இசை வகுத்தி எண்

கணிதத்தில் இசை வகுத்தி எண் (harmonic divisor number) அல்லது ஓரே எண் (Ore number) என்பது, தனது வகுஎண்களின் இசைச் சராசரியை ஒரு முழு எண்ணாகக் கொண்டதொரு இயல் எண்ணாகும். இவ்வெண்கள் "ஆய்ச்தீன் ஓரே" (Øystein Ore) என்ற நார்வே கணிதவியலாளரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இவர், ஒவ்வொரு செவ்விய எண்ணும் ஒரு இசை வகுத்தி எண்ணாக இருக்கும் என்பதை நிறுவியுள்ளார். மேலும் 1 ஐத் தவிர வேறெந்ததொரு ஒற்றை இசை வகுத்தி எண்ணும் இல்லை என்ற ஊகத்தையும் முன்வைத்துள்ளார். இக்கணிதயவியலாளரின் பெயரால் இசை வகுத்தி எண்கள், ஓரே எண்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன.

முதல் இசை வகுதி எண்கள் சில:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 (OEIS-இல் வரிசை A001599)

.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• 6 ஒரு இசை வகுத்தி எண். ஏனெனில் அதன் வகுஎண்களின் இசைச் சராசரி 2, ஒரு முழுஎண்.

6 இன் வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6.

இவற்றின் இசைச் சராசரி:

$${\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2.$$

• 140 ஒரு இசை வகுத்தி எண். ஏனெனில் அதன் வகுஎண்களின் இசைச் சராசரி 5, ஒரு முழுஎண்.

140 இன் வகுஎண்கள்: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140.

இவற்றின் இசைச் சராசரி:

$${\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5.$$

இசைச் சராசரியின் காரணியாக்கம்

n என்ற எண்ணின் இசைச் சராசரி H(n):

$$H(n)={\frac {n\sigma _{0}(n)}{\sigma _{1}(n)}}$$

இதில், σ_i(n) = n இன் வகுஎண்களின் i ஆவது அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை; σ₀ = வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை; σ₁ = வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை (Cohen 1997).

மேலேயுள்ள வாய்பாட்டிலுள்ள எல்லா உறுப்புகளும் முழுமையான பெருக்கல் சார்பு அல்லாத பெருக்கல் சார்புகளாக இருப்பதால் இசைச் சராசரி H(n) உம் பெருக்கல் சார்பாக இருக்கும்.

எனவே n ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், n இன் காரணியாக்கத்திலுள்ள பகா அடுக்குகளின் இசைச் சராசரிகளின் பெருக்கற்பலனாக H(n) ஐ எழுதலாம்:

எடுத்துக்காட்டாக,

$$H(4)={\frac {3}{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {12}{7}},$$

$$H(5)={\frac {2}{1+{\frac {1}{5}}}}={\frac {5}{3}},$$

$$H(7)={\frac {2}{1+{\frac {1}{7}}}}={\frac {7}{4}},$$

$$H(140)=H(4\cdot 5\cdot 7)=H(4)\cdot H(5)\cdot H(7)={\frac {12}{7}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {7}{4}}=5.$$

இசை வகுத்தி எண்களும் செவ்விய எண்களும்

குசேனைரே கோல்கள் மூலம் எண் 6 ஒரு செவ்விய எண் என விளக்கும் படம்

எந்தவொரு முழுஎண் M க்கும் அதன் இசைச் சராசரி, கூட்டுச் சராசரி ஆகிய இரண்டின் பெருக்கற்பலன் அதே முழுவெண் M ஆகவே இருக்குமெனெக் கணிதவியலாளர் "ஓரே" கண்டுபிடித்தார். எனவே தனது வகுஎண்களின் இசைச் சராசரியாக k ஐ உடைய ஒரு எண் M இன் வகுஎண்களின் சராசரியானது, M மற்றும் அலகுப் பின்னம் 1/k இன் பெருக்கமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", M ஒரு இசை வகுத்தி எண்ணாக இருக்கமுடியும்.

ஒவ்வொரு செவ்விய எண்ணும் இசை வகுதி எண்ணாகவும் இருக்கும் என்பதை "ஓரே" நிறுவினார்.

M ஒரு செவ்விய எண் எனில் அதன் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை = 2M;

M இன் வகுஎண்களின் சராசரி = M(2/τ(M)); τ(M) = M இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை

M ஒரு வர்க்க எண்ணாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", τ(M) ஆனது ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும். அல்லது τ(M) ஆனது இரட்டை எண்ணாக இருந்தால், M இன் ஒவ்வொரு வகுஎண் d ஐ மற்றொரு வகுஎண் M/d உடன் சோடிசேர்க்க முடியும்.

ஆனால் எந்தவொரு செவ்விய எண்ணும் வர்க்க எண்ணாக இருக்காது.

எனவே ஒரு செவ்விய எண் M இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை τ(M), இரட்டையெண்ணாக இருப்பதோடு M இன் சாரசரியின் மதிப்பு, அலகுபின்னம் 2/τ(M) உடனான பெருக்கற்பலன்ஆகவும் இருக்கும்.

ஃ M ஒரு இசை வகுத்தி எண்.

கணினி ஆய்வுகள்

டபிள்யூ. ஹெச். மில்ஸ், 1 ஐ விடப் பெரிய ஒற்றை இசை வகுத்தி எண்கள் இருந்தால் அவற்றுக்கு 10⁷ ஐ விடப்பெரிய ஒரு பகா அடுக்குக் காரணி இருக்கவேண்டுமெனக் கண்டுபிடித்தார். கோகென் அத்தைகைய எண்கள் குறைந்தபட்சமாக மூன்று வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டுமெனக் கண்டுபிடித்தார். கோகெனும் சொர்லியும்,10²⁴ ஐ விடச் சிறிய ஒற்றை இசை வகுத்தி எண்கள் இருக்கமுடியாது என்பதை நிறுவினர். (Cohen & Sorli 2010)

"ஓரே" முதல் கோகென், கோட்டொ வரையிலான கணிதவியலாளர்கள் இசை வகுத்தி எண்களைப் பட்டியலிடுவதற்கு கணினி ஆய்வுகளை மேற்கொண்டனர். இவ்வாய்வுகளின் விளைவாக 2 × 10⁹ வரையிலான இசை வகுத்தி எண்கள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன. இவ்வெண்களுக்கான அதிகபட்ச இசைச் சராசரி 300 ஆகத்தான் இருக்கவேண்டுமென்பதும் அறியப்பட்டுள்ளது.

மேற்கோள்கள்

• Bogomolny, Alexander. "An Identity Concerning Averages of Divisors of a Given Integer". பார்க்கப்பட்ட நாள் 2006-09-10.
• Cohen, Graeme L. (1997). "Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean". Mathematics of Computation 66 (218): 883–891. doi:10.1090/S0025-5718-97-00819-3. https://www.ams.org/mcom/1997-66-218/S0025-5718-97-00819-3/S0025-5718-97-00819-3.pdf. 
• Cohen, Graeme L.; Sorli, Ronald M. (2010). "Odd harmonic numbers exceed 10²⁴". Mathematics of Computation 79 (272): 2451. doi:10.1090/S0025-5718-10-02337-9. பன்னாட்டுத் தர தொடர் எண்:0025-5718. 
• Goto, Takeshi. "(Ore's) Harmonic Numbers". பார்க்கப்பட்ட நாள் 2006-09-10.
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். B2. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
• Muskat, Joseph B. (1966). "On Divisors of Odd Perfect Numbers". Mathematics of Computation 20 (93): 141–144. doi:10.2307/2004277. https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1966-01_20_93/page/141. 
• Øystein Ore (1948). "On the averages of the divisors of a number". American Mathematical Monthly 55 (10): 615–619. doi:10.2307/2305616. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1948-12_55_10/page/615. 
• Weisstein, Eric W., "Harmonic Divisor Number", MathWorld.