எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள்

கணிதத்தின் ஒரு முக்கியப் பிரிவான எண் கோட்பாட்டில் முற்றிசைவுப்பகுதிகள் (Congruence classes) என்பது ஒரு அடிப்படைக்கருத்து. 1801 இல் காஸ் என்ற ஜெர்மானியக்கணித வல்லுனர் எழுதிய 'Disquistiones Arithmeticae' என்ற அவருடைய நூலில் விவரிக்கப்பட்டது.

வரையறை

$a$ என்பதை ஒரு முழு எண் ணாகவும், $n$ என்பதை ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாகவும் கொள். அப்பொழுது, $a$ (mod $n$) க்கு சமானமான (பார்க்க: சமானம், மாடுலோ n) எல்லா எண்களின் கணத்திற்கு $a$ (mod $n$) சமானப்பகுதி (Congruence class of a(mod n)) என்று பெயர். அதற்கு குறியீடு: $[a]_{n}$. ஆக,

• $[a]_{n}=\{x\in \mathbf {Z} :x\equiv a(modn)\}$

முக்கிய விளைவு

கணிதத்தில் 'சமானம்' ( Mathematical Equivalence) என்ற கருத்து நிகழும்போதெல்லாம் எதிர்வு, சமச்சீர் , கடப்பு ஆகிய மூன்று உறவுகளும் அதனில் அடக்கம். பொதுவாக கணிதத்தில் எந்தெந்த கணத்தில் 'சமானம்' இம்முறையில் வரையறுக்கப் படுகிறதோ அங்கெல்லாம் அந்த கணம் சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும். எடுத்துக்காட்டைப் பார்த்தால் இது நன்கு விளங்கும்.

எடுத்துக்காட்டு

7 என்ற மட்டு (modulus)ஒன்றை எடுத்துக்கொள்வோம். மாடுலோ 7 என்ற அடிப்படையில் எல்லா முழு எண்களையும் பிரித்தால் $\mathbf {Z}$ பின்வரும் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும்:

$[0]_{7}$ = { ..., -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, ...}

$[1]_{7}$ = { ..., -20, -13, -6, 1, 8, 15, 22, ...}

$[2]_{7}$ = { ..., -19, -12, -5, 2, 9, 16, 23, ...}

$[3]_{7}$ = { ..., -18, -11, -4, 3, 10, 17, 24, ...}

$[4]_{7}$ = { ..., -17, -10, -3, 4, 11, 18, 25, ...}

$[5]_{7}$ = { ..., -16, -9, -2, 5, 12, 19, 26, ...}

$[6]_{7}$ = { ..., -15, -8, -1, 6, 13, 20, 27, ...}

முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம்

இப்பொழுது நமக்கு ஒரு புதிய கணம் கிடைத்திருக்கிறது. அதாவது:

$\{[0]_{7},[1]_{7},[2]_{7},[3]_{7},[4]_{7},[5]_{7},[6]_{7}\}$

இதை மாடுலோ 7 முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம் என்று சொல்வோம். குறியீடு $\mathbf {Z} _{7}$. இதனில் முக்கியமாகக்குறிப்பிடப்படவேண்டியது:

2 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதி, $[2]_{7}$. இதையே 9 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதியாகவும் சொல்லலாம். அதாவது $[2]_{7}=[9]_{7}$. உண்மையில் அம்முற்றிசைவுப் பகுதியில் எந்த உறுப்பையும் ஒரு பிரதிநிதியாக எடுத்துக்கொள்ளலாம். இதனால்

... $[-5]_{7}=[2]_{7}=[9]_{7}$ = .....

... $[-21]_{7}=...=[0]_{7}....$

இவ்விதமே ஒவ்வொரு முழு எண் n ஐ வைத்தும் ஒரு $\mathbf {Z} _{n}$ என்ற ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதிகணம் உண்டு பண்ணலாம். இதைச் சுருக்கமாக n-மாடுலோ எண்களின் கணம் (Set of integers modulo n) என்றும் சொல்வதுண்டு.

இப்பொழுது $\mathbf {Z} _{n}$ இல் கூட்டல், பெருக்கல் செயலிகளை வரையறுப்போம்.

கூட்டல் வரையறை

$[a]_{n}+[b]_{n}=[a+b]_{n}$

அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைக் கூட்டினால், அந்த கூட்டுத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக,

$[2]_{7}+[6]_{7}=[2+6]_{7}=[8]_{7}=[1]_{7}$

$[2]_{7}$ க்கு பதிலாக, $[9]_{7}$ ஐயும், $[6]_{7}$ க்கு பதிலாக $[-15]_{7}$ ஐயும் எடுத்தாலும்,

$[9]_{7}+[-15]_{7}=[9-15]=[-6]_{7}=[1]_{7}$ என்ற அதே விடைதான் வரும்.

பெருக்கல் வரையறை

$[a]_{n}\times [b]_{n}=[a\times b]_{n}$

அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப்பகுதிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைப் பெருக்கினால், அந்த பெருக்குத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் பெருக்குத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக,

$[2]_{7}\times [6]_{7}=[2\times 6]_{7}=[12]_{7}=[5]_{7}.$

$[2]_{7}$ க்கு பதிலாக, $[9]_{7}$ ஐயும், $[6]_{7}$ க்கு பதிலாக $[-15]_{7}$ ஐயும் எடுத்தாலும்,

$[9]_{7}\times [-15]_{7}=[9\times (-15)]_{7}=[-135]_{7}=[-2]_{7}=[5]_{7}$ என்ற அதே விடைதான் வரும்.

சுழி வகுப்பான் சுழி

$\mathbf {Z} _{n}$ இலுள்ள $[a]_{n}$ என்ற உறுப்பு (முற்றிசைவுப் பகுதி) பின்வரும் பண்பைப் பெற்றதானால்,

ஏதோ ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதி $[b]_{n}$ க்கு, $[a]_{n}\times [b]_{n}=[0]_{n}$

$[a]_{n}$ (அதனால் $[b]_{n}$ ம்) ஒரு சுழி வகுப்பான் சுழி மாடுலோ n (Divisor of Zero modulo n) எனப்பெயர் பெறும்.

எடுத்துக்காட்டாக, $[2]_{6}\times [3]_{6}=[0]_{6}$

$\therefore [2]_{6}$ ம் $[3]_{6}$ ம் சுழிவகுப்பான் சுழிகள் மாடுலோ 6 ஆகும்.

பெருக்கல் நேர்மாறு

$[a]_{n}\times [b]_{n}=[1]_{n}$ ஆக இருக்குமானால், $[a]_{n}$ ம் $[b]_{n}$ ம் ஒன்றுக்கொன்று பெருக்கல் நேர்மாறு எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக, $[3]_{7}\times [5]_{7}=[1]_{7}$

$\therefore [3]_{7}$ ம் $[5]_{7}$ ம் பெருக்கல் நேர்மாறுகளாகும்.

சில விளைவுகள்

• ((a, n) = 1 அதாவது, a, n இரண்டுக்கும் 1 ஐத்தவிர வேறு பொதுக் காரணி கிடையாது என்றால், என்றால் தான்,

[$a]_{n}$ க்கு ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.

• $\mathbf {Z} _{n}$ இலுள்ள சூனியமல்லாத ஓர் உறுப்பு பெருக்கல் நேர்மாறு பெற்றிருக்கும்; அல்லாவிட்டால் அது சுழிவகுப்பான் சுழியாக இருக்கும்.
• $n$ ஒரு நேர்ம முழுஎண் என்றால், பின்வரும் மூன்று வாசகங்களும் சமானம்:

$n$ ஒரு பகா எண் (prime number).

$\mathbf {Z} _{n}$ இல் $[0]_{n}$ ஐத்தவிர வேறு சுழிவகுப்பான் சுழி இருக்காது.

$\mathbf {Z} _{n}$ இலுள்ள ஒவ்வொரு சூனியமல்லாத உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• சமான உறவு (கணிதம்)