ஏரி சார்பியம்

இயற்பியலில் ஏரி சார்பியம் (Airy's function) அல்லது ஏரியின் முதல்வகைச் சார்பியம் Ai(x) எனப்படுவது சியார்ச்சு பிடெல் ஏரி (1801–92) என்னும் பிரித்தானிய வானவியல் ஆய்வாளரின் பெயரால் அழைக்கப்படும் ஒரு சிறப்புச் சார்பியம் (special function). Ai(x) சார்பியமும் அதனுடன் தொடர்புடைய Bi(x)' என்னும் சார்பியமும், கீழ்க்காணும் ஒரு நுண்பகுப்பிய சமன்பாட்டின் நேர்சார்பாக சேர்க்கக்கூடிய இருவேறு தனித் தீர்வுச் சார்பியங்கள்:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-xy=0,\,\!$

இந்த நுண்பகுப்பியச் சமன்பாட்டை ஏரியின் சமன்பாடு (Airy equation) அல்லது இசுத்தோக்ஃசு சமன்பாடு (Stokes equation) என்று அறியப்படுகின்றது. ஓர் இருபடிய நேரிய நுண்பகுப்பிய சமன்பாட்டிற்கு (second order liner differential equation) "திருப்பு முனை" ("turning point") கொண்ட ஒரு தீர்வைத் தரும் யாவற்றினும் எளிய தீர்வு இதுவே ("திருப்புமுனை" என்பது அலையும் தன்மையுடைய சார்பியம் ஒரு புள்ளியில் அடுக்கெற்ற அல்லது பன்மடி சார்பியமாக (exponential function) மாறுவது).

அணு அல்லது அணுத்துகள் போன்ற ஒரு துகள் முக்கோண ஆற்றல் தொட்டிக்குள் அடைபட்டுக்கிடக்கும்பொழுது அதன் ஆற்றல் நிலைகளைக் காண எதிர்கொள்ளும் சுரோடிங்கர் சமன்பாட்டுக்கு ஒரு தீர்வாக இந்த ஏரி சார்பியம் அமைவது முக்கியமான ஒரு பயன்பாடாகும். டபிள்யூ-கே-பி தோராயமாக்கம் (WKB Approximation) முறை திரியும் நிலையில் நிலையாற்றல் (potential) நேர்சார்பாக மாறுவதாகக் கொண்டால் இந்த ஏரி சார்பியம் வழி நல்லவொரு த்ீர்வு கிட்டும். இது குறைகடத்தி நுண்கருவிகளின் இயற்பியல் அலசலில் பெரிதும் பயன்படுகின்றது.

வளைந்த பரப்பில் ஒளி பட்டுச் சிதறும் பொழுது சிலபகுதிகளில் ஏற்படும் கூடுதலான ஒளியடர்த்தி பற்றிய விளைவை (caustic) விளக்குவதிலும் இந்த ஏரி சார்பியம் பெரும் பங்களிக்கின்றது. இவ்வகை விளைவு வானவில்லில் காணலாம். வரலாற்று நோக்கில் இதன் கணித அலசலின் விளைவாகவே ஏரி சார்பியம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

இன்னொரு முக்கியமன சார்பியமும் "ஏரி சார்பியம்" என அழைக்கப்படுகின்றது. இது நுண்ணோக்கியலிலும் வானியலிலும் பெரிதும் பயன்படுகின்றது. ஒற்றைப் புள்ளி ஒளிவாயில் இருந்து ஒளி புறப்பட்டு ஒரு சிறு துளை வழியாகச்செல்லும்பொழுது ஒளிக்கதிர்கள் கதிர்ச்சிதறல் (diffraction) என்னும் விளிம்புச்சிதறலாலும் அலைகள்/கதிரகள் ஒன்றோடொன்று பிணைவதாலும் (interference) ஏரி வட்டம் அல்லது ஏரி வட்டை (Airy disk) என்னும் வெவ்வேறு ஒளியடர்த்தியுள்ள வட்ட வடிவங்க்கள் தோன்றும் ஒரு விளைவு ஏற்படுகின்றது. இது நுண்ணோக்கிவழி பிரித்தறியக்கூடிய துல்லியத்தின் எல்லையை வரையறுக்க உதவுவது.

வரையறைகள்

சிவப்புநிறத்தில் Ai(x) சார்பியமும் நீல நிறத்தில் Bi(x) சார்பியமும் வரையப்பட்டுள்ளன

மெய்யெண் மதிப்புx கொண்ட முதல்வகை ஏரி சார்பியம் என்பது கீழ்க்காணும் குறைவுடைய் நுண் தொகுப்பிய வகை இரீமன் தொகுப்பியமாகும் (improper Riemann integral):

$\mathrm {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,$

இது குவிந்தடைகின்றது (converges) ஏனெனில் விரைவாக அலையும் நேர்மறைப் பகுதிகளும் எதிர்மறைபகுதிகளும் ஒன்றோடொன்று சேர்ந்தழிகின்றன (ஈரீமன்-இலெபெசுக்கு தேற்றம்) (இதனை பகுதியாக தொகுப்பிய ஆய்வு செய்து காணலாம்

y = Ai(x) என்பது ஏரி சமன்பாட்டுக்குத் தீர்வாக அமைகின்றது.

$y''-xy=0.$

இச்சமன்பாட்டுக்கு இரு நேரிய தனித்தீர்வுகள் உள்ளன. x → ∞ என்றடையும் பொழுது y → 0 என்றாகுமென்றால் Ai(x) சார்பியத்தின் பருவளவுப் பெருக்கல் (scalar multiplication) தீர்வாக இருக்கும் சீர்தரமான மற்றொரு தீர்வு ஏரி சார்பியத்தின் இரண்டாவது வகை.இதனை Bi(x) என்று குறிப்பர். இதுவும் x → −∞ w என்னும் நிலையில் Ai(x) போன்ற அதே வீச்சுடைய அலைவுகளாக் கொள்ளப்படும் ஆனால் அலைவு முகம் π/2 அளவு மாறுபடும்.

$\mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.$