பல்லுறுப்புத் தேற்றம்

கணிதத்தில் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் (multinomial theorem) என்பது ஒரு கூட்டுத்தொகையின் அடுக்கினை அக்கூட்டுத்தொகையிலுள்ள உறுப்புகளின் அடுக்குகளின் மூலம் எவ்வாறு விரித்தெழுதலாம் என விளக்குகிறது. இத்தேற்றம் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

தேற்றம்

m ஒரு நேர்ம முழு எண்; n ஒரு எதிர்மமல்லா முழு எண் எனில்:

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{t=1}^{m}x_{t}^{k_{t}}\,,$

இதில் ${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}$ ஒரு "பல்லுறுப்புக் கெழு" அல்லது "பல்லுறுப்புக் குணகம்" ஆகும். இந்த விரிவின் ஒவ்வொரு உறுப்பிலுமுள்ள x_i இன் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை n ஆக இருக்கும். மேலும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் போலவே இத்தேற்றத்திலும் x⁰ என்ற வடிவிலுள்ளவற்றின் மதிப்பு 1 ஆக எடுத்துக்கொள்ளப்படும் (x = 0 ஆக இருந்தாலும் கூட).

m = 2 ஆக இருக்கும் போது பல்லுறுப்புத் தேற்றமானது ஈருறுப்புத் தேற்றமாகிவிடும்.

எடுத்துக்காட்டு

மூவுறுப்புக்கோவை a + b + c இன் மூன்றடுக்கின் விரிவு:

$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.$

$(a+b+c)^{3}$ இன் விரிவை கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்பைப் பயன்படுத்திக் காணமுடியும். என்றாலும் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவுபடுத்தல் எளிதாக இருக்கும். ஏனென்றால் இத்தேற்றத்தின்படி பல்லுறுப்புக் கெழுக்களைக் கணக்கிடல் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக:

$a^{2}b^{0}c^{1}$ இன் கெழு ${3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.$

$a^{1}b^{1}c^{1}$ இன் கெழு ${3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.$

மாற்று வடிவம்

பல்லடுக்குகளைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தின் கூற்றைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }$

இதில்,

$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m})$

மற்றும்

$x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}$

நிறுவல்

ஈருறுப்புத் தேற்றம் மற்றும் m மீதானக் கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புத் தேற்றம் இங்கு நிறுவப்படுகிறது.

கணிதத் தொகுத்தலறிதல் முறையின் படிநிலைகள்:

• படிநிலை 1

m = 1, எனில் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் இருபுறமும் x₁ⁿ என சமமாக உள்ளன.

• படிநிலை 2

m இற்குப் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் உண்மையெனக் கொண்டு m + 1 மதிப்பிற்கும் தேற்றம் உண்மையாகிறது என கீழே நிறுவப்படுகிறது:

${\begin{aligned}&(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\end{aligned}}$

வலப்புறமுள்ள கடைசி காரணியை ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிக்க:

$=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}$

${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},$ என்பதால்

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}$

எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையின் இரண்டாம் படிநிலையும் நிறுவப்பட்டு பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் நிறுவல் நிறைவுறுகிறது.

பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள்

பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் வலப்பக்க விரிவில் இடம்பெறும் உறுப்புக்களின் எண் கெழுக்கள் :${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}$ "பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள்" அல்லது "பல்லுறுப்புக் குணகங்கள்" என அழைக்கப்படுகின்றன. இவற்றின் வாய்பாடு:

${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}$

பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் கூட்டுத்தொகை: பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவிலுள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்:

$\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}=m^{n}.$

விளக்கம்:

பல்லுறுப்புத் தேற்றம்:

$\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}$

இதில் $x_{i}=1,(\forall i)$ எனப் பதிலிட:

$\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}=m^{n}.$

சேர்வியல் விளக்கம்:

பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் மதிப்பு வெவ்வேறான n பொருட்களை, வெவ்வேறான m பெட்டிகளில் போடும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும். இதில், முதல் பெட்டியில் k₁ பொருட்களும் இரண்டாவது பெட்டியில் k₂ பொருட்களும் மூன்றாவது பெட்டியில் k₃ பொருட்கள் என்று பொருட்கள் பெட்டிகளில் போடப்பட வேண்டும்