பகாத்தனி-எண்ணும் சார்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
Jump to navigation Jump to search

கணிதத்தில் பகாத்தனி-எண்ணும் சார்பு (prime-counting function) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட மெய்யெண் x -க்குச் சமமான அல்லது அதைவிடச் சிறிய பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கையைத் தரும் சார்பு.[1][2] இச் சார்பின் குறியீடு (இது எண் π அல்ல).

முதல் 60 முழு எண்களுக்கான π(n) இன் மதிப்புகள்

வரலாறு[தொகு]

எண் கோட்பாட்டில் பகாத்தனி எண்ணும் சார்பு குறித்த ஆய்வுகள் அதிவேகத்தில் வளர்ந்துள்ளது.[3][4] 18ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் கணிதவியலாளர் காஸ் இதனை நிறுவக்கூடிய கூற்றாக (conjecture) அளித்தார். பின்னர் கணிதவியலாளர் லெஜெண்டரே (Adrien-Marie Legendre) இதனைப் பின்வருமாறு தோராயப்படுத்தினார்:

அதாவது,

இது பகா எண் தேற்றத்தின் கூற்றாகும். இதனை கீழுள்ளவாறும் எழுதலாம்:

இதில் li என்பது மடக்கைத் தொகையீட்டைக் குறிக்கும். இச்சார்பினைக் கணிக்கும் மேம்பட்ட துல்லியமான முறைகள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணை[தொகு]

பத்தின் அடுக்குகளில் π(x), x / ln x மற்றும் li(x) சார்புகளுக்கான ஒப்பீட்டை கீழுள்ள அட்டவணை காட்டுகிறது. மேலும் பார்க்க[3][5][6],[7]

x π(x) π(x) − x / ln x li(x) − π(x) x / π(x)
10 4 −0.3 2.2 2.500
102 25 3.3 5.1 4.000
103 168 23 10 5.952
104 1,229 143 17 8.137
105 9,592 906 38 10.425
106 78,498 6,116 130 12.740
107 664,579 44,158 339 15.047
108 5,761,455 332,774 754 17.357
109 50,847,534 2,592,592 1,701 19.667
1010 455,052,511 20,758,029 3,104 21.975
1011 4,118,054,813 169,923,159 11,588 24.283
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 38,263 26.590
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 108,971 28.896
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 314,890 31.202
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1,052,619 33.507
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 3,214,632 35.812
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 7,956,589 38.116
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 21,949,555 40.420
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 99,877,775 42.725
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 222,744,644 45.028
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 597,394,254 47.332
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1,932,355,208 49.636
1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 7,250,186,216 51.939
1024 18,435,599,767,349,200,867,866 339,996,354,713,708,049,069 17,146,907,278 54.243
1025 176,846,309,399,143,769,411,680 3,128,516,637,843,038,351,228 55,160,980,939 56.546
x/ln x and Li(x) ஆகிய இரு சார்புகளுடனான π(x) இன் விகிதத்தைக் காட்டும் வரைபடம் x அதிகரிக்க, அதிகரிக்க, இரு விகிதங்களும் 1 ஐ நெருங்குகிறது. x/ln x உடனான விகிதம் மேலிருந்து மெதுவாக ஒருங்குகிறது; Li(x) உடனான விகிதம் கீழிருந்து வேகமாக ஒருங்குகிறது.

நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியத்தில்:

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996). Algorithmic Number Theory. MIT Press. volume 1 page 234 section 8.8. ISBN 0-262-02405-5. 
  2. Weisstein, Eric W., "Prime Counting Function", MathWorld.
  3. 3.0 3.1 "How many primes are there?". Chris K. Caldwell. பார்த்த நாள் 2008-12-02.
  4. L. E. Dickson (2005). History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality. Dover Publications. ISBN 0-486-44232-2. 
  5. "Tables of values of pi(x) and of pi2(x)". Tomás Oliveira e Silva. பார்த்த நாள் 2008-09-14.
  6. "Values of π(x) and Δ(x) for various x's". Andrey V. Kulsha. பார்த்த நாள் 2008-09-14.
  7. "A table of values of pi(x)". Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel. பார்த்த நாள் 2008-09-14.

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]