நியூட்டனின் தேற்றம் (நாற்கரம்)

யூக்ளீடிய வடிவவியலில் நியூட்டனின் தேற்றப்படி (Newton's theorem), சாய்சதுரம் தவிர்த்த பிற தொடுகோட்டு நாற்கரம் ஒவ்வொன்றின் உள்வட்டமையமும் அந்தந்த நாற்கரத்தின் நியூட்டன் கோட்டின் மீதமையும்.

ABCD என்பது அதிகபட்சமாக இரு இணைபக்கங்கள் கொண்ட தொடுநாற்கரம்; அதன் மூலைவிட்டங்களின் (AC, BD) நடுப்புள்ளிகள் E, F. நாற்கரத்தின் உள்வட்ட மையம் P எனில், அப்புள்ளி நியூட்டன் கோட்டின் (EF) மீது அமையும்.

இரு சோடி இணைபக்கங்களுடைய தொடுநாற்கரம் சாய்சதுரமாக இருக்கும். சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளும் உள்வட்ட மையமும் ஒரே புள்ளியாக இருக்கும். எனவே சாய்சதுரத்திற்கு நியூட்டன் கோடு இல்லை.

நிறுவல்[தொகு]

நியூட்டனின் தேற்றத்தை பீட்டோ தேற்றத்தையும் ஆனியின் தேற்றத்தையும் பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.

பைலட்டுத் தேற்றத்தின்படி, ஒரு தொடுநாற்கரத்தின் எதிர் சோடிப்பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகைகள் சமம் என்பதால் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டத் தொடுநாற்கரத்திற்கு:

a + c = b + d

உள்வட்ட ஆரம் r என்க. PAD, PBC, PAB, PCD ஆகிய நான்கு முக்கோணங்களுக்கும் r ஆனது செங்குத்து உயரமாக இருக்கும்.

{\begin{aligned}&A(\triangle PAB)+A(\triangle PCD)\\[5pt]={}&{\tfrac {1}{2}}ra+{\tfrac {1}{2}}rc={\tfrac {1}{2}}r(a+c)\\[5pt]={}&{\tfrac {1}{2}}r(b+d)={\tfrac {1}{2}}rb+{\tfrac {1}{2}}rd\\[5pt]={}&A(\triangle PBC)+A(\triangle PAD)\end{aligned}}

அதாவது, எதிரெதிர் முக்கோணங்கள் PAD, PBC இரண்டின் மொத்தப் பரப்பளவும், அடுத்த சோடி எதிர்முக்கோணங்கள் PAB, PCD இன் மொத்தப் பரப்பளவும் சமம். எனவே ஆனியின் தேற்றப்படி, P புள்ளியானது (உள்வட்டம்), EF கோட்டின் (நியூட்டன் கோடு) மீதமையும்.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780883853481, pp. 117–118 (online copy, p. 117, கூகுள் புத்தகங்களில்)

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

Newton’s and Léon Anne’s Theorems at cut-the-knot.org