ஈருறுப்புச் செயலி

கணிதத்தில், ஈருறுப்புச் செயலி (binary operation) என்பது இரு செயலுட்படுத்திகளைக் (operands) கொண்டு கணக்கிடும் ஒரு செயலாகும். எண்கணிதத்தின் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகிய செயல்கள் ஈருறுப்புச்செயலிக்கு எளிய உதாரணங்களாகும்.

கணம் Sன் மீதான ஒரு ஈருறுப்புச்செயலியானது, கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் SxS லிருந்து Sக்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்புத் தொடர்பாகும்.

$\,f\colon S\times S\rightarrow S.$

f ஒரு பகுதிச்சார்பாக இருந்தால், இச்செயலானது பகுதிச்செயல் எனப்படும். (partial operation) எடுத்துகாட்டாக, எந்த ஒரு மெய்யெண்ணையும் பூச்சியத்தால் வகுக்க முடியாது என்பதால் மெய்யெண்களின் வகுத்தல் செயலானது ஒரு பகுதிச்செயலாகும்.

சில சமயங்களில், குறிப்பாக கணினி அறிவியலில், ஈருறுப்புச்செயலி என்பது ஈருறுப்புச்சார்பினைக் குறிக்கும். fன் மதிப்பானது S கணத்தின் உறுப்பாகவே அமைவதால் ஈருறுப்புச்செயலி மூடும்பண்பு (closure property) கொண்டதாக அமைகிறது.

நுண்புல இயற்கணித்தில், இயற்கணித அமைப்புகளான குலங்கள், அலகுள்ள அரைக்குலம் (monoid), அரைக்குலம் (semi group), வளையம் போன்றவற்றில் ஈருறுப்புச்செயலி முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது. பல ஈருறுப்புச்செயலிகள் சேர்ப்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. மெய்யெண் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் இரண்டும் சேர்ப்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகள் கொண்ட ஈருறுப்புச்செயலிகள் ஆகும். மெய்யெண் கழித்தல் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டும் சேர்ப்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகள் இல்லாத ஈருறுப்புச்செயலிகள். பல ஈருறுப்புச்செயலிகள் அலகு உறுப்புகளும் (identity elements) நேர்மாறு உறுப்புகளும் (inverse elements) கொண்டிருக்கும்.

பொதுவாக ஈருறுப்புச்செயலிகள், a ∗ b, a + b, a · b ... என உள்ளொட்டுக் குறியீட்டுமுறையில் (infix notation) எழுதப்படுகின்றன. சில சமயங்களில் செயலி இல்லாமல் ab எனவும் எழுதப்படுகின்றன. வழக்கமாக இரண்டாவது செயலுட்படுத்தியை மேல் குறியீடாகக் கொண்டு, செயலி (^) இல்லாமல்தான் அடுக்குகள் எழுதப்படுகின்றன. சில சமயங்களில் ஈருறுப்புச்செயலிகளில் முன்னொட்டு அல்லது பின்னொட்டுக் குறியீட்டு முறைகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.