எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணம்

கணிதத்தில், ஒரு இடவியல் இடைவெளியில் எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணம் (Nowhere dense set)^[1]^[2]என்பது, அதன் உட்பகுதியின் மூடல் கணம் வெற்றாக உள்ளது ஆகும். இது அருகு கணம் (meagre set) ^[3]எனவும் கூறப்படும். மிகவும் தளர்வான பொருளில், இது உறுப்புகள் கொத்தாக இல்லாத கணம் (எந்த இடத்திலும் பரப்பளவில் வரையறுக்கப்படுவதால்) எனக் கொள்ளலாம். நடவடிக்கைகளின் வரிசை முக்கியம். எடுத்துகாட்டாக, $\mathbb {R}$ இன் உட்கணம், விகிதமுறு எண்களின் கணமானது, உட்பகுதியின் மூடல் கணம் வெற்றாகக் கொண்டது, ஆனால் அது எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணம் இல்லை; உண்மையில் அது R இல் அடர்த்தி கணமாக உள்ளது. எனவே, எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணம் என்பது, எந்த வெற்றற்ற திறந்த கணத்திலும் அடர்த்தியான கணமாக இல்லாத ஒரு கணம் ஆகும்.

சுற்றியுள்ள விண்வெளி: ஒரு கணம் A ஒரு இடவியல் வெளி X -இன் ஒரு உள்வெளியாக கருதப்படும் போது எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணமாக இருக்கலாம், ஆனால் மற்றொரு இடவியல் வெளி Y -இன் உள்வெளியாக கருதப்படும் போது எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணமாக இல்லாமல் இருக்கலாம். எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணம் எப்பொழுதும் தனக்கு அடர்த்தியான கணமாக உள்ளது.^[4]^[5]^[6]

எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணத்தின் ஒவ்வொரு உட்கணமும் எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணமாகவே உள்ளது, மற்றும் பல எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணங்களின் முடிவுற்ற சேர்ப்பும் எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணம் ஆகும். மேலும், பல எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணங்களின் எண்ணிடத்தக்க முடிவிலி சேர்ப்பு எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணமாக இருக்க வேண்டிய கட்டாயம் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டுகள்

$\mathbb {Z}$ -ஆனது $\mathbb {R}$ இல் எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணம்.
$S=\left\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}$ -ஆனது $\mathbb {R}$ இல் எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணம். இருந்த போதிலும் $S$ -ன் புள்ளிகள் 0 வை நெருங்குகின்றது, அதன் மூடல் கணம் $S\cup \{0\}$ வெற்று உட்பகுதியாக உள்ளது.
$\mathbb {Z} \cup \left[(0,1)\cap \mathbb {Q} \right]$ -ஆனது $\mathbb {R}$ - இல் எங்கும் அடர்த்தியாகாத கணம் இல்லை. இது இடைவெளி $[0,1]$ -ல் அடர்த்தியான கணம் ஆகும், மற்றும் இதன் மூடல் கணத்தின் உட்பகுதி $(0,1)$ ஆகும்.

மேற்கோள்கள்

↑ Bourbaki 1989, ch. IX, section 5.1.
↑ Willard 2004, Problem 4G.
↑ Narici & Beckenstein 2011, section 11.5, pp. 387-389.
↑ Oxtoby, John C. (1980). Measure and Category (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 1–2. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-90508-1. A set is nowhere dense if it is dense in no interval; although note that Oxtoby later gives the interior-of-closure definition on page 40.
↑ Natanson, Israel P. (1955). Teoria functsiy veshchestvennoy peremennoy [Theory of functions of a real variable] (in English). Vol. I (Chapters 1-9). Translated by Boron, Leo F. New York: Frederick Ungar. p. 88. hdl:2027/mdp.49015000681685. LCCN 54-7420.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
↑ Steen, Lynn Arthur; Seebach Jr., J. Arthur (1995). Counterexamples in Topology (Dover republication of Springer-Verlag 1978 ed.). New York: Dover. p. 7. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-486-68735-3. A subset $A$ of $X$ is said to be nowhere dense in $X$ if no nonempty open set of $X$ is contained in ${\overline {A}}.$

நூல்தொகை

Fremlin, D. H. (2002). Measure Theory. Lulu.com. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-9566071-1-9.

வெளி இணைப்புகள்

Some nowhere dense sets with positive measure

[FOOTNOTEBourbaki1989ch._IX,_section_5.1-1] Bourbaki 1989, ch. IX, section 5.1.

[FOOTNOTEWillard2004Problem_4G-2] Willard 2004, Problem 4G.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011section_11.5,_pp._387-389-3] Narici & Beckenstein 2011, section 11.5, pp. 387-389.

[4] Oxtoby, John C. (1980). Measure and Category (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 1–2. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-90508-1. A set is nowhere dense if it is dense in no interval; although note that Oxtoby later gives the interior-of-closure definition on page 40.

[5] Natanson, Israel P. (1955). Teoria functsiy veshchestvennoy peremennoy [Theory of functions of a real variable] (in English). Vol. I (Chapters 1-9). Translated by Boron, Leo F. New York: Frederick Ungar. p. 88. hdl:2027/mdp.49015000681685. LCCN 54-7420.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

[6] Steen, Lynn Arthur; Seebach Jr., J. Arthur (1995). Counterexamples in Topology (Dover republication of Springer-Verlag 1978 ed.). New York: Dover. p. 7. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-486-68735-3. A subset $A$ of $X$ is said to be nowhere dense in $X$ if no nonempty open set of $X$ is contained in ${\overline {A}}.$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]