சார்பகா முழுஎண்கள்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது

வரியுள்

11:43, 1 சூன் 2019 இல் நிலவும் திருத்தம்

எண் கோட்பாட்டில், இரு முழு எண்களுக்கிடையே 1 மட்டுமே பொது வகுஎண்ணாக இருந்தால் அவை சார்பகா எண்கள் (relatively prime, mutually prime, coprime)^[1] எனப்படும். அதாவது இரு சார்பாக எண்களின் மீபொவ 1.^[2]

எடுத்துக்காட்டு:

14 , 15 -க்கு, 1ஐத் தவிர வேறு பொது வகுஎண் இல்லை; இவை சார்பகா எண்கள்; ஆனால் 14, 21 -க்கு, 1ஐத் தவிர 7 ஒரு பொது வகுத்தியாக உள்ளதால் இரண்டும் சார்பகா எண்கள் அல்ல.

a, b சார்பகா எண்கள் என்பதைக் குறிக்க, $\gcd(a,b)=1\;$ , $(a,b)=1,\;$ என்ற இரு குறியீடுகள் மட்டுமல்லாது, சிலசமயங்களில் $a\perp b$ என்ற குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.^[3]

சுருக்கப்பட்ட பின்னத்தின் பகுதியும் தொகுதியும் ஒன்றுக்கொன்று சார்பகா எண்களாக இருக்கும். எண்கள் 1ம், −1ம் ஒவ்வொரு முழுஎண்ணுடனும் சார்பகா எண்களாக இருக்கின்றன. மேலும், இவை மட்டுமே 0உடன் சார்பாக எண்களாக அமையும் முழுஎண்களாகும்.

இரு எண்கள் சார்பகா எண்களா என்பதை யூக்ளிடியப் படிமுறைத்தீர்வு மூலமும், நேர் முழுஎண் n உடன் சார்பகா எண்களாகவுள்ள (1 முதல் n வரை) முழுஎண்களின் எண்ணிக்கையை ஆய்லரின் ஃபை சார்பின் (φ(n) மூலமும் (Euler's totient function or Euler's phi function) காணலாம்..

சார்பகாத்தன்மை எண்களுக்கிடையே மட்டுமல்லாது, கணங்களிலும் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு கணத்திலுள்ள உறுப்புகளுக்கிடையே 1ஐத் தவிர வேறு பொதுவகுத்திகள் இல்லாதிருந்தால் அக் கணம் ’சார்பகா கணம்’ (coprime) என்றும் அக் கணத்தின் உறுப்புகளாலான ஒவ்வொரு சோடி (a, b) க்கும் a , b சார்பகா எண்களாக அமைந்தால் ’சோடிவாரியான சார்பகா கணம்’ (pairwise coprime) என்றும் அழைக்கப்படும்.

பண்புகள்

படம்1. 4, 9 இரண்டும் சார்பகா எண்கள். எனவே 4 x 9 சட்டகத்தின் (lattice) மூலைவிட்டம் வேறெந்த சட்டகப் புள்ளிகளையும் சந்திக்காது.

a மற்றும் b இரண்டும் சார்பகா எண்கள் என்பதற்குச் சமானமான கூற்றுகள்:

a மற்றும் b ஐ எந்தவொரு பகா எண்ணும் வகுக்காது.
ax + by = 1 என்றவாறமையும் x, y எனும் முழுஎண்களைக் காணலாம்.
முழுஎண் b மாடுலோ a ஐப் பொறுத்து பெருக்கல் தலைகீழி உடையதாய் இருக்கும். அதாவது by ≡ 1 (mod a) என்றவாறு, y எனும் முழுஎண்ணைக் காணலாம்.

மேலே தரப்பட்ட கூற்றுகளிலிருந்து பின்வரும் விளைவுகளைப் பெறலாம்:

a , b சார்பகா எண்கள், மற்றும் br ≡ bs (மாடுலோ a) எனில், r ≡ s (மாடுலோ a) ஆக இருக்கும்.
b₁, b₂ இரண்டும் a உடன் சார்பகா எண்கள் எனில், அவற்றின் பெருக்கம் b₁b₂ம் a உடன் சார்பகா எண்ணாக இருக்கும்.
a, b சார்பகா எண்கள் எனில் அவற்றின் அடுக்குகள், a^k, b^l இரண்டும் சார்பகா எண்களாகும்.
a, b சார்பகா எண்கள், மற்றும் a ஆனது bcஐ வகுக்குமெனில், a ஆனது cஐ வகுக்கும்.
கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் ஆதிப்புள்ளி (0,0)க்கும் (a, b)ஐ ஆள்கூறுகளாகக் கொண்ட புள்ளிக்குமிடையே முழுஎண் ஆள்கூறுகள் கொண்ட புள்ளிகள் இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே a, b சார்பகா எண்களாக இருக்கும் (பார்க்க: படம் 1)
சமவாய்ப்புமுறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரு முழுஎண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 6/π², அதாவது 61%.
2^a − 1 மற்றும் 2^b − 1 இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இயல் எண்கள் a, b இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருக்கும்.

கணங்களில் சார்பகாத்தன்மை

S = {a₁, a₂, .... a_n} என்ற முழுஎண்களாலான கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தின் மீபொவ 1ஆக இருந்தால் அது சார்பகாக் கணம் (coprime அல்லது setwise coprime) என்றழைக்கப்படுகிறது.
முடிவுறு அல்லது முடிவுறா முழு எண்கள் கணத்தின் உறுப்புகளில், ஒவ்வொரு சோடியும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், அக் கணம் சோடிவாரியான சார்பகா கணம் (pairwise coprime) என்றழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு சோடிவாரியான சார்பகா கணமானது, சார்பகா கணமாகவும் இருக்கும்; ஆனால் ஒரு சார்பகா கணமானது, சோடிவாரியான சார்பகா கணமாகாது.

எடுத்துக்காட்டாக,

S = {6, 10, 15} ஒரு சார்பகா கணம் (6, 10, 15 ஆகிய மூன்று எண்களுக்கும் பொதுவகுத்தி 1 மட்டுமே).

இது சோடிவாரியான சார்பகா கணம் அல்ல:

மீபொவ(6, 10) = 2

மீபொவ(10, 15) = 5

மீபொவ(6, 15) = 3.

அனைத்துப் பகாஎண்களின் கணமும், அனைத்து ஃபெர்மா எண்களின் கணமும் சோடிவாரியான சார்பகா கணங்கள் ஆகும்.

நிகழ்தகவு

a, b என்ற இரு எண்களுக்கு பொதுப் பகாஎண் வகுஎண் இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்த இருஎண்களும் சார்பகா எண்களாக இருக்கும் என்ற கூற்றைப் பயன்படுத்தி, அவை சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காணலாம்.

எந்தவொரு எண்ணும் $p$ என்ற பகாஎண்ணால் வகுபடுவதற்கான நிகழ்தகவு $1/p$ (எடுத்துக்காட்டாக, முழுஎண்களின் வரிசையில் ஒவ்வொரு ஏழாவது எண்ணும் ஏழால் வகுபடும்). எனவே எடுத்துக்கொள்ளப்படும் எந்த இரு எண்களும்

பகாஎண் p ஆல் வகுபடுவதற்கான நிகழ்தகவு:

1/p^{2}

;

குறைந்தபட்சம் ஒன்றாவது p ஆல் வகுபடாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:

1-1/p^{2}

.

எனவே இரு எண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:

\prod _{{\text{prime }}p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=\left(\prod _{{\text{prime }}p}{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 0.607927102\approx 61\%.

${\zeta }$ என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்

ஒவ்வொரு நேர் முழுஎண் N க்கும் $\{1,2,\ldots ,N\}$ -லிருந்து சமவாய்ப்புமுறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரு எண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு P_N. P_N இன் மதிப்பு மிகச் சரியாக $6/\pi ^{2}$ க்குச் சமமாக இருக்காது என்றாலும் $N\to \infty$ எனும்போது நிகழ்தகவு $P_{N}$ ஆனது $6/\pi ^{2}$ ஐ நெருங்கும் என்பதை நிறுவமுடியும்.^[4]

சமவாய்ப்புமுறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட k முழுஎண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 1/ζ(k).

மேற்கோள்கள்

↑ Eaton, James S. Treatise on Arithmetic. 1872. May be downloaded from: http://archive.org/details/atreatiseonarit05eatogoog
↑ G. H. Hardy; E. M. Wright (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed. ). Oxford University Press. பக். 6. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-19-921986-5.
↑ Graham, R. L.; Knuth, D. E.; Patashnik, O. (1989), Concrete Mathematics, Addison-Wesley
↑ This theorem was proved by Ernesto Cesàro in 1881. For a proof, see G. H. Hardy; E. M. Wright (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed. ). Oxford University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-19-921986-5. , theorem 332.

மேலும் படிக்க

Lord, Nick (March 2008), "A uniform construction of some infinite coprime sequences", Mathematical Gazette, 92: 66–70.

[1] Eaton, James S. Treatise on Arithmetic. 1872. May be downloaded from: http://archive.org/details/atreatiseonarit05eatogoog

[2] G. H. Hardy; E. M. Wright (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed. ). Oxford University Press. பக். 6. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-19-921986-5.

[3] Graham, R. L.; Knuth, D. E.; Patashnik, O. (1989), Concrete Mathematics, Addison-Wesley

[4] This theorem was proved by Ernesto Cesàro in 1881. For a proof, see G. H. Hardy; E. M. Wright (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed. ). Oxford University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-19-921986-5. , theorem 332.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ வரிசை 1: / வரிசை 1: @@
 [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]], இரு [[முழு எண்]]களுக்கிடையே [[1 (எண்)|1]] மட்டுமே பொது [[வகுஎண்]]ணாக  இருந்தால் அவை '''சார்பகா எண்கள்''' (''relatively prime'', ''mutually prime'',  ''coprime'')<ref>Eaton, James S. Treatise on Arithmetic. 1872. May be downloaded from: http://archive.org/details/atreatiseonarit05eatogoog</ref> எனப்படும். அதாவது இரு சார்பாக எண்களின் [[மீப்பெரு பொது வகுத்தி|மீபொவ]]  1.<ref>{{cite book | author=G.H. Hardy | authorlink=G. H. Hardy | coauthors=E. M. Wright | title=An Introduction to the Theory of Numbers | edition=6th ed. | publisher=Oxford University Press | year=2008 | isbn=978-0-19-921986-5| page=6 }}</ref>
 எடுத்துக்காட்டு:
 , 15 -க்கு, 1ஐத் தவிர வேறு பொது வகுஎண் இல்லை; இவை சார்பகா எண்கள்; ஆனால் 14, 21 -க்கு, 1ஐத் தவிர [[7 (எண்)|7]] ஒரு பொது வகுத்தியாக உள்ளதால் இரண்டும் சார்பகா எண்கள் அல்ல.
 ''a'', ''b'' சார்பகா எண்கள் என்பதைக் குறிக்க, <math>\gcd(a, b) = 1\;</math>, <math>(a, b) = 1,\;</math> என்ற இரு குறியீடுகள் மட்டுமல்லாது, சிலசமயங்களில் <math>a\perp b</math> என்ற குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.<ref>{{citation|first1=R. L.|last1=Graham|first2=D. E.|last2=Knuth|first3=O.|last3=Patashnik|title=Concrete Mathematics|publisher=Addison-Wesley|year=1989}}</ref>
@@ வரிசை 9: / வரிசை 9: @@
 [[சுருக்கவியலாப் பின்னம்|சுருக்கப்பட்ட பின்னத்தின்]] [[பின்னம்|பகுதியும்]] [[பின்னம்|தொகுதியும்]] ஒன்றுக்கொன்று சார்பகா எண்களாக இருக்கும். எண்கள் 1ம், −1ம்  ஒவ்வொரு முழுஎண்ணுடனும் சார்பகா எண்களாக இருக்கின்றன. மேலும், இவை மட்டுமே [[பூச்சியம்|0]]உடன் சார்பாக எண்களாக அமையும் முழுஎண்களாகும்.
-இரு எண்கள் சார்பகா எண்களா என்பதை [[யூக்ளிடியப் படிமுறைத்தீர்வு|யூக்ளிடியப் படிமுறைத்தீர்வு]] மூலமும், நேர் முழுஎண் ''n'' உடன் சார்பகா எண்களாகவுள்ள (1 முதல் ''n'' வரை) முழுஎண்களின் எண்ணிக்கையை ஆய்லரின் ஃபை சார்பின் (''φ''(''n'') மூலமும் (Euler's totient function or Euler's phi function) காணலாம்..
+இரு எண்கள் சார்பகா எண்களா என்பதை [[யூக்ளிடியப் படிமுறைத்தீர்வு]] மூலமும், நேர் முழுஎண் ''n'' உடன் சார்பகா எண்களாகவுள்ள (1 முதல் ''n'' வரை) முழுஎண்களின் எண்ணிக்கையை ஆய்லரின் ஃபை சார்பின் (''φ''(''n'') மூலமும் (Euler's totient function or Euler's phi function) காணலாம்..
 சார்பகாத்தன்மை எண்களுக்கிடையே மட்டுமல்லாது, கணங்களிலும் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணத்திலுள்ள]] உறுப்புகளுக்கிடையே 1ஐத் தவிர வேறு பொதுவகுத்திகள் இல்லாதிருந்தால் அக் கணம் ’சார்பகா கணம்’ (''coprime'') என்றும் அக் கணத்தின் உறுப்புகளாலான ஒவ்வொரு சோடி  (''a'', ''b'') க்கும் ''a'' , ''b'' சார்பகா எண்களாக அமைந்தால் ’சோடிவாரியான சார்பகா கணம்’ (''pairwise coprime'') என்றும் அழைக்கப்படும்.
@@ வரிசை 19: / வரிசை 19: @@
 *''a'' மற்றும் ''b'' ஐ எந்தவொரு [[பகா எண்]]ணும் வகுக்காது.
 *''ax'' + ''by'' = 1 என்றவாறமையும் ''x'',  ''y'' எனும் முழுஎண்களைக் காணலாம்.
 *முழுஎண் ''b''  [[சமானம், மாடுலோ n|மாடுலோ]] ''a'' ஐப் பொறுத்து [[தலைகீழி|பெருக்கல் தலைகீழி]] உடையதாய் இருக்கும். அதாவது ''by'' ≡ 1 (mod ''a'') என்றவாறு, ''y'' எனும் முழுஎண்ணைக் காணலாம்.
 மேலே தரப்பட்ட கூற்றுகளிலிருந்து பின்வரும் விளைவுகளைப் பெறலாம்:
@@ வரிசை 32: / வரிசை 32: @@
 == கணங்களில் சார்பகாத்தன்மை ==
 *''S'' = {''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, .... ''a''<sub>''n''</sub>} என்ற [[முழு எண்|முழுஎண்களாலான]] [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தின்]] உறுப்புகள் அனைத்தின் மீபொவ 1ஆக இருந்தால் அது '''சார்பகாக் கணம்''' (''coprime'' அல்லது ''setwise coprime'') என்றழைக்கப்படுகிறது.
 *முடிவுறு அல்லது முடிவுறா முழு எண்கள் கணத்தின் உறுப்புகளில், ஒவ்வொரு சோடியும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், அக் கணம் '''சோடிவாரியான சார்பகா கணம்''' (''pairwise coprime'') என்றழைக்கப்படுகிறது.
 ஒரு சோடிவாரியான சார்பகா கணமானது, சார்பகா கணமாகவும் இருக்கும்; ஆனால் ஒரு சார்பகா கணமானது, சோடிவாரியான சார்பகா கணமாகாது.
 எடுத்துக்காட்டாக,
@@ வரிசை 50: / வரிசை 49: @@
 ''a'', ''b'' என்ற இரு எண்களுக்கு பொதுப் பகாஎண் வகுஎண் இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்த இருஎண்களும் சார்பகா எண்களாக இருக்கும் என்ற கூற்றைப் பயன்படுத்தி, அவை சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காணலாம்.
 எந்தவொரு எண்ணும் <math>p</math> என்ற பகாஎண்ணால் வகுபடுவதற்கான நிகழ்தகவு  <math>1/p</math> (எடுத்துக்காட்டாக, முழுஎண்களின் வரிசையில் ஒவ்வொரு ஏழாவது எண்ணும் ஏழால் வகுபடும்). எனவே எடுத்துக்கொள்ளப்படும் எந்த இரு எண்களும்
 :பகாஎண் ''p'' ஆல் வகுபடுவதற்கான நிகழ்தகவு:
 :<math>1/p^2</math>;
 :குறைந்தபட்சம் ஒன்றாவது ''p'' ஆல் வகுபடாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:
 :<math>1-1/p^2</math>.
 எனவே இரு எண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:
 : <math>\prod_{\text{prime } p} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \left( \prod_{\text{prime } p} \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1} = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 0.607927102 \approx 61\%.</math>
@@ வரிசை 63: / வரிசை 62: @@
 <math>{\zeta}</math> என்பது [[ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்]]
 ஒவ்வொரு நேர் முழுஎண் ''N'' க்கும் <math>\{1,2,\ldots,N\}</math> -லிருந்து சமவாய்ப்புமுறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரு எண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு ''P''<sub>''N''</sub>. ''P''<sub>''N''</sub> இன் மதிப்பு மிகச் சரியாக <math>6/\pi^2</math> க்குச் சமமாக இருக்காது என்றாலும் <math>N \to \infty</math> எனும்போது நிகழ்தகவு <math>P_N</math> ஆனது <math>6/\pi^2</math>ஐ நெருங்கும் என்பதை நிறுவமுடியும்.<ref>This theorem was proved by Ernesto Cesàro in 1881. For a proof, see {{cite book | author=G.H. Hardy | authorlink=G. H. Hardy | coauthors=E. M. Wright | title=An Introduction to the Theory of Numbers | edition=6th ed. | publisher=Oxford University Press | year=2008 | isbn=978-0-19-921986-5}}, theorem 332.</ref>
 சமவாய்ப்புமுறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ''k'' முழுஎண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 1/''&zeta;''(''k'').