இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: டௌ-சார்பு

கணித மேதை இராமானுசனின் சாதனைகளில் மிக முக்கியமானவைகளில் ஒன்று, இராமானுஜனின் டௌ-சார்பு (Ramanujan's tau Function) என்று பிரசித்தி பெற்ற எண் கோட்பாட்டுச் சார்பு. ஒரு முழு எண்ணை இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகையாக எப்பொழுதெல்லாம் எப்படியெல்லாம் சொல்லலாம் என்ற எளிமைத் தோற்றமுடைய பிரச்சினைக்கும் இந்த உயர்ந்த கணிதச் சார்புக்கும் உள்ள உறவைக்காட்டி இரமானுசன் இச்சார்பை உலகுக்கு அறிமுகப்படுத்தினார்.

டௌ-சார்பு அறிமுகம்

பிரச்சினையின் தொடக்கம் மிகச் சுவையானது.

ஒரு நேர்ம முழு எண் $n$ க்கு $x^2 + y^2 = n$ ஆக இருக்கும்படி $x, y$ க்கு எத்தனை முழு எண் தீர்வுகள் இருக்கமுடியும்? வரிசைக்கிரம வேறுபாடோ, $+ , -,$ வேறுபாடோ இருந்தால் அதையும் தனித்தனி தீர்வாகவே எண்ணவேண்டும். இந்த எண்ணிக்கையை $r_2(n)$ என்று குறிப்பது வழக்கம். இதேபோல் $r_k(n)$ என்பது ஒரு நேர்ம முழு எண்ணை எத்தனை விதமாக முழு எண்களின் $k$-அடுக்குகளின் தொகையாகச் சொல்லமுடியும் என்ற எண்ணிக்கையைக் குறிப்பது.

எ.கா.1:

$18 = 3^2 + 3^2$

$= (-3)^2 + 3^2$

$= 3^2 + (-3)^2$

$= (-3)^2 + (-3)^2.$ வேறு விதமாக இரண்டு வர்க்கங்களாக எழுதமுடியாது. $\therefore r_2 (18) = 4$.

எ.கா. 2:

$5 = (\pm 2)^2 + (\pm 1)^2$

$= (\pm 1)^2 + (\pm 2)^2$ $\therefore r_2(5) = 8.$

எ.கா. 3:

$4 = (\pm 2)^2 + (0)^2 + (0)^2$

$= (0)^2 + (\pm 2)^2 + (0)^2$

$= (0)^2 + (0)^2 + (\pm 2)^2. \therefore r_3(4) = 6.$

நான்காம் நூற்றாண்டில் டயொஃபாண்டஸ் என்ற கிரேக்க கணித இயலர் n = 4q - 1 உருவத்திலுள்ள எந்த முழு எண்ணும் இரண்டு வர்க்கங்களின் தொகையாக இருக்கமுடியாது என்று அறிந்தவர். 1632 இல் ஜிரார்ட் என்பவர் ஒரு யூகத்தை முன்மொழிந்தார்: அதாவது,

முழு எண் $n$ இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகையாக இருக்கவேண்டுமானால் அதற்கு இலக்கணம்:

$n$ இனுடைய காரணிகளில், $q = 3(mod 4)$ உருவத்தில் உள்ள எல்லாப் பகாக் காரணிகளும் $n$ இல் இரட்டைப்படை அடுக்காக இருந்தாகவேண்டும்.

இதற்கு ஆய்லர் 1749 இல் நிறுவலளித்தார். (ஃபெர்மா வும் 1641இல் ஒரு நிறுவல் காட்டியதாக சொல்லப்படுகிறது.)

1798 இல் லெஜாண்டரும், 1801 இல் காஸும் $r_2(n)$ க்கு வாய்பாடுகள் கொடுத்தனர்.

1621 இல் பாஷெ ஒரு யூகத்தை முன்வைத்தார்:

ஒவ்வொரு நேர்ம முழு எண்ணையும் நான்கு முழு எண் வர்க்கங்களின் தொகையாகக்காட்டலாம்.

இது டயோஃபாண்டஸுக்கே தெரிந்திருந்தாலும் இருக்கும். 1770 இல் லக்ராண்ஜி தான் இதற்கு நிறுவலளித்தார்.

1829 இல் ஜாகோபி உயர்தர கணிதத்தைச் சார்ந்ததான நீள்வட்டச்சார்புகளையும் தீட்டா சார்பு களையும் பயன்படுத்தி k = 2,4,6,8 மதிப்புகளுக்கு $r_k(n)$க்கு வாய்பாடுகள் அளித்தார்.

ஜாகோபியின் வாய்பாடுகள்:

$r_2(n) = 4\{d_1(n) - d_3(n)\};$

$r_4(2n) = 24 \sigma^{0}(n);$

$r_4(2n-1) = 8 \sigma(2n-1).$

இங்கெல்லாம் $d_1(n) = n$ இனுடைய (4m+1)-வகைக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை;

$d_3(n) = n$ இனுடைய $(4m+3)-$வகைக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை;

$\sigma^{0}(n) = n$ இனுடைய ஒற்றைப்படைக் காரணிகளின் கூட்டல் தொகை;

$\sigma(n)= n$ இனுடைய எல்லாக் காரணிகளின் கூட்டல் தொகை.

இவையெல்லாவற்றையும் அறிந்தோ அறியாமலோ இராமானுசன் 1916 இல் ஒரு விந்தையளிக்கும் வாய்பாடை பிரசுரித்தார்:

$r_{24}(n)$ = $\frac{16}{691}\sigma_{11}^*(n) - \frac{128}{691} \{(-1)^{n-1}259 \tau(n) -512\tau(n/2)\}$

இங்கு $\sigma_{11}^*(n) = (-1)^n \sum_{d|n}(-1)^d d^{11}$.

இங்குதான் இராமானுசன் டௌ-சார்பை அறிமுகப்படுத்தினார். அது இன்று எண்கோட்பாட்டின் எல்லைகளையும் தாண்டி இயற்கணித இடவியல், மற்றும் இன்னும் சில கணிதப் பிரிவுகளை ஆக்கிரமித்துவிட்டது. இப்பிரிவுகளே இராமானுசன் காலத்திற்கு மிகப்பிற்காலத்தியவை.

டௌ-சார்பு வரையறை

$\tau(n)$ என்பது ஒரு முடிவுறாச் சரத்தில் $x^n$ இன் கெழு. இந்த முடிவுறாச் சரமே ஒரு முடிவுறாப் பெருக்கீட்டின் விரிபாடு. அதாவது,

$\sum_{n=1}^\infty \tau(n)x^n = \{x (1 - x) (1 - x^2) (1 - x^3) ... ...\}^{24}$

இதிலிருந்து $\tau(1) = 1$

$\tau(2) = -24$

$\tau(3) = 252$

$\tau(4) =-1472$

$\tau(5) = 4830$

$\tau(6) =-6048$

$\tau(7) = -16744 .....$

என்று தெரிந்துகொள்ளலாம்.

டௌ-சார்பைப்பற்றி இராமானுசன்

• $n_1, n_2$ இன் உ.பொ.அ. = 1 ஆக இருந்தால், $\tau(n_1)\tau(n_2) = \tau(n_1 n_2)$.

இது இராமானுசனுடைய யூகம். இதற்கு நிறுவல் 1917 இல் மார்டெல் ஆல் கொடுக்கப்பட்டது.

• $\tau(n)$ இன் சமானப் பண்புகள் இராமானுசனால் தீர்மானிக்கப்பட்டன. அதற்கு அவர் எடுத்துக் கொண்ட மட்டுக்கள் (Moduli) ஆறே ஆறு தான். அவை: 2,3,5,7, 23, 691. எடுத்துக் காட்டாக, அவைகளில் ஒரு சமானம்:

$\tau(n) = \sigma_{11}(n)mod 691$. இங்கு $\sigma_{11}(n) = sum_{d|n}d^{11}.$

• இந்த 6 மட்டுக்களைத்தவிர வேறு ஒரு எண்ணும் ஏன் மட்டுக்களாக எடுத்துக் கொள்ளப்படவில்லை என்பதை நூற்றாண்டின் பிற்பாதியில்தான் கணித இயலர்கள் அறிந்துகொண்டார்கள். இவ்வாறு எண்களத் தவிர வேறு ஓர் எண்ணுடனும் $\tau(n)$க்கு சமான உறவு இல்லையாம்! இதுவும் எண்கோட்பாட்டின் தேற்றங்களிலிருந்து வரும் உண்மையல்லவாம்; இராமானுசன் காலத்தில் இல்லாத இயற்கணித வடிவவியல் என்று இருபதாம் நூற்றாண்டின் பிற்பாதியில் பிரபலமான ஒரு கணிதப் பிரிவின் தற்கால வெளிப்பாடுகளிலிருந்து வரும் முடிவு!

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்

துணைநூல்கள்

• S. Ramanujan. Transactions of the Cambridge Philos. Society. 22 (1916)pp.159-184

• E. Grosswald. Representations of Integers as Sums of Squares. 1985. Springer, New York.

• V. Krishnamurthy. Culture, Excitement and Relevance of Mathematics.1990. Wiley Eastern. New Delhi.