ஜோர்டன்-போல்யா எண்

கோட்டுருவியலில் 480 சமச்சீர்களைக்கொண்ட ஒரு மரத்தின் கோட்டுரு. இட மேற்புறக் கணுவின் இரு துணைக்கணுக்களை 2! = 2 வழிகளிலும், நடு மேற்புறக் கணுவின் 2 துணைக்கணுக்களை 2! = 2 வழிகளும் வல மேற்புறக் கணுவின் 5 துணைக்கணுக்களை 5! = 120 வழிகளிலும் வரிசைமாற்றஞ் செய்யலாம். எனவே மரத்தின் மொத்த சமச்சீர்களின் எண்ணிக்கை = 2 · 2 · 120 = 480

கணிதத்தில் ஜோர்டன்-போல்யா எண்கள் (Jordan–Pólya numbers) என்பவை ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தொடர் பெருக்கங்களின் பெருக்கற்பலனாகக் கிடைக்கக்கூடிய எண்களாகும். பெருக்கப்படும் தொடர்பெருக்க எண்கள் வெவ்வேறானவையானவயாக இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, $480=2!\cdot 2!\cdot 5!=480$ ஒரு ஜோர்டன்-போல்யா எண்ணாகும். கோட்டுருவியலின் ஒவ்வொரு மரமும் ஏதாவதொரு ஜோர்டான்-போல்யா எண்ணிக்கையில் சமச்சீர்கள் கொண்டிருக்கும்; ஆகவே ஜோர்டன்-போல்யா எண்கள் ஒவ்வொன்றும், ஒரு மரத்தின் ஒரு 'தன்னமைவிய குலத்தின்' வரிசையாக அமையும். பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் "ஜோர்டன்" மற்றும் ஹங்கேரி-அமெரிக்கக் கணிதவியலாளர் போல்யா ஆகிய இருவரும் கோட்டுருவியல் மரங்களின் சமச்சீர்கள் குறித்த ஆய்வில் இவ்வெண்களைப் பற்றி எழுதியதால், இவ்வெண்கள் அவ்விருவரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றன.

தொடர்வரிசையும் வளர்விகிதமும்

ஜோர்டன்-போல்யா எண்களின் தொடர்வரிசை::

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 120, 128, 144, 192, 216, 240, 256, ... (OEIS-இல் வரிசை A001013)

இவ்வெண்கள், அனைத்து தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கலைப் பொறுத்த அடைவு கணமாகவுள்ளன. $n$வது ஜோர்டன்-போல்ய எண்ணானது, $n$ இன் எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையை விடவும் வேகமாகவும் ஆனால், $n$ இன் எந்தவொரு அடுக்கேற்றத்தைவிடவும் மெதுவாகவும் அதிகரிக்கிறது. ஒவ்வொரு $\varepsilon >0$ மற்றும் போதுமானவளவு பெரிதான ஒவ்வொரு $x$ ($\varepsilon$ ஐ பொறுத்து) $x$ வரையிலான ஜோர்டன்-போல்யா எண் $J(x)$ கீழுள்ள சமனிலியை நிறைவு செய்யும்.

$$\exp {\frac {(2-\varepsilon ){\sqrt {\log x}}}{\log \log x}}<J(x)<\exp {\frac {(4+\varepsilon ){\sqrt {\log x}}\log \log \log x}{\log \log x}}.$$

சிறிய எண்களின் தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கலாகவுள்ள தொடர்பெருக்கங்கள்

2 ஐத் தவிர மற்ற ஜோர்டன்-போல்யா எண் $n$ஒவ்வொன்றுக்கும் அதன் தொடர்பெருக்கத்தை, அதனைவிடச் சிறிய எண்களின் தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கற்பலனாக எழுக்கூடிய பண்பு உண்டு.

அதாவது, $n!=n\cdot (n-1)!$ எனப் பிரித்து மீண்டும் இதிலுள்ள காரணி $n$ ஐ மேலும் சிறிய தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கலாக எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

8! = 8 . 7! = 2! 2! 2! 7!. = 2!³ 7!.

இப்பண்பு குறித்த நிறுவப்படாத ஊகம்:

2 ஐத் தவிர்த்த பிற ஜோர்டன்-போல்யா எண்களே சிறிய எண்களின் தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கலாக எழுதக்கூடிய எண்களாகும். (மேலும் 9, 10 ஆகிய இரு எண்களுக்கும் இக்கூற்றில் விலக்கப்படுகின்றன - $9!=2!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 7!,$ $10!=6!\cdot 7!=3!\cdot 5!\cdot 7!$).

$n!=n\cdot (n-1)!$ என்பதிலுள்ள $n$ ஐ மீண்டும் தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கலாக எழுதும் விதத்தைத் தவிர வேறொரு விதமாகவும் எழுதப்படக்கூடிய எண் 16. இது ஒரு ஜோர்டன்-போல்யா எண்ணுங்கூட:

$16!=2!\cdot 5!\cdot 14!$ (16 ஒரு ஜோர்டன்-போல்யா எண்),

$16!=2!^{4}\cdot 15!$.