இருபதுமுக முக்கோணகம்

இருபதுமுக முக்கோணகம்

இருபதுமுக முக்கோணகம் அல்லது இருபதுமுகி (Icosahedron) என்பது தட்டையான இருபது சமபக்க முக்கோணங்களால் அடைபட்ட ஒரு சீர்திண்ம வடிவு. இது பிளேட்டோவின் ஐந்து சீர்திண்ம வடிவுகளில் ஒன்றாகும். இது முக்கோணங்களால் ஆன குவிந்த வடிவுடைய திண்ம வடிவம். ஐந்து சமபக்க முக்கோணங்கள் ஒரு முனையில் சேருமாறு மொத்தம் 12 முனைகளும் (உச்சிகளும்) 30 ஒரங்களும் கொண்ட வடிவம்.

அளவுகள்

ஒரு சீரான இருபதுமுக முக்கோணகத்தில் உள்ள முக்கோணம் ஒன்றின் நீளம் $a$ ஆனால், இந்த திண்மத்தின் 12 முனைகளையும் தொட்டுக்கொண்டு மூடும் உருண்டையின் ஆரத்தைக் கீழ்க்காணும் சமன்பாடால் (ஈடுகோளால்) அறியலாம்.

$r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\phi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\approx 0.9510565163\cdot a$

அதே போல, இருபது முக்கோண முகங்களையும் தொட்டுக்கொண்டு இத் திண்மத்தின் உள்ளே அமையும் உருண்டையின் ஆரத்தைக் கீழ்க்காணும் சமன்பாடால் (ஈடுகோளால்) அறியலாம்.

$r_{i}={\frac {\phi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {a}{12}}{\sqrt {3}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 0.7557613141\cdot a$

மேலே குறிப்படதில் $\ \phi$ என்பது பொன் விகிதம் ஆகும் (சுமார் 1.6) ஆகும்.

மேற்பரப்பும் கன (பரும) அளவும்

மேற்பரப்பு A என்றும் கன அளவு (பரும அளவு) V என்றும் கொண்டால், முக்கோணத்தின் நீளம் a என்று கொண்டு கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டால் பரப்பளவும் கன அளவும் அறியலாம்.:

$A=5{\sqrt {3}}a^{2}$

$V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}$