பல்கணம்

கணிதத்தில் பல்கணம் (multiset) என்பது ஒரு கணத்தின் வரையறையிலிருந்து சற்று மாறுபட்டதொரு கருத்துருவாகும். ஒரு கணத்தில் அதன் எந்தவொரு உறுப்பும் மீண்டும் மீண்டும் அக்கணத்தில் இருக்க முடியாது. மாறாக ஒரு பல்கணத்தில் அதன் எந்தவொரு உறுப்பும் அப்பல்கணத்தில் எத்தனை முறை வேண்டுமானாலும் வரலாம். பல்கணத்தில் ஒரு உறுப்பு எத்தனை முறை தோன்றுகிறதோ அந்த எண், அந்த உறுப்பின் "மடங்கெண்" என அழைக்கப்படும்.

பல்கணத்தின் இந்த வரையறையின் காரணமாக a, b என்ற இரு உறுப்புகளை மட்டுமே கொண்ட, ஆனால் வெவ்வேறான மடங்கெண்களுடன் எண்ணற்ற பல்கணங்கள் அமைய வாய்ப்புள்ளது.

எடுத்துக்காட்டாக:

• {a, b}

ஒரு பல்கணம். இதில் a, b இரண்டின் மடங்கெண்களும் 1

• {a, a, b}

மற்றொரு பல்கணம். இதில் a இன் மடங்கெண் 2; b இன் மடங்கெண் 1

• {a, a, a, b, b, b}

மற்றொரு பல்கணம். இதில் a, b இரண்டின் மடங்கெண்களும் 3.

பல்கணங்களில் உறுப்புகளின் வரிசை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதில்லை. அதாவது {a, a, b} , {a, b, a} இரண்டுமே ஒரே பல்கணத்தைக் குறிக்கும். கணங்களையும் பல்கணங்களையும் வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காக சில சமயங்களில் பல்கணங்களுக்குச் சதுர அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதாவது {a, a, b} என்ற பல்கணமானது [a, a, b] எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒரு பல்கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் மடங்கெண்களின் கூட்டுத்தொகையே அதன் எண்ணளவை ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, {a, a, b, b, b, c} என்ற பல்கணத்தின் உறுப்புகள் a, b, c ஆகியவற்றின் மடங்கெண்கள் முறையே 2, 3, 1. எனவே இப்பல்கணத்தின் எண்ணளவை 6 ஆகும்.

"பல்கணம்" என்ற பெயர் 1970 களில் கணிதவியலாளர் நிக்கொலாசு கோவர்த்து தி புருய்ஜினால் உருவாக்கப்பட்டது. என்றாலும் அதற்கும் பல நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்னரே பல்கணத்தின் கருத்துரு பயன்பாட்டில் இருந்துள்ளது. கணிதவியலாளர் டொனால்ட் குனுத், பல்கணக் கருத்தை முதன்முதலாக 1150 களில் பல்கணங்களின் வரிசைமாற்றத்தில் பயன்படுத்தியவர் இந்தியக் கணிதவியலாளர் இரண்டாம் பாஸ்கரர் என்கிறார். பல்கணத்திற்கு பட்டியல், கொத்து, பை, குவியல், மாதிரி, நிறையிட்ட கணம், தொகுப்பு (list, bunch, bag, heap, sample, weighted set, collection, and suite) ஆகிய பெயர்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• n என்ற ஒரு இயல் எண்ணின் பகா காரணிகளின் கணமொரு பல்கணமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, 120 ஐப் பகா காரணிப்படுத்த,

$120=2^{3}3^{1}5^{1}$ எனக் கிடைக்கிறது. இக்காரணிகளின் கணம் {2, 2, 2, 3, 5}

ஒரு பல்கணமாக இருப்பதைக் காணலாம்.

• ஒரு இயற்கணிதச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளடங்கிய பல்கணமாகும். ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு தீர்வுகள் உண்டு. அவையிரண்டும் வெவ்வேறானவையாக அல்லது ஒரே எண்களாக இருக்கலாம்.

$x^{2}+8x+15=\,0{\text{,}}$ இன் தீர்வுகள் {3, 5}

இது ஒரு பல்கணம். இதிலுள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றின் மடங்கெண்ணும் 1.

$x^{2}+8x+16=\,0{\text{,}}$ இன் தீர்வுகள் {4, 4}

இது ஒரு பல்கணம். இதிலுள்ள உறுப்பு 4 இன் மடங்கெண் 2.

வரையறை

ஒரு பல்கணம் (A, m) என வரையறுக்கப்படுகிறது. இதில் A என்பது அப்பல்கணத்திலுள்ள வெவ்வேறான உறுப்புகளாலான கணம்; $m\colon A\to \mathbb {Z} ^{+}$ ஆனது A கணத்திலிருந்து நேர்ம முழு எண் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு. இச்சார்பு பல்கணத்தின் ஒரு உறுப்பின் மடங்கெண்ணை அதாவது அவ்வுறுப்பு எத்தனை முறை நிகழ்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. பல்கணத்தின் ஒரு உறுப்பு a எனில், m(a) அதன் மடங்கெண்ணைத் தரும்.

m சார்பை அதன் கோட்டுரு வடிவில் அதாவது வரிசைச் சோடிகளாக $\left\{\left(a,m\left(a\right)\right):a\in A\right\}$ என எழுதினால், அதன்மூலம் {a, a, b} பல்கணத்தை ({a, b}, {(a, 2), (b, 1)}) எனவும், {a, b} பல்கணத்தை ({a, b}, {(a, 1), (b, 1)}) எனவும் எழுதலாம். எனினும் இக்குறியீட்டு முறை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை.

$A=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ ஒரு முடிவுறு கணம் எனில் பல்கணம் (A, m) எழுதப்படும் குறியீடு:

$\left\{a_{1}^{m(a_{1})},\ldots ,a_{n}^{m(a_{n})}\right\},\quad$

சில சமயங்களில் மேலும் சுருக்கமாக

$\quad a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},$ எனவும் குறிக்கப்படுகிறது.

1 ஆகவுள்ள மேலொட்டு அடுக்குகள் குறிக்கப்படுவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக:

{a, a, b}

$=\{a^{2},b\}$ அல்லது $a^{2}b.$