நுண்கணிதத்தில் வகையிடலின் வகுத்தல் விதி அல்லது சுருக்கமாக வகுத்தல் விதி (quotient rule) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்று. இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகளின் விகிதமுறு சார்பாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காணும் முறையை இவ்விதி தருகிறது.[1][2][3]
இவ்விதியின் கூற்று:
எனில் அதன் வகைக்கெழு,
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45c7e05d3e8269911e3c725d6dc9e5e90021c7b)
இவ்விதியை இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கும் நீட்டிக்கலாம்:
என்பதை
![{\displaystyle f(x)=g(x)(h(x))^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7206f302f9cad0148e3a0bd0d369b7ef2aab8894)
என எடுத்துக் கொண்டு வகையிடலின் பெருக்கல் விதியையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி இருமுறை வகையிட:
![{\displaystyle f''(x)={\frac {g''(x)[h(x)]^{2}-2g'(x)h(x)h'(x)+g(x)[2[h'(x)]^{2}-h(x)h''(x)]}{[h(x)]^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a018f25b11b0bf5ab20b0927eb176bea50e1a7d)
லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:
,
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{du}}}{v^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d20d1ee170a5ed4e71d3491a3229f4386b5203)
எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]
இன் வகைக்கெழு:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b280ee6e5afab6b90189553b9a8e12be5cbcc5f6)
இன் வகைக்கெழு:
![{\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33a8c97afe86e4a2d3170778a2f956105def5b0)
இன் வகைக்கெழு:
![{\displaystyle h(x)=x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d012ac11018c98f929101485863b034e47047682)
.
வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்த:
![{\displaystyle f'(x)={\frac {\left(4x\cdot x^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot 3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}}={\frac {4x^{4}-6x^{4}}{x^{6}}}={\frac {-2x^{4}}{x^{6}}}=-{\frac {2}{x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafe2e4d9b798cf4c3b20e8d6e11ff9dec3aa693)
இச் சார்பை அடுக்குக்குறி விதிகளையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்திப் பின்வருமாறும் வகையிடலாம்:
![{\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{3}}}={\frac {2}{x}}=2x^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43b513a2fa03f6245c62ab200d07f1b0a0aeb65)
![{\displaystyle f'(x)=-2x^{-2}=-{\frac {2}{x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b16c9322ad6e35195f74860899199016d0c7c5b)
குறைபாடு[தொகு]
ஒரு விகிதமுறு சார்பின் தொகுதியிலுள்ள சார்பும் பகுதியிலுள்ள சார்பும் தனித்தனியே வகையிட முடியாதவையாக இருந்தால் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி அச்சார்பை வகையிட முடியாது. ஆனால் அந்த விகிதமுறு சார்பு முழுமையாகத் தனியே வகையிடக் கூடியதாக இருக்குலாம்.
எடுத்துக்காட்டு:
|x| என்பது x இன் தனிமதிப்பு.
இச்சார்பை
என எடுத்துக்கொண்டால் இதனை வகையிடுதல் சாத்தியமாகும்.
இதன் வகைக்கெழு,
![{\displaystyle f'(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d0a1b41cfebaf9ce720ec45fa5b14361711d43)
ஆனால் இதே சார்பை,
இல் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி வகையிட முயன்றால், வரையறுக்கப்படாத மதிப்பே விடையாகக் கிடைக்கும். ஏனெனில் |x| இன் மதிப்பு x = 0 இல் வரையறுக்கப்படவில்லை.
நிறுவல்கள்[தொகு]
அடிப்படைக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்[தொகு]
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}};\qquad h(x)\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f011e05a6bc2bd77cdab2153ad995a58d4e930b0)
இரண்டும் வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில்:
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca3d8269580acf29b400e59de00497d072838f0)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be85334abb92dd1f323719ab818f116a9cd870d)
தொகுதியில்
ஐக் கூட்டிக் கழிக்க,
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1acbec03d8eff19d3f0448a8db4354f928080594)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99aa94efa699a20044e530f97bdadb1e224c3c81)
![{\displaystyle ={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e955fa825806f945cff5ec4de3916f2bef78bdf4)
வகைக்கெழுக்களின் வரையறைப்படி,
![{\displaystyle ={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c052044209e96b2824a60be415ce8d286e6b11c3)
சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்[தொகு]
![{\displaystyle {\frac {u}{v}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4555ad7d9e766c049029537a2ffb87e52593033e)
இந்த முற்றொருமையை
ஐப் பொறுத்து வகையிட:
![{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3230f86bb4053ec365b4a5395f0e022bdfbba2e7)
வலப்புற வகையிடலுக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:
![{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[2\left(u+{\frac {1}{v}}\right)\left({\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{v^{2}dx}}\right)-\;2\left(u-{\frac {1}{v}}\right)\left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{v^{2}dx}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f6a3953dd4438ffe6a97bf5627bb6584599e38)
வலப்புறம், பெருக்கிச் சுருக்க:
![{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[{\frac {4}{v}}{\frac {du}{dx}}-{\frac {4u}{v^{2}}}{\frac {dv}{dx}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84d0ecc7433bad875671fe1246d92d1b5cfa380)
![{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {\left[v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}\right]}{v^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49667be4d37ce7ad1a348874e22737348a1d254f)
பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்[தொகு]
எனில்,
பெருக்கல் விதியையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி வகையிட,
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=u'v^{-1}-v^{-2}uv'={\frac {u'}{v}}-{\frac {uv'}{v^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2276b3a2d7efa645628b6eff156f136c4187f0c7)
தொகுதி, பகுதி இரண்டையும்
ஆல் பெருக்க வகையிடலின் வகுத்தல் விதி கிடைக்கிறது.
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {vu'}{v^{2}}}-{\frac {uv'}{v^{2}}}={\frac {vu'-uv'}{v^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1950f3bda3db91efab76c5b49dfcc5e8e5be72d5)
மேற்கோள்கள்[தொகு]