தொடர் பெருக்கம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

ஒரு நேர்ம முழு எண்ணின் தொடர் பெருக்கம் (factorial) என்பது அதற்கு சமமாகவும் குறைவாகவும் உள்ள எல்லா நேர்ம முழு எண்களின் பெருக்கல் ஆகும். இது n! எனக் குறிக்கப்படும்.

எ.கா:

5 ! = 5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 120  \
4 ! =  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 24  \
3 ! =  3  \times  2  \times  1 = 6 \
2 ! =  2  \times  1 = 2  \
1 ! =  1 \
0 ! =  1 \ (வெற்றுப் பெருக்கத்தின் வழமைப்படி[1]).

தொடர் பெருக்கச் செய்கையைக் கணிதத்தில் பல பகுதிகளில் காணமுடியும். குறிப்பாக சேர்மானவியல், இயற்கணிதம், கணிதப் பகுப்பாய்வு என்பவற்றைக் குறிப்பிடலாம். இதன் மிக அடிப்படையாக பயன்பாட்டை, வரிசை மாற்றத்தில், வெவ்வேறான n பொருட்களை n! வழிகளில் தொடராக ஒழுங்குபடுத்தலாம்" என்பதில் காணமுடிகிறது. இந்த உண்மை ஆகப் பிந்தியது 12ம் நூற்றாண்டிலேயே இந்திய அறிஞர்களுக்குத் தெரிந்திருக்கிறது.[2] பிரான்சு நாட்டைச் சேர்ந்த கணிதவியலாளர் கிறித்தியன் கிறாம்ப் என்பவர் n! குறியீட்டை 1808 ஆம் ஆண்டில் முதன் முதலில் அறிமுகப்படுத்தினார்.

வரைவிலக்கணம்[தொகு]

தொடர் பெருக்கச் சார்பு பின்வருமா று வரையறுக்கப்படுகிறது:

 n!=\prod_{k=1}^n k \!

அல்லது பின்வரும் தொடர்பின் மூலமும் இது தரப்படலாம்:

 n! = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 0, \\
(n-1)!\times n & \text{if } n > 0
\end{cases}

அடுக்கு விதியைப் பயன்படுத்தியும் பின்வருமாறு இதை வரையறுக்க முடியும்:

 n! = D^nx^n \;[3]

மேற்காட்டிய எல்லா வரைவிலக்கணங்களும் :0! = 1, \ என்பதை உட்படுத்துகின்றன.

பயன்பாடுகள்[தொகு]

பெரும்பாலும் சேர்மானவியலைச் சேர்ந்தது என்றாலும் கணிதத்தின் பல பிரிவுகளிலுள்ள வாய்ப்பாடுகளில் தொடர் பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

  • வெவ்வேறான n பொருட்களை வெவ்வேறான n! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். அதாவது வெவ்வேறான n பொருட்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை n! ஆகும்.
  • வரிசைப்படுத்தல் தவிர்க்கப்பட வேண்டுமென்பதற்காகப் பெரும்பாலும் தொடர் பெருக்கமானது வாய்ப்பாடுகளில் பகுதியில் காணப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு: n பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து k பொருட்களைத் தேர்வுசெய்து அவற்றை வரிசைப்படுத்தும் வழிகளின் எண்ணிக்கை:

n^{\underline k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)

இந்த வழிகளில் தேர்வுகள் ஒவ்வொன்றிலும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட k பொருட்களை வரிசைப்படுத்தக்கூடிய k! வெவ்வேறான வழிகளும் அடங்கும் எனபதால் வரிசைப்படுத்தலைத் தவிர்த்து, n பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து k பொருட்களின் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாடு:

\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots1} =\frac{n!}{(n-k)!}

இந்த வாய்ப்பாடு (1 + X)n விரிவில் Xk இன் கெழுவாகவும் அமைவதால் ஈருறுப்புக் கெழு (\tbinom nk) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

டெயிலரின் தேற்றம்:[4][5][6]

k ≥ 1 ஒரு முழு எண்; aR புள்ளியில், சார்பு f : RR k தடவைகள் வகையிடத்தக்கது எனில், hk : RR என்ற ஒரு சார்பு பின்வருமாறு இருக்கும்:

 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k,

\mbox{and}\quad\lim_{x\to a}h_k(x)=0

  • நிகழ்தகவின் பல வாய்ப்பாடுகளில் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு:

\!f(k; \lambda)= \Pr(X=k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

இவ்வாய்ப்பாட்டில்,

தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X; λ > 0; k =0,1,2,…, e = 2.71828....

எண் கோட்பாடு[தொகு]

  •  n மற்றும் அதைவிடச் சிறியதான அனைத்து பகா எண்களாலும் n! வகுபடும். இதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் முடிவுகள்:
    • n > 5 ஒரு பகு எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
(n-1)!\ \equiv\ 0 \pmod n.
    • p ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
(p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod p (வில்சனின் தேற்றம்)
  • பகா எண்ணாகவும் தொடர் பெருக்கமாகவும் அமையும் ஒரே எண் 2.  n! ± 1, என்ற வடிவிலமையும் எண்கள் காரணீயப் பகாஎண்களென அழைக்கப்படுகின்றன.
  • 1! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டின் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை இரட்டை எண்களாகும். 5! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டு மற்றும் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை பத்தின் மடங்குகளாக இருக்கும்.

தலைகீழிகளின் தொடர்[தொகு]

தொடர் பெருக்கங்களின் பெருக்கல் தலைகீழிகளாலான தொடர், ஒருங்கும் தொடராக இருக்கும்:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}  + \frac{1}{120} + \ldots = e\,.

இத் தொடரின் கூடுதல் ஒரு விகிதமுறா எண் என்றாலும், தொடரின் உறுப்பிலுள்ள தொடர் பெருக்கங்களை நேர் முழு எண்களைக் கொண்டு பெருக்கி, தொடரை விகிதமுறு எண்ணைக் கூடுதலாகக் கொண்ட ஒருங்கு தொடராக மாற்றலாம்:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2)n!} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{144}\ldots=1\,.

இதனால் தொடர் பெருக்கங்கள் விகிதமுறாத் தொடர்முறைகளை அமைக்காது.[8]

ஒத்த பிற பெருக்கங்களும் சார்புகளும்[தொகு]

கணிதத்தில் தொடர் பெருக்கம் போன்ற பிற பெருக்கங்களும் வரையறௌக்கப்பட்டுள்ளன. அவை:

பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம்[தொகு]

பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம் (primorial) என்பது, பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கச் சார்பாக (OEISஇல் வரிசை A002110 ) அமையும்.

n வது பகா எண் pn இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் pn# என்பது முதல் n பகா எண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:[9][10]

p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k

pk என்பது k -வது பகா எண்.

எடுத்துக்காட்டாக:

p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.

முதல் ஆறு பகாஎண் தொடர்பெருக்கங்கள்:

1, 2, 6, 30, 210, 2310.

(இதில் p0# = 1 என வெற்றுப் பெருக்கமாகக் கொள்ளப்படுகிறது.))

பொதுவாக ஏதேனுமொரு இயல் எண்ணிற்கு கீழ்க்காண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

ஒரு நேர் முழு எண் n இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் n# என்பது n -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:[9][11]

n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\#

இங்கு, \scriptstyle\pi(n) பகாஎண்-எண்ணும் சார்பு (OEISஇல் வரிசை A000720 ), n -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களைத் தருகிறது.

இவ்வரையறை கீழுள்ள வரையறைக்கு ஈடானதாகும்:

பாகுபடுத்தல் தோல்வி (PNG conversion failed; check for correct installation of latex and dvipng (or dvips + gs + convert)): n\# = \begin{cases} 1 & \text{if }n = 1 \\ n \times ((n-1)\#) & n > 1 \text{மற்றும்}\ n \text{ பகாஎண்} \\ (n-1)\# & n > 1 \text{மற்றும்}\ n \text{பகு எண்}. \end{cases}


எடுத்துக்காட்டாக, 12# என்பது 12க்கும் குறைந்த பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கம்:

12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.

இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்[தொகு]

ஒற்றை நேர் எண் n வரையிலான ஒற்றை எண்களின் பெருக்கம் ’இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்’ (double factorial) எனப்படும். இதன் குறியீடு n!!.[12]

(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!} = \frac {_{2k}P_k} {2^k} = \frac {{(2k)}^{\underline k}} {2^k}.

எடுத்துக்காட்டு:

9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945.

n = 1, 3, 5, 7, ... எனில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கங்களின் தொடர்முறை:

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, .... (OEISஇல் வரிசை A001147 )

முக்கோணவியல் தொகையீட்டில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.[13]

பல்தொடர்பெருக்கம்[தொகு]

எதிரிலா முழு எண்களின் k-வது தொடர்பெருக்கம் n!^{(k)}:


  n!^{(k)}=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n<k,
   \\
    n((n-k)!^{(k)}),&&\mbox{if }n\ge k\,,\quad\ \ \,
   \end{matrix}
  \right.

தொடர்பெருக்கம் n! எதிர் எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படாதது போல, இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் n!! எதிர் இரட்டை எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை; பல்தொடர்பெருக்கம் n!^{(k)} k ஆல் வகுபடும் எதிர் முழுஎண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, p. 111
  2. N. L. Biggs, The roots of combinatorics, Historia Math. 6 (1979) 109−136
  3. http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/lec4.pdf
  4. Genocchi, Angelo; Peano, Giuseppe (1884), Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, (N. 67, p.XVII-XIX): Fratelli Bocca ed. 
  5. Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd ed.), Houston, TX: Publish or Perish, p. 383, ISBN 978-0-914098-89-8 
  6. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Taylor formula", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/t092300 
  7. Probability and Stochastic Processes: A Friendly Introduction for Electrical and Computer Engineers, Roy D. Yates, David Goodman, page 60.
  8. Guy, Richard K. (2004), "E24 Irrationality sequences", Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer-Verlag, p. 346, ISBN 0-387-20860-7, http://books.google.com/books?id=1AP2CEGxTkgC&pg=PA346 .
  9. 9.0 9.1 Eric W. Weisstein, Primorial at MathWorld.
  10. (OEISஇல் வரிசை A002110 )
  11. (OEISஇல் வரிசை A034386 )
  12. Callan, David (2009), A combinatorial survey of identities for the double factorial .
  13. Meserve, B. E. (1948), "Classroom Notes: Double Factorials", The American Mathematical Monthly 55 (7): 425–426, doi:10.2307/2306136 
"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=தொடர்_பெருக்கம்&oldid=1669502" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது