இடமாற்று அணி

A அணியை முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளிப்பதால் அதன் இடமாற்று அணி A^T ஐப் பெறலாம். மீண்டும் A^T ஐ மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளித்தால் மூல அணி A கிடைக்கும்.

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஓர் அணியின் இடமாற்று அல்லது இடமாற்று அணி அல்லது நிரை-நிரல் மாற்று அணி (transpose) என்பது மூல அணியின் நிரைகளை நிரல்களாகவும் நிரல்களை நிரைகளாகவும் இடம் மாற்றுவதால் பெறப்படும் அணியாகும். A என்ற அணியின் இடமாற்று அணியின் குறியீடு: A^T ஆகும். இடமாற்று அணி A′, A^tr, ^tA A^t எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. பின்வரும் செயல்களில் ஏதேனுமொன்றின் மூலம் இடமாற்று அணியைப் பெறலாம்:

• A அணியை அதன் முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளித்தல்
• A இன் நிரைகளை நிரல்களாக எழுதுதல்
• A இன் நிரல்களை நிரைகளாக எழுதுதல்

இடமாற்று அணி A^T இன் i ஆவது நிரையிலும் j ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பானது, மூல அணியான A இன் j ஆவது நிரையிலும் i ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பாக இருக்கும்:

$[\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }]_{ij}=[\mathbf {A} ]_{ji}$

A இன் வரிசை m × n எனில், A^T இன் வரிசை n × m ஆகும்.

1858 இல் பிரித்தனிய கணிதவியலாளர் ஆர்தர் கெய்லி, இடமாற்று அணியை அறிமுகப்படுத்தினார்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• ${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

பண்புகள்

A, B இரு அணிகள்; c ஒரு திசையிலி எனில், இடமாற்று அணி பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

1. $(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,$

   இடமாற்று காணும் செயல் ஒரு சுருள்வு ஆகும். அதாவது தன்-நேர்மாறு ஆகும்.

2. $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,$
3. $\left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$
   இப்பண்பில் அணிகளின் இடங்கள் திருப்பியமைவதைக் காணலாம். எனவே A^T நேர்மாற்றத்தகதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, சதுர அணி A நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும்.
   (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹.  :(A₁A₂...A_k−1A_k)^T = A_k^TA_k−1^T...A₂^TA₁^T.
4. $(c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$
5. $\det(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\det(\mathbf {A} )\,$
   ஒரு சதுர அணி மற்றும் அதன் இடமாற்று அணி இரண்டின் அணிக்கோவைகளும் சமம்.
6. a , b என்பன இரு நிரல் திசையன்கள் எனில், அவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல் a இன் இடமாற்று அணி, b அணி இரண்டின் பெருக்கலுக்குச் சமமாகும்.
   $\left[\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right]=\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,$
7. $(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }\,$
   நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இடமாற்றும் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் இடமாற்று அணியின் நேர்மாறு மூல அணியின் நேர்மாறின் இடமாற்று அணியாக இருக்கும். A^−T குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
8. $\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$ ஒரு சமச்சீர் அணியாகும்.

சிறப்பு வகைகள்

• ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியாகவே இருக்குமானால் அச்சதுர அணி சமச்சீர் அணி எனப்படும்.

A ஒரு சமச்சீர் அணி எனில்:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A}$

• ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியின் எதிர் அணியாக இருக்குமானால் அச்சதுர அணி எதிர் சமச்சீர் அணி எனப்படும்.

A ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி எனில்:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=-\mathbf {A}$

• சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.

A ஒரு ஹெர்மைட் அணி எனில்:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }={\overline {\mathbf {A} }}$

• சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், ஒத்த மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் எதிர் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.

A ஒரு எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனில்:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=-{\overline {\mathbf {A} }}$

ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி செங்குத்து அணி ஆகும்.

A செங்குத்து அணி எனில்:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1}$

சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் இணை நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி அலகுநிலை அணி ஆகும்.

A அலகுநிலை அணி எனில்:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{-1}}}$

மேலதிக வாசிப்புக்கு

• Maruskin, Jared M. (2012). Essential Linear Algebra. San José: Solar Crest. பக். 122–132. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-9850627-3-6. https://books.google.com/books?id=aOF3-hx3u1kC&pg=PA122. 
• Schwartz, Jacob T. (2001). Introduction to Matrices and Vectors. Mineola: Dover. பக். 126–132. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-42000-0. https://books.google.com/books?id=fMG3y1z9Jw0C&pg=PA126. 

வெளியிணைப்புகள்

• MIT Linear Algebra Lecture on Matrix Transposes பரணிடப்பட்டது 2010-03-29 at the வந்தவழி இயந்திரம்
• Transpose, mathworld.wolfram.com
• Transpose பரணிடப்பட்டது 2016-03-08 at the வந்தவழி இயந்திரம், planetmath.org
• Khan Academy introduction to matrix transposes பரணிடப்பட்டது 2010-03-25 at the வந்தவழி இயந்திரம்