லாபிதாலின் விதி

கணிதத்தில் லாபிதாலின் விதி (l'Hôpital's rule, l'Hospital's rule) தேரப்பெறா வடிவங்களைக் கொண்டுள்ள சார்புகளின் எல்லை மதிப்புகளைக் காணப் பயன்படுகிறது. இவ்விதி, பெர்னொலியின் விதி (Bernoulli's rule) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. இவ்விதியைப் பயன்படுத்தும்போது, சார்புகளிலுள்ள தேரப்பெறா வடிவங்கள் தேரப்பெறும் வடிவங்களாக மாற்றமடைவதால் அச் சார்பின் எல்லை மதிப்பைக் கணக்கிடுவது எளிதாகி விடும். வகைநுண்கணிதத்தின் முதல் பாடப் புத்தகத்தில் (Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes , Analysis of the Infinitely Small for the Understanding of Curved Lines, 1696) இவ் விதியினை வெளியிட்ட 17 ஆம் நூற்றாண்டின் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் (Guillaume de l'Hôpital) இன் பெயரால் இவ்விதி அழைக்கப்படுகிறது. எனினும் இவ்விதியைக் கண்டறிந்தவர் சுவிட்சர்லாந்து நாட்டின் கணிதவியலாளர் ஜோகன் பெர்னொலி எனவும் நம்பப்படுகிறது.

c ஐக் கொண்டுள்ள திறந்த இடைவெளி I.

I \ {c} -இல் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் f மற்றும் g.

இவ்விரு சார்புகளுக்கான லாபிதாலின் விதி:

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty$ ஆகவும், $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$   எல்லை காணத்தக்கதாகவும், x = c, தவிர்த்த I இன் அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் $g'(x)\neq 0$ ஆகவும் இருக்குமெனில்:

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$.

சார்பின் தொகுதி, பகுதிகளை வகையிடும்போது, பின்னவடிவம் அல்லது தேரப்பெறா வடிவம் இல்லாத சார்பாக மாற்றமடையும். இதனால் சார்பின் எல்லை மதிப்பினை எளிதாகக் கணக்கிட முடிகிறது.

பொதுவடிவம்

லாபிதாலின் விதியின் பொதுவடிவம்:

c, L இரண்டும் நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண்கள். மெய்மதிப்புச் சார்புகள் f மற்றும் g இரண்டும் c ஐ முனைப்புள்ளியாகக் கொண்ட திறந்த இடைவெளியில் வகையிடத்தக்கவையாகவும், அந்த இடைவெளியில் $g'(x)\neq 0$ எனவும், $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.$ கொள்ளப்படுகிறது.

$\lim _{x\to c}{f(x)}=\lim _{x\to c}g(x)=0$ (அல்லது)

$\lim _{x\to c}{|f(x)|}=\lim _{x\to c}{|g(x)|}=\infty$ எனில்,

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.$

$\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ காணத்தக்கதாக இருக்கவேண்டிய அவசியம்

லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தும்போது $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ என்ற எல்லை மதிப்புக் காணத்தக்கதாக இருக்கவேண்டியது அவசியமான ஒன்று. இந்த எல்லை மதிப்பு காண முடியாததாக இருப்பின் லாபிதால் விதியைப் பயன்படுத்த இயலாது.

எடுத்துக்காட்டு:

$f(x)=x+\sin(x),$ $g(x)=x$ எனில்,

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1+\cos x}{1}};$

இதிலுள்ள கொசைன் சார்பின் மதிப்பு 1க்கும் −1 க்கும் இடையே அலைவதால் இந்த எல்லைக்கு மதிப்பு அமைவதில்லை. ஆகவே லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தி மூலச் சார்புக்கு எல்லை காண முடியாது.

ஆனால் நேரிடையாகவே மூலச் சார்பின் வடிவமைப்பில் சில மாற்றங்களைக் செய்வதன் மூலம் கீழ்க்கண்டவாறு எல்லை காண முடிகிறது:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {\sin x}{x}}\right)=1$.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $\lim _{x\to 0}\operatorname {sinc} (x)$

$=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin \pi x}{\pi x}}$

$=\lim _{y\to 0}{\frac {\sin y}{y}}$ (⁰⁄₀)

$=\lim _{y\to 0}{\frac {\cos y}{1}}$ (லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த)

$=1.$

• ஒருமுறை லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்திய பின்னும் தேரப்பெறா வடிவம் கிடைத்தால், மறுபடியும் லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம். தேரப்பெறா வடிவம் நீங்கும்வரை இவ்விதியை மீண்டும் பயன்படுத்தலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

$\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin x-\sin 2x}{x-\sin x}}$ (⁰⁄₀)

$=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos x-2\cos 2x}{1-\cos x}}$(லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த)

$=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin x+4\sin 2x}{\sin x}}$(⁰⁄₀)

$=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos x+8\cos 2x}{\cos x}}$(மீண்டும் லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த)

$={\frac {-2+8}{1}}$

$=6.$

• b > 0 எனில்,

$\lim _{x\to 0}{\frac {b^{x}-1}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {b^{x}\ln b}{1}}=\ln b\lim _{x\to 0}{b^{x}}=\ln b.$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1-x}{x^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{2x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2}}={\frac {1}{2}}.$

• இந்த எடுத்துக்காட்டு தேரப்பெறா வடிவம் ^∞⁄_∞ கொண்டுள்ளது. n நேர் முழு எண் எனில்,

$\lim _{x\to \infty }x^{n}e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}.$

அடுக்கு, பூச்சியமாகும்வரை லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தினால் இறுதியில் எல்லையின் மதிப்பும் பூச்சியமாகக் கிடைக்கும்

• ^∞⁄_∞ வடிவில் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு:

$\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{1/x}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1/x}{-1/x^{2}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.$

சிக்கல்கள்

• சில சமயங்களில் எல்லை காணும்போது தேரப்பெறா வடிவை நீக்க லாபிதாலின் விதியை அதிக தடவைகள் பயன்படுத்த வேண்டியிருக்கலாம். அதற்குப் பதில் சார்பின் மாறியைத் தகுந்த பதிலிடல் முறையில் மாற்றி அமைத்தால் லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தப்பட வேண்டிய தடவைகளின் எண்ணிக்கைக் குறைக்கப்பட்டு, எல்லை காண்பது எளிதாகும்.

எடுத்துக்காட்டு:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\dots .$

இந்த எல்லைக் கணக்கிடலில் லாபிதாலின் விதியை இரண்டாவது தடவை பயன்படுத்தும்போது மீண்டும் சார்பின் மூல வடிவமே கிடைக்கிறது.

இதனைத் தவிர்க்க $y=e^{x}$ என பதிலிட, ஒரு தடவை மட்டும் லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தினால் போதும், தரப்பட்ட சார்பின் எல்லையைக் காண முடிகிறது:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.$

• எத்தனை முறை விதியைப் பயன்படுத்தினாலும் எல்லை காண முடியாதிருத்தல்

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{1/2}+x^{-1/2}}{x^{1/2}-x^{-1/2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {{\tfrac {1}{2}}x^{-1/2}-{\tfrac {1}{2}}x^{-3/2}}{{\tfrac {1}{2}}x^{-1/2}+{\tfrac {1}{2}}x^{-3/2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {-{\tfrac {1}{4}}x^{-3/2}+{\tfrac {3}{4}}x^{-5/2}}{-{\tfrac {1}{4}}x^{-3/2}-{\tfrac {3}{4}}x^{-5/2}}}\dots .$

இந்த எடுத்துக்காட்டில் லாபிதாலின் விதியை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்தினாலும் எல்லை காணக்கூடிய நிலையை அடைய முடிவதைல்லை.

இதனைத் தவிர்க்க $y=x^{1/2}$ என்ற பதிலிடல் உதவுகிறது:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{1/2}+x^{-1/2}}{x^{1/2}-x^{-1/2}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.$

• லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தும்போது வேறு சிக்கல்களும் ஏற்படலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

$\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}.$

இந்த வகைக்கெழு வாய்ப்பட்டை லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தி எளிதாக நிறுவலாம் என்பது போலத் தோன்றும். ஆனால் அவ்வாறு செய்ய முனைந்தால், லாபிதாலின் விதி கொண்டு எந்த வாய்ப்பாட்டை நாம் நிறுவ முயற்சிக்கிறோமோ அந்த வாய்ப்பாட்டையே, நிறுவப்படுமுன் பயன்படுத்தும் சிக்கல் எழுகிறது. இது சரியான முறையாகாது.

பிற தேரப்பெறா வடிவங்களுக்கு

1^∞, 0⁰, ∞⁰, 0 × ∞, ∞ − ∞ போன்ற தேரப்பெறா வடிவங்களில் அமைந்த சார்புகளின் எல்லை காண்பதற்கும் லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• ∞ − ∞ வடிவம்

∞ − ∞ வடிவில் அமைந்த சார்பின் எல்லை காண, அதனை இரு பின்ன வடிவச் சார்புகளின் வித்தியாசமாக மாற்றியமைத்து இவ்விதியைப் பயன்படுத்தலாம்:

${\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}&\quad (1)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}&\quad (2)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}&\quad (3)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}&\quad (4)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{2+\ln x}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}},\end{aligned}}$

லாபிதாலின் விதி (1) இலிருந்து (2) மற்றும் (3) இலிருந்து (4) ஆவது படிக்குச் செல்லும்போது பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

• 0⁰ வடிவம்:

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}.$

$\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x$ (0×∞ வடிவம்)

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}$ (∞/∞ வடிவிற்கு மாற்றி லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த)

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{\frac {-1}{x^{2}}}}$

$\lim _{x\to 0^{+}}-x=0$

எனவே,

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1.$