பல்லுறுப்புக் கோவை மீதியத் தேற்றம்

இயற்கணிதத்தில் பல்லுறுப்புக் கோவை மீதியத் தேற்றம் (Polynomial remainder theorem) என்பதும் சிறிய பெசூவின் தேற்றம் (Little Bézout's theorem) என்பதும் பல்லுறுப்புக் கோவை ஒன்றை இன்னொரு பல்லுறுப்புக் கோவையால் வகுத்தலைப் பற்றியும் அதன் மீதத்தைப் பற்றியதும் ஆகும். இது, பல்லுறுப்புக் கோவை$f(x)\,$ என்பதை நேரியல் $x-a\,$ என்பதால் வகுத்தால் (நெடிய வழி வகுத்தல்) மீதியாகக் கிட்டுவது $f(a)\,$ என்று கூறுகிறது. குறிப்பாக, $f(r)=0,$ ஆக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, $f(x)$ இன் வகுஎண்ணாக $x-r$ இருக்கும். இப்பண்பு காரணித் தேற்றம் என அறியப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

$f(x)=x^{3}-12x^{2}-42\,$ என்று கொண்டால். பல்லுறுப்புக் கோவை $f(x)\,$ -ஐ $(x-3)\,$ -ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் ஈவு $x^{2}-9x-27\,$, மீதம்: $-123\,$. ஆகவே, $f(3)=-123\,$.

எடுத்துக்காட்டு 2

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ என்ற இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இயற்கணிதமுறையில் கணக்கிட்டு மீதியத் தேற்றம் உண்மையாவதைக் காணலாம்:

${\begin{aligned}{\frac {f(x)}{x-r}}&={\frac {a{x^{2}}+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {a{x^{2}}-arx+arx+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}}\\&=ax+{\frac {(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {a{r^{2}}+br+c}{x-r}}\end{aligned}}$

இருபுறமும் (x − r) ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது:

$f(x)=ax^{2}+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+{a{r^{2}}+br+c}$.

இதிலிருந்து கிடைக்கும் மீதிப்பகுதி $R=ar^{2}+br+c$ ஆனது $f(r)$ ஆக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே மீதியத் தேற்றக்கூற்று ($f(r)=R$) என்பது உண்மையென அறியலாம்.

நிறுவல்

பல்லுறுப்புக் கோவை மீதியத் தேற்றத்தை நிறுவக் கீழ்க்காணுமாறு அணுகுவோம். பல்லுறுப்புக் கோவை ஒன்றை நெடியவழியாக வகுப்பதாகக் கொண்டால், அதில் பயன்படும் வகுப்பி, கிட்டும் ஈவு, மீதி ஆகியவற்றை முறையே, $g(x)\,$, $q(x)\,$, $r(x)\,$, என்று குறிப்போம், நெடியவழி வகுத்தல், கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டுக்குத் தீர்வு தருகின்றது (அல்லது நெடியவழி வகுத்தலின் பகுதிகளை இணைக்கும் சமன்பாடு).

$f(x)=q(x)g(x)+r(x)\,,$

இதில் $r(x)\,$ என்னும் மீதியின் அடுக்குக்குறி எண் (உயர்த்தி எண் அல்லது படிமை அல்லது மடிமை) $g(x)\,$ என்பதைவிடச் சிறியது.

இப்பொழுது $g(x)=x-a\,$ என்பதை வகுப்பியாகக் கொண்டால், மீதி $r(x)\,$ -இன் அடுக்குக்குறி (படி அல்லது உயர்த்தி) 0 (சுழியம்), அதாவது $r(x)=r\,$:

$f(x)=q(x)(x-a)+r\,.$

இப்பொழுது $x=a\!\,$ என்று பொருத்தினால், கிடைப்பது:

$f(a)=r\,.$

பயன்பாடுகள்

மீதியாகிய $r$ என்பதைக் கணக்கிட்டு இந்தப் பல்லுறுப்புக் கோவை மீதியத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி $f(a)\,$ -ஐ மதிப்பிடப் பயன்படுத்தலாம்.