குறிசார் தொலைவு சார்பு

ஒரு வட்டு சாம்பல் நிறத்தில் மேலேயும் அதன் குறிசார் தொலைவு சார்பு சிவப்பில் கீழேயும் x-y தளம் நீலத்தில் நடுவிலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.

ஒரு சிக்கலான கணம் சாம்பல் நிறத்தில் மேலேயும் அதன் குறிசார் தொலைவு சார்பு சிவப்பில் கீழேயும் உள்ளன.

கணிதத்தில், குறிசார் தொலைவு சார்பு (signed distance function அல்லது oriented distance function) என்பது ஓர் அளவன்(மெட்ரிக்) வெளியிலுள்ள ஒரு கணத்தில் (Ω), ஒரு புள்ளி (x) என்பது அக்கணத்தில் அமைவதை பொறுத்த குறியீடையும், எல்லையிலிருந்து அப்புள்ளிக்கான தொலைவையும் குறிக்கும் சார்பு ஆகும். கணத்திற்குள் அப்புள்ளி அமையுமானால் சார்பு மிகைமதிப்பையும், கணத்திற்கு வெளியே அமையுமானால் சார்பு குறை மதிப்பையும் பெறுகிறது. அப்புள்ளி கணத்தின் எல்லையை நோக்கி நகர்ந்து சார்பு மதிப்பு சுழியை பெறும்.

வரையறை

ஒரு மெட்ரிக் வெளியிலுள்ள (x) உட்கணம் Ω மற்றும் மெட்ரிக் d,எனில்  குறியீட்டு தொலைவு சார்பு f,ஐ பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்.

$f(x)={\begin{cases}d(x,\partial \Omega )&{\mbox{ if }}x\in \Omega \\-d(x,\partial \Omega )&{\mbox{ if }}x\in \Omega ^{c}\end{cases}}$

இங்கு $\partial \Omega$ என்பது $\Omega$$x\in X$,

$d(x,\partial \Omega ):=\inf _{y\in \partial \Omega }d(x,y)$

இங்கு inf என்பது சிறும மதிப்பைக் குறிக்கும்..

யூக்ளிடியன் வெளியில் குறியீட்டுத் தொலைவு சார்பு

சிறப்பு கூறுவெளியை எல்லையாக கொண்ட யூக்ளிடியன் வெளி Rn  இல் ஒரு உட்கணம் Ω எனில் குறியீட்டு தொலைவு சார்பு பெருமளவில் வகையிடத்தக்கது, சரிமானம் எக்னோல் சமன்பாட்டை நிறைவுச் செய்யும்.

$|\nabla f|=1.$

Ω  இன் எல்லை C^k , k≥2 எனில் C^k இல் உள்ள ஒரு புள்ளி d, Ω ன் எல்லைக்கு அருகாமையில் அமையும். குறிப்பாக, எல்லையில் சார்பு f , 

$\nabla f(x)=N(x),$

இங்கு N  என்பது உள்நோக்கிய செங்குத்து நெரிய(வெக்டர்) வெளி ஆகும்.  குறியீட்டுத் தொலைவு சார்பு செங்குத்து நெறியக்(வெக்டர்) களத்தின் வகையீட்டு விரிவாக்கமாகும்.  Ω வை எல்லையாக கொண்ட ஹெசியன்  குறியீட்டு தொலைவு சார்பு வெங்கார்டன் மாற்றியைத் தருகிறது. 

மேலும் Γ  என்ற பகுதி எல்லை Ω வுடன் போதியளவு அருகாமையிலிருப்பின் சார்பைத் தொடர்ச்சியாக வகைப்படுத்த இயலும் எனில், அது வெங்கார்டன் மாற்றியைத் தருகிறது. அது குறியீட்டு தொலைவு சார்பு, எல்லைக்கு  அருகாமையிலிருக்கும் புள்ளிக்கான மாற்று மாறியைக் கொண்டதாக அமைகிறது.

T(∂Ω,μ) என்பது μ தொலைவுக்குள் அமையும் புள்ளிகளின் தொகுப்பு. மேலும் Γ வில் எல்லை  Ω , g என்பது தொகையிடும் சார்பு எனில், 

$\int _{T(\partial \Omega ,\mu )}g(x)\,dx=\int _{\partial \Omega }\int _{-\mu }^{\mu }g(u+\lambda N(u))\,\det(I-\lambda W_{u})\,d\lambda \,dS_{u},$

இங்கு det என்பது அணிக்கோவை மதிப்பையும் dS_u மேற்பரப்பு தொகையிடலையும் குறிக்கும்.

பயன்கள்

கணினி ப் பார்வையில் இந்தச் சார்புகள் பயன்படுகின்றன.

சிறு சிறு பகுதிகளின் தோராயத் தீர்வை பெறவும், GPU முடுக்கத்தின் மூலம் தடையற்ற பெரிய அளவில் எழுத்து அளவை பெறவும் உதவுகிறது.

மேற்கோள்கள்

• Stanley J. Osher and Ronald P. Fedkiw (2003). Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer. 
• Gilbarg, D.; Trudinger, N. S. (1983). Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 224 (2nd ). Springer-Verlag.  (or the Appendix of the 1977 1st ed.)