லாமெய்யெண்ணுக்கும் ஒரு முன்னுரு உள்ளது.
  • g : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}
f(x) = (cos x)^2
இது முழுக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, f(x) = -1 க்கு சரியான x கிடையாது.
  • h : \mathbf{R} \rightarrow  [0, 1]
h(x) =  (cos x)^2
இது முழுக்கோப்பாகும். ஏனென்றால், [0,1] இலுள்ள ஒவ்வொரு y க்கும் cos^{-1}(\surd {y}), மற்றும் cos^{-1}(-\surd {y}) என்ற இரண்டு முன்னுருக்கள் கிடைக்கின்றன.
  • f :  \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{R}
இந்த f எப்படி வரையறுக்கப்பட்டாலும் அது முழுக்கோப்பாக முடியாது. ஏனென்றால் வீச்சுக்கணம் = \{f(1), f(2), f(3), ... \}; இதனுடைய எண்ணளவை \mathbf{R} இன் எண்ணளவையைவிட ச் சிறியது.

சில விளைவுகள்[தொகு]

சேர்வை முழுக்கோப்பு: ஆனாலும் முதல் கோப்பு முழுக்கோப்பல்ல.
  • f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} ஒரு முழுக்கோப்பானால் அதனுடைய வரைவு எல்லா கிடைக்கோடுகளையும் வெட்டும்.
  • f: Y \rightarrow Z; g: X \rightarrow Y
f \circ g: X \rightarrow Z முழுக்கோப்பானால் f முழுக்கோப்பாக இருக்கவேண்டும். g முழுக்கோப்பாக இருக்கவேண்டிய தில்லை. (படிமம் பார்க்கவும்)
  • f, g இரண்டுமே முழுக்கோப்பானால் f \circ g முழுக்கோப்பாகும்.
  • f: X \rightarrow Y ஒரு முழுக்கோப்பானால், ஒவ்வொரு உட்கணம் B \subset Y க்கும்,
f(f^{-1}(B)) = B.

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=முழுக்கோப்பு&oldid=1542721" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது