பெருக்குத் தொடர்

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... பெருக்குத் தொடர் வெளிர் நாவல்நிறச் சதுரங்களாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு வெளிற்நாவல்நிறச் சதுரத்தின் பரப்பளவும் அதற்கடுத்த சதுரத்தின் பரப்பளவில் 1/4 பங்காக இருக்கும். (1/2×1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, ...). இந்த வெளிர்நாவல்நிறச் சதுரங்களின் மொத்தப்பரப்பளவு மிகப்பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவில் மூன்றில் ஒரு பங்காக இருக்கும்.

மற்றொரு பெருக்குத் தொடர்: முதல் உறுப்பு: a = 4/9; பொதுவிகிதம் r = 1/9; உறுப்புகள் வெளிர்நாவலநிறச் சதுரங்களாகக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அச்சதுரங்களின் மொத்தப் பரப்பளவு: S = a / (1 - r) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2. இம்மதிப்பை, மூல அலகுs சதுரத்தை முடிவிலா L-வடிவப் பரப்பளவுகளாகவும் அவை ஒவ்வொன்றையும் நான்கு வெளிர்நாவல்நிறச் சதுரங்களாகவும் நான்கு மஞ்சள் சதுரங்களாகவும் பிரித்துக் காண்பதன் மூலம் சரிபார்க்கலாம்.

1 + r + r² + r³ ... என்ற பெருக்குத் தொடரின் முதல் ஏழு உறுப்புகள் சார்புகளாக வரையப்பட்டுள்ளன (|r| < 1). மூடிய-வடிவத் தொடரின் வரைபடம் கருப்பு இடையிட்டக் கோட்டால் காட்டப்பட்டுள்ளது.

கணிதத்தில், பெருக்குத் தொடர் (geometric series) என்பது அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கு இடையேயான விகிதம் மாறாத எண்ணாகவுள்ள முடிவிலாப் பெருக்குத் தொடர்முறையின் உறுப்புகளின் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டலாகும்.

எடுத்துக்காட்டு:கீழுள்ள தொடர்

${\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots$ என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடராகும்.

இதன் ஒவ்வொரு தொடரும் உறுப்பும் அதன் முந்தைய உறுப்பை $1/2$ ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் எண்ணாகவுள்ளது.. ஒரு பெருக்குத்தொடரின் பொதுவடிவம்:

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...$; $a$முதல் உறுப்பு; இரு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கிடையிலான பொதுவிகிதம் $r$.

கணிதத்தில் முழுமையாக இடம்பெற்றுள்ள பெருக்குத் தொடரானது, நுண்கணிதத்தின் வளர்ச்சியிலும் முக்கிய பங்கபெற்றுள்ளது. மேலும் டெய்லர் தொடர், வூரியே தொடர், அணி அடுக்குக்குறிச் சார்பு ஆகியவற்றின் அறிமுகங்களிலும் பயன்பாடுடையது.

கூறுகள்

கெழு-a

பெருக்குத் தொடர், a + ar + ar² + ar³ + ... என விரிவான வடிவில் எழுதப்பட்டுள்ளது. பெருக்குத் தொடரின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கெழுவும் சமமாகவுள்ளது. அடுக்குத் தொடர் a₀ + a₁r + a₂r² + a₃r³ + ... இன் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கெழுவும் (a_i) வெவ்வேறாக உள்ளது. எனவே பெருக்குத் தொடரானது, அடுக்குத் தொடரின் ஒரு சிறப்புவகையாகும். விரித்தெழுதப்பட்டப் பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு, அத்தொடரின் கெழு a ஆகும்.

• விரித்தெழுதும் முறையைத் தவிர பெருக்குத்தொடருக்கு பிறப்பாக்கி வடிவமும் உள்ளது:

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}$

• பெருக்குத் தொடரின் மேலுமொரு வடிவம் மூடிய-வடிவம்:

${\frac {a}{1-r}}{\text{ for }}|r|<1.$

பெருக்குத் தொடரின் மூடிய வடிவிலிருந்து நெடுமுறை வகுத்தல் முறையில் a ஐ (1 - r) ஆல் வகுத்து, a + ar + ar² + ar³ + ... , என்ற அதன் விரிவான வடிவைப் பெறமுடியும்

கணக்கீடுகளின்போது, பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை s என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது:

s = a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ...

பொதுவிகிதம் r

r=1/2; a=1/2 கொண்ட பெருக்குத்தொடரின் ஒருங்குதல்

r=1/2 and a=1 கொண்ட பெருக்குத்தொடரின் ஒருங்குதல்

பெருக்குத் தொடர் a + ar + ar² + ar³ + ... ஆனது இரண்டே இரண்டு அளவுகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது: ஒன்று அதன் கெழு a; மற்றது அதன் பொது விகிதம் r.

ஒரு பெருக்குத்தொடரின் ஏதாவதொரு உறுப்பை அதற்கு முந்தைய உறுப்பால் வகுக்கக் கிடைப்பதே அப்பெருக்குத் தொடரின் பொது விகிதமென அழைக்கப்படுகிறது. பெருக்குத் தொடரின் எந்தவொரு உறுப்பையும் பொது விகிதத்தால் பெருக்க அதற்கடுத்த உறுப்பு கிறைக்கும். கீழுள்ள அட்டவணையில் சில பெருக்குத் தொடர்கள் தரப்பட்டுள்ளன:

a	r	பெருக்குத் தொடர்
4	10	4 + 40 + 400 + 4000 + 40,000 + ···
3	1	3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ···
1	2/3	1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + 16/81 + ···
1/2	1/2	1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ···
9	1/3	9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ···
7	1/10	7 + 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ···
1	−1/2	1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + 1/16 − 1/32 + ···
3	−1	3 − 3 + 3 − 3 + 3 − ···

ஒருங்குதல்

ஒரு பெருக்குத் தொடரின் ஒருங்குதல் அதன் பொதுவிகிதமான r இன் மதிப்பைப் பொறுத்தது:

• If |r| < 1 எனில், பெருக்குத் தொடரின் உறுப்புகளின் தனி மதிப்பு குறைந்து, குறைந்துகொண்டே போய் பூச்சியத்தை நெருங்கும்; பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை a / (1 - r) ஆக, பெருக்குத் தொடர் ஒருங்கும்..

• If |r| = 1எனில், பெருக்குத் தொடர் ஒருங்குவதில்லை.
  • r = 1 எனில், பெருக்குத் தொடரின் உறுப்புகள் அனைத்தும் சமமாக அமைவதோடு தொடரும் முடிவிலியாக இருக்கும்.
  • r = −1 எனில், பெருக்குத் தொடரின் உறுப்புகள் அளவில் சமமானவையாகவும் ஓருறுப்பு விட்டு அடுத்த உறுப்பு குறியில் எதிரானவையாகவும் இருக்கும் எடுத்துக்காட்டாக r=-1; a=2 கொண்ட 2, −2, 2, −2, 2,... பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பு 2, 0, 2, 0, 2,... என இருமதிப்புகளுக்கிடையே மாறுபட்டுக்கொண்டிருக்கும்

• |r| > 1 எனில், உறுப்புகளின் மதிப்பு அளவில் அதிகரித்துக்கொண்டே போகும்; கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பும் அதிகரித்துக்கொண்டே போகும். எனவே, பெருக்குத் தொடரானது ஒருங்குவதில்லை.

மூடிய-வடிவத்தை வடிவவியல்முறையில் தருவித்தல்

பெருக்குத் தொடரின் மூடிய வடிவினை வடிவவியல் முறையில் தருவித்தல்

மேலுள்ள படம்:

• s/a இன் முதல் n+1 உறுப்புகளை ஒன்றுடனொன்று மேற்படிந்த வடிவொத்த முக்கோணங்களாக வரைந்து கொள்ளவேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, மேற்படிந்துள்ள முதலாவது மிகப்பெரிய (சிவப்பு) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: bh/2 = (2)(1)/2 = 1, இதுவே பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு.

• இரண்டாவது மேற்படிந்துள்ள இரண்டாவது பெரிய (பச்சை) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: bh/2 = (2r^1/2)(r^1/2)/2 = r, இது பெருக்குத் தொடரின் இரண்டாவது உறுப்பாகும். தொடரும் ஒவ்வொரு சிறிய முக்கோணத்தின் அளவுகள் r^1/2 காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது. இதனால் முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் தொடர்முறையானது, 1, r, r², r³, ... என்ற தொடர்முறையாகக் கிடைக்கிறது.

நடுவிலுள்ள படம்:

பெரியதிலிருந்து சிறியது என்ற வரிசைப்படி ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் மேற்படிந்த பரப்பளவை நீக்க வேண்டும். இந்தப் பரப்பளவுகள் அந்தந்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவின் r அளவு பின்ன விகிதத்தில் அமைந்திருக்கும். முக்கோணங்களின் மேற்படியாத 1−r பரப்பளவுகளை 1/(1−r) விகிதமாக்க, முன்னதாக மேற்படிந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவாகவும், இப்போது மேற்படியாத சரிவகத்தின் பரப்பளவாகும் உள்ள பரப்பளவானது மாறாதிருக்கும்.

கீழுள்ள படம்:

இவ்வாறு பெறப்பட்ட n+1 மேற்படியாத சரிவகங்களை மேற்படியாத ஒரே சரிவகமாக மாற்றி அதன் பரப்பளவைக் காண, அது பகுதித் தொடரின் மதிப்பைத் தரும். மேலும் அதன் மதிப்பு வெளிப்புறமாக உள்ள மிகப்பெரிய முக்கோணத்தின் பரப்பளவு மற்றும் முனையிலுள்ள வெற்று முக்கோணத்திற்குமான வேறுபாடாக இருக்கும்:

s_n/a = (1−rⁿ⁺¹) / (1−r), இதன் மதிப்பானது, n இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்க, |r| < 1 ஆகவும் இருக்கும்போது s/a = 1/(1−r) ஆகிறது.

கூட்டுத்தொகை

முடிவுறு தொடர்

பெருக்குத் தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையானது பின்வரும் மூடிய-வடிவ வாய்பாட்டால் தரப்படுகிறது:

$${\begin{aligned}s_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n-1}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}\\&={\begin{cases}a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right)&r\neq 1\\an&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}$$

இங்கு r என்பது பெருக்குத் தொடரின் விகிதமாகும்.

நிறுவல் 1

பகுதிக் கூட்டுத்தொகையை (s_n) வருவித்தல்: பல தன் ஒப்புமை உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் இவ்வாய்பாடு பெறப்படுகிறது.

$${\begin{aligned}s_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n-1},\\rs_{n}&=ar^{1}+ar^{2}+\cdots +ar^{n},\\s_{n}-rs_{n}&=ar^{0}-ar^{n},\\s_{n}\left(1-r\right)&=a\left(1-r^{n}\right),\\s_{n}&=a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right),{\text{ for }}r\neq 1.\end{aligned}}$$

நிறுவல் 2

$$\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}.$$

இருபுறமும் 1 − r ஆல் பெருக்க:

$${\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}&=(1-r)\left(ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}\right)\\&=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}-ar^{1}-ar^{2}-ar^{3}-\cdots -ar^{n-1}-ar^{n}\\&=a-ar^{n}\end{aligned}}$$

முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்புகள் தவிர ஏனையவை ஒன்றுக்கொன்று குறியில் மட்டும் எதிராக இருப்பதால் நீங்கிவிடுகின்றன)

r ≠ 1 எனில், 

$$\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}.$$

தொடர்புள்ள வாய்பாடுகள்

தொடர் k=1 அல்லது 0 விலிருந்து தொடங்காமல் $m$ என்ற வேறொரு மதிப்பிலிருந்து தொடங்கினால்,

$${\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}ar^{k-1}&={\begin{cases}{\frac {a(r^{m-1}-r^{n})}{1-r}}&{\text{if }}r\neq 1\\a(n-m+1)&{\text{if }}r=1\end{cases}}\\\sum _{k=m}^{n}ar^{k}&={\begin{cases}a(n-m+1)&{\text{if }}r=1\\{\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}&{\text{if }}r\neq 1\end{cases}}\end{aligned}}$$

முடிவுறாத் தொடர்

n முடிவியை அணுகும்போது இத்தொடர் ஒருங்குவதற்கு r இன் தனி மதிப்பு '1' ஐவிடக் குறைவானதாக இருக்கவேண்டும்.

முடிவுறு தொடரின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து முடிவிலாத் தொடரின் கூட்டுத்தொகையைப் பெறலாம்:

$$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}$$

பெருக்குத் தொடரின் பகுதித் தொகை ஒருங்குவதைக் காட்டும் இயங்கும் படம். $|q|<1$ எனில், பெருக்குத்தொடர் $\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}$ (சிவப்புக்கோடு) ஆனது அதன் கூட்டுத்தொகை ${1 \over 1-q}$ (நீலக்கோடு) ஆக ஒருங்குகிறது.

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ என்ற பெருக்குத்தொடர் 2 ஆக ஒருங்குவதைக் காட்டும் படம்.

$$r^{n+1}\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty {\mbox{ when }}|r|<1.$$

என்பதால்,

$$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}$$

$r$ இன் இரட்டை அடுக்குகளை மட்டுங்கொண்ட தொடர் எனில்,

$$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}$$

$r$ இன் இரட்டை அடுக்குகளை மட்டுங்கொண்ட தொடர் எனில்,

$$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}$$

k = 0 மதிப்பிலிருந்து தொடங்கவில்லை எனில்,

$$\sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}$$

r<1 ஆக இருந்தால் மட்டுமே மேலுள்ள வாய்பாடுகள் உண்மையாக இருக்கும்.

$${\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}$$

முற்றிலும் ஒருங்கும் முடிவிலாப் பெருக்குத் தொடர்களுக்கு என்ற பெருக்குத் தொடர் ஒரு எடுத்துக்காட்டாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

இத்தொடரின் முதல் உறுப்பு 1/2; பொதுவிகிதம் 1/2. எனவே வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கூடுதல் காண:

$${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(+1/2)}}=1.$$

• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ .

இத்தொடரின் முதல் உறுப்பு 1/2; பொதுவிகிதம் -1/2. எனவே வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கூடுதல் காண:

$${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.$$

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Geometric progression", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Weisstein, Eric W., "Geometric Series", MathWorld.
• Geometric Series at PlanetMath.
• Peppard, Kim. "College Algebra Tutorial on Geometric Sequences and Series". West Texas A&M University.
• Casselman, Bill. "A Geometric Interpretation of the Geometric Series". Archived from the original (Applet) on 2007-09-29.
• "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.