பை மாறிலியை விட 22/7 அதிகம் என்பதற்கான நிறுவல்

பையின் பெறுமானத்தைக் காட்டும் படம்

பை மாறிலியை விட 22/7 அதிகம் என்பதற்கான நிறுவல் (ஆங்கிலம்: Proof that 22/7 exceeds $\pi$) இங்கே வழங்கப்பட்டுள்ளது. கணித்தலை இலகுவாக்குவதற்காகப் பை என்ற கணித மாறிலியின் பெறுமானத்திற்குப் பதிலாக 22/7 என்ற பெறுமானம் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றது. ஆனாலும் 22/7 என்பது பை மாறிலியை விட அதிகமானது.

பை என்பது அண்ணளவாக 3.14159 ஆகும். ஆகவே $\pi$ < 22/7 ஆகும். ஏனெனில், 22/7 என்பதன் பெறுமானம் அண்ணளவாக 3.142857 ஆகும். $\pi$ என்பது அண்ணளவாக 3.14159 என்பதைக் காட்டுவதை விட இங்கே குறிப்பிட்டுள்ள முறை மூலம் $\pi$ < 22/7 எனக் காட்டுவதற்குக் குறைவான வேலை போதும்.

பின்னணி

$\pi$ என்பதற்கான பொதுவான தசம அண்ணளவாக்கமாக 22/7 என்பது பயன்படுத்தப்பட்டு வருகின்றது. ஆனாலும் 22/7 என்பது $\pi$ஐ விட அதிகமாகும். இதனை அவ்விரு எண்களின் தசமப் பெறுமானங்களைப் பார்ப்பதன் மூலம் அறிந்து கொள்ளலாம்.

$\begin{align} \frac{22}{7} & = 3. \overline{142\,857}, \\ \pi\, & \approx 3.141\,592\,65\ldots \end{align}$

22/7 என்ற அண்ணளவாக்கத்தை $\pi$ என்பதற்குப் பதிலாகப் பயன்படுத்தியதற்கான எழுத்து மூலமான ஆதாரம் கிறிஸ்துவுக்கு முன் மூன்றாம் நூற்றாண்டில் ஆக்கிமிடீசால் எழுதப்பட்டுள்ளது. அவருடைய நிறுவலில் 22/7 எனும் பெறுமானமானது 96 பக்கங்களையுடைய ஒழுங்கான வட்டப் பல்கோணியின் சுற்றளவுக்கும் வட்டத்தின் விட்டத்துக்கும் இடையிலான விகிதத்தை விட அதிகம் எனக் காட்டப்பட்டுள்ளது. பையிற்கான 355/113 என்ற இன்னுமோர் அண்ணளவாக்கம் மேலும் துல்லியமானதாகும். ஆனாலும் துல்லியம் குறைவான 22/7 என்ற அண்ணளவாக்கமே அதிகம் பயன்படுத்தப்பட்டு வருகின்றது.

நிறுவல்

இதற்கான நிறுவலைப் பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்.

$0 < \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \, dx = \frac{22}{7} - \pi.$

ஆகவே, 22/7 > $\pi$