காரணித் தேற்றம்

இயற்கணிதத்தில் காரணித் தேற்றம் (factor theorem) என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் காரணிகளையும் மூலங்களையும் இணைக்கும் தேற்றமாகும். இத்தேற்றமானது பல்லுறுப்புக்கோவை மீதியத் தேற்றத்தின் சிறப்பு வகையாகும்.

காரணித் தேற்றத்தின் கூற்று:

$f(k)=0$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே $(x-k)$ ஆனது பல்லுறுப்புக்கோவை $f(x)$ இன் ஒரு காரணியாகும் (அதாவது, $k$ ஒரு மூலம்).

பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் காரணிப்படுத்தல்

பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் காரணிகளையும் மூலங்களையும் கண்டுபிடிப்பதற்கு காரணித் தேற்றம் பயன்படுகிறது. மேலும் இத்தேற்றத்தைக் கொண்டு, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் தெரிந்த காரணியை அப்பல்லுறுப்புக்கோவையிலிருந்து நீக்கி அதனைச் சிறிய படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றியபின்னர் அப்புதுக்கோவையின் மூலங்களை எளிதாகக் கண்டுபிடிக்க முடியும். இம்முறையை செயற்படுத்தும் படிகள்:

1. முதலில் பல்லுறுப்புக்கோவை $f$ இன் ஒரு மூலம் $a$ ஊகிக்கப்படுகிறது.
2. அடுத்து காரணித் தேற்றத்தில் மூலம் $(x-a)$ ஆனது $f(x)$ இன் காரணி என உறுதிசெய்யப்படுகிறது.
3. பல்லுறுப்புக்கோவை நெடுமுறை வகுத்தல் அல்லது தொகுமுறை வகுத்தல் முறைகளைப் பயன்படுத்தி ${\textstyle g(x)={\frac {f(x)}{(x-a)}}}$ பல்லுறுப்புக்கோவை காணப்படுகிறது.
4. பல்லுறுப்புக்கோவை $g$ இன் படி $f$ இன் படியைவிட ஒன்று குறைவு என்பதால் அதன் மூலங்களை எளிதாகக் கண்டுபிடிக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு

$x^{3}+7x^{2}+8x+2.$ இன் காரணிகளைக் காணல்:

சில முயற்சிகள் மூலம் இக்கோவையின் மதிப்பை பூச்சியமாக்கக் கூடிய x இன் ஒரு மதிப்பைக் கண்டுபிடித்துக் கொள்ளவேண்டும். $(x-1)$ ஒரு காரணியா என்பதைச் சோதிக்க பல்லுறுப்புக்கோவையில் $x=1$ எனப் பிரதியிட:

${\begin{aligned}x^{3}+7x^{2}+8x+2&=(1)^{3}+7(1)^{2}+8(1)+2\\&=1+7+8+2\\&=18\end{aligned}}$

கிடைக்கும் மதிப்பு பூச்சியமாக இல்லாமல் 18 ஆக இருப்பதால் தரப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் காரணி $(x-1)$ இல்லை. அடுத்ததாக $(x+1)$ காரணியா என்று சோதித்துப் பார்ப்பதற்கு $x=-1$ எனப் பிரதியிட:

$(-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2=0$

எனவே $x-(-1)=x+1$ ஒரு காரணி; $-1$ ஒரு மூலம்

இப்பொழுது $x^{3}+7x^{2}+8x+2$ கோவையை $(x+1)$ காரணியால் வகுக்க:

${x^{3}+7x^{2}+8x+2 \over x+1}=x^{2}+6x+2$

$x^{2}+6x+2$ ஒரு இருபடிக்கோவை என்பதால் இருபடி வாய்பாடு கொண்டு இதன் மூலங்களை $-3\pm {\sqrt {7}}.$ எனக் காணலாம்.

எனவே $x^{3}+7x^{2}+8x+2$ இன் மூன்று காரணிகள்:

$x+1,$ $x-(-3+{\sqrt {7}}),$ $x-(-3-{\sqrt {7}}).$